{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-1)\nW tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez 32 uczniów pewnej klasy za\nrozwiązanie jednego z zadań testu z matematyki.\nLiczba punktów\n0\n1\n2\n3\n4\n5\nLiczba uczniów\n2\n2\n5\n6\n11\n6\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nŚrednia arytmetyczna liczby punktów uzyskanych za rozwiązanie tego zadania przez\nuczniów tej klasy jest równa\nA. 2,5\nB. 3,25\nC. 3,31\nD. 4\n\nMMAP-P0_100\nW tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez $32$ uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań testu z matematyki. Liczba punktów: 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 Liczba uczniów: 2 | 2 | 5 | 6 | 11 | 6 Średnia arytmetyczna liczby punktów uzyskanych za rozwiązanie tego zadania przez uczniów tej klasy jest równa A. 2,5 B. 3,25 C. 3,31 D. 4","answer":"B","answer_text":"Zadanie 28. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.2) oblicza średnią arytmetyczną […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - **7**\n\n## Sposób 1 - Systematyczne wypisanie przypadków\n\n**Oznaczamy:** cyfra dziesiątek = \\(d\\), cyfra jedności = \\(j\\).\n\n**Warunek zadania:** \\(d = j + 3\\)\n\nLiczba dwucyfrowa ma postać \\(\\overline{dj}\\), gdzie:\n- \\(d \\in \\{1, 2, \\ldots, 9\\}\\) (cyfra dziesiątek - nie może być 0)\n- \\(j \\in \\{0, 1, \\ldots, 9\\}\\) (cyfra jedności)\n\nPodstawiamy \\(d = j + 3\\) i sprawdzamy, dla jakich wartości \\(j\\) obie cyfry są poprawne:\n\n\\[j = 0 \\Rightarrow d = 3 \\quad \\checkmark \\quad \\text{liczba: } 30\\]\n\\[j = 1 \\Rightarrow d = 4 \\quad \\checkmark \\quad \\text{liczba: } 41\\]\n\\[j = 2 \\Rightarrow d = 5 \\quad \\checkmark \\quad \\text{liczba: } 52\\]\n\\[j = 3 \\Rightarrow d = 6 \\quad \\checkmark \\quad \\text{liczba: } 63\\]\n\\[j = 4 \\Rightarrow d = 7 \\quad \\checkmark \\quad \\text{liczba: } 74\\]\n\\[j = 5 \\Rightarrow d = 8 \\quad \\checkmark \\quad \\text{liczba: } 85\\]\n\\[j = 6 \\Rightarrow d = 9 \\quad \\checkmark \\quad \\text{liczba: } 96\\]\n\\[j = 7 \\Rightarrow d = 10 \\quad \\text{✗ - to nie jest cyfra!}\\]\n\nDla \\(j \\geq 7\\) cyfra dziesiątek przekroczyłaby 9, więc te przypadki odpadają.\n\n**Wynik:** mamy dokładnie **7 liczb**: 30, 41, 52, 63, 74, 85, 96.\n\n## Sposób 2 - Przedział wartości\n\n**Jakie wartości może przyjmować \\(j\\)?**\n\nCyfra jedności: \\(j \\in \\{0, 1, \\ldots, 9\\}\\), a cyfra dziesiątek: \\(d = j + 3\\).\n\nMusimy mieć \\(d \\leq 9\\), czyli:\n\\[j + 3 \\leq 9 \\implies j \\leq 6\\]\n\nMusimy mieć \\(d \\geq 1\\), czyli:\n\\[j + 3 \\geq 1 \\implies j \\geq -2\\]\n\nPonieważ \\(j\\) jest cyfrą, to \\(j \\geq 0\\). Łącząc oba warunki:\n\\[j \\in \\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\\}\\]\n\nTo jest **7 wartości** - dokładnie tyle liczb spełnia warunek.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja cyfry dziesiętnej i systematyczne wyliczanie przypadków.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(3\\) | Uczeń mylnie myśli o cyfrach 3, 6, 9 (tzn. cyfra dziesiątek jest wielokrotnością 3), zupełnie inne zadanie |\n| B. \\(6\\) | Uczeń zaczyna od \\(j = 1\\) zamiast \\(j = 0\\), pomija liczbę **30** |\n| D. \\(13\\) | Uczeń liczy obie możliwości: \\(d = j + 3\\) **i** \\(j = d + 3\\) razem (miesza, która cyfra jest większa) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfra jedności **może być 0** - liczba 30 spełnia warunek (3 = 0 + 3). Często uczniowie zapominają o tym przypadku i wychodzi im 6.