Zadanie 29. (0-2)
Dane są dwa zbiory: 𝐶= {0, 4, 5, 7, 9} oraz 𝐷= {1, 2, 3}.
Losujemy jedną liczbę ze zbioru 𝐶, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru 𝐷.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że suma
wylosowanych liczb będzie większa od 𝟗. Zapisz obliczenia.
29.
0-1-2
MMAP-P0_100
Dane są dwa zbiory: C={0,4,5,7,9} oraz D={1,2,3}. Losujemy jedną liczbę ze zbioru C, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru D. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie większa od 9. Zapisz obliczenia.
Zadanie 29. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
XII.1) oblicza prawdopodobieństwo
w modelu klasycznym.
Zasady oceniania
2 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴
i uzyskanie poprawnego wyniku: 𝑃(𝐴) = 4
15 .
1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych lub obliczenie/podanie liczby tych
zdarzeń: |Ω| = 5 ⋅3, lub sporządzenie tabeli o 15 polach odpowiadających
zdarzeniom elementarnym, z których co najmniej jedno pole jest wypełnione, lub
sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego
ALBO
sprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,
ALBO
|𝐴| = 4, o ile nie zostały zliczone błędne pary,
ALBO
sprzyjające zdarzeniu 𝐴 oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej
jednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,
ALBO
15 ,
ALBO
15 .
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 4 lub 15 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych
liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie
𝑥∈{0, 4, 5, 7, 9} oraz 𝑦∈{1, 2, 3}.
Liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych obliczamy, korzystając z reguły mnożenia.
Moc zbioru Ω jest równa 5 ∙3 = 15.
Zdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne: (7,3), (9,1), (9,2), (9,3), więc
moc zbioru 𝐴 jest równa 4.
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 4
15 .
Sposób II
W tabeli literą 𝐴 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴 (pary liczb,
których suma jest liczbą większą od 9).
0
4
5
7
9
1
𝐴
2
𝐴
3
𝐴
𝐴
Moc zbioru Ω jest równa 15.
Zdarzeń sprzyjających wylosowaniu liczb, których suma jest większa od 9, jest 4.
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 4
15 .
𝐶
𝐷
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Sposób III (drzewo stochastyczne)
Rysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia z uwzględnieniem
wszystkich istotnych gałęzi.
Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe
𝑃(𝐴) = 1
5 ⋅1
3 + 1
5 ⋅1
3 + 1
5 ⋅1
3 + 1
5 ⋅1
3 = 4
15
1
5
7
9
1
5
1
3
3
1
3
1
3
1
1
3
3
2
Z tabeli odczytujemy liczbę uczniów dla każdego wyniku punktowego. Dane zebrane z tabeli:
\n| Liczba punktów \\(x_i\\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Liczba uczniów