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfra dziesiątek **nie może być 0** (wtedy liczba nie byłaby dwucyfrowa) - ale tutaj \\(d = j + 3 \\geq 3\\), więc ten problem w ogóle nie występuje.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „Cyfra dziesiątek jest o 3 większa od cyfry jedności\" znaczy \\(d - j = 3\\), **nie** \\(j - d = 3\\). Uważaj na kierunek nierówności!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wypisanie liczb\nCyfra dziesiątek \\(d\\), cyfra jedności \\(j\\): \\(d = j + 3\\). Cyfra \\(j \\in \\{0,1,2,\\dots,6\\}\\) (bo \\(d \\le 9\\)).\nLiczby: \\(30, 41, 52, 63, 74, 85, 96\\) - razem \\(7\\).\n\n### Sposób 2 - Zakres \\(j\\)\n\\(j\\) może być \\(0,1,2,3,4,5,6\\) (7 wartości). Dla każdego \\(j\\) jednoznacznie wyznacza \\(d\\). Liczb \\(= 7\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3\\)** - za mało.\n- **B. \\(6\\)** - pomija przypadek \\(j=0\\).\n- **D. \\(13\\)** - zawyżone.\n\n**Trik:** warunki cyfr: \\(d\\in\\{1, ,9\\}\\), \\(j\\in\\{0, ,9\\}\\); sprawdź granicę \\(d\\le 9\\).","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-28.svg","topics":"Statystyka, prawdopodobienstwo","page_from":27,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 28. (0-1)<br>W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez 32 uczniów pewnej klasy za<br>rozwiązanie jednego z zadań testu z matematyki.<br>Liczba punktów<br>0<br>1<br>2<br>3<br>4<br>5<br>Liczba uczniów<br>2<br>2<br>5<br>6<br>11<br>6<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Średnia arytmetyczna liczby punktów uzyskanych za rozwiązanie tego zadania przez<br>uczniów tej klasy jest równa<br>A. 2,5<br>B. 3,25<br>C. 3,31<br>D. 4</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez $32$ uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań testu z matematyki. Liczba punktów: 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 Liczba uczniów: 2 | 2 | 5 | 6 | 11 | 6 Średnia arytmetyczna liczby punktów uzyskanych za rozwiązanie tego zadania przez uczniów tej klasy jest równa A. 2,5 B. 3,25 C. 3,31 D. 4</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 28. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>I. Sprawność rachunkowa.<br>Wykonywanie obliczeń na liczbach<br>rzeczywistych, także przy użyciu<br>kalkulatora, stosowanie praw działań<br>matematycznych przy przekształcaniu<br>wyrażeń algebraicznych oraz<br>wykorzystywanie tych umiejętności przy<br>rozwiązywaniu problemów w kontekstach<br>rzeczywistych i teoretycznych.<br>Zdający:<br>XII.2) oblicza średnią arytmetyczną […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>B<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-28.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - <strong>7</strong></h4>\n<h4>Sposób 1 - Systematyczne wypisanie przypadków</h4>\n<p><strong>Oznaczamy:</strong> cyfra dziesiątek = \\(d\\), cyfra jedności = \\(j\\).</p>\n<p><strong>Warunek zadania:</strong> \\(d = j + 3\\)</p>\n<p>Liczba dwucyfrowa ma postać \\(\\overline{dj}\\), gdzie:</p>\n<ul><li>\\(d \\in \\{1, 2, \\ldots, 9\\}\\) (cyfra dziesiątek - nie może być 0)</li><li>\\(j \\in \\{0, 1, \\ldots, 9\\}\\) (cyfra jedności)</li></ul>\n<p>Podstawiamy \\(d = j + 3\\) i sprawdzamy, dla jakich wartości \\(j\\) obie cyfry są poprawne:</p>\n<p>\\[j = 0 \\Rightarrow d = 3 \\quad \\checkmark \\quad \\text{liczba: } 30\\]<br>\\[j = 1 \\Rightarrow d = 4 \\quad \\checkmark \\quad \\text{liczba: } 41\\]<br>\\[j = 2 \\Rightarrow d = 5 \\quad \\checkmark \\quad \\text{liczba: } 52\\]<br>\\[j = 3 \\Rightarrow d = 6 \\quad \\checkmark \\quad \\text{liczba: } 63\\]<br>\\[j = 4 \\Rightarrow d = 7 \\quad \\checkmark \\quad \\text{liczba: } 74\\]<br>\\[j = 5 \\Rightarrow d = 8 \\quad \\checkmark \\quad \\text{liczba: } 85\\]<br>\\[j = 6 \\Rightarrow d = 9 \\quad \\checkmark \\quad \\text{liczba: } 96\\]<br>\\[j = 7 \\Rightarrow d = 10 \\quad \\text{✗ - to nie jest cyfra!}\\]</p>\n<p>Dla \\(j \\geq 7\\) cyfra dziesiątek przekroczyłaby 9, więc te przypadki odpadają.</p>\n<p><strong>Wynik:</strong> mamy dokładnie <strong>7 liczb</strong>: 30, 41, 52, 63, 74, 85, 96.</p>\n<h4>Sposób 2 - Przedział wartości</h4>\n<p><strong>Jakie wartości może przyjmować \\(j\\)?</strong></p>\n<p>Cyfra jedności: \\(j \\in \\{0, 1, \\ldots, 9\\}\\), a cyfra dziesiątek: \\(d = j + 3\\).</p>\n<p>Musimy mieć \\(d \\leq 9\\), czyli:<br>\\[j + 3 \\leq 9 \\implies j \\leq 6\\]</p>\n<p>Musimy mieć \\(d \\geq 1\\), czyli:<br>\\[j + 3 \\geq 1 \\implies j \\geq -2\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(j\\) jest cyfrą, to \\(j \\geq 0\\). Łącząc oba warunki:<br>\\[j \\in \\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\\}\\]</p>\n<p>To jest <strong>7 wartości</strong> - dokładnie tyle liczb spełnia warunek.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja cyfry dziesiętnej i systematyczne wyliczanie przypadków.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A. \\(3\\) | Uczeń mylnie myśli o cyfrach 3, 6, 9 (tzn. cyfra dziesiątek jest wielokrotnością 3), zupełnie inne zadanie |<br>| B. \\(6\\) | Uczeń zaczyna od \\(j = 1\\) zamiast \\(j = 0\\), pomija liczbę <strong>30</strong> |<br>| D. \\(13\\) | Uczeń liczy obie możliwości: \\(d = j + 3\\) <strong>i</strong> \\(j = d + 3\\) razem (miesza, która cyfra jest większa) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Cyfra jedności <strong>może być 0</strong> - liczba 30 spełnia warunek (3 = 0 + 3). Często uczniowie zapominają o tym przypadku i wychodzi im 6.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Cyfra dziesiątek <strong>nie może być 0</strong> (wtedy liczba nie byłaby dwucyfrowa) - ale tutaj \\(d = j + 3 \\geq 3\\), więc ten problem w ogóle nie występuje.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> „Cyfra dziesiątek jest o 3 większa od cyfry jedności&quot; znaczy \\(d - j = 3\\), <strong>nie</strong> \\(j - d = 3\\). Uważaj na kierunek nierówności!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wypisanie liczb</h5>\n<p>Cyfra dziesiątek \\(d\\), cyfra jedności \\(j\\): \\(d = j + 3\\). Cyfra \\(j \\in \\{0,1,2,\\dots,6\\}\\) (bo \\(d \\le 9\\)).<br>Liczby: \\(30, 41, 52, 63, 74, 85, 96\\) - razem \\(7\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Zakres \\(j\\)</h5>\n<p>\\(j\\) może być \\(0,1,2,3,4,5,6\\) (7 wartości). Dla każdego \\(j\\) jednoznacznie wyznacza \\(d\\). Liczb \\(= 7\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(3\\)</strong> - za mało.</li><li><strong>B. \\(6\\)</strong> - pomija przypadek \\(j=0\\).</li><li><strong>D. \\(13\\)</strong> - zawyżone.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> warunki cyfr: \\(d\\in\\{1, ,9\\}\\), \\(j\\in\\{0, ,9\\}\\); sprawdź granicę \\(d\\le 9\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, aby obliczyć średnią arytmetyczną, zsumuj wszystkie oceny: $0 \\cdot 2 + 1 \\cdot 2 + 2 \\cdot 5 + 3 \\cdot 6 + 4 \\cdot 11 + 5 \\cdot 6 = 104$. Następnie podziel tę sumę przez łączną liczbę uczniów: $\\small\\displaystyle\\frac{104}{32} = 3{,}25$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Obliczamy sumę wszystkich zdobytych punktów:</p>\n<p>0·2+1·2+2·5+3·6+4·11+5·6.</p>\n<p>Zatem</p>\n<p>0+2+10+18+44+30=104.</p>\n<p>Liczba uczniów wynosi 32 , więc średnia jest równa:</p>\n<p>(104)/(32)=3 , 25.</p>"}]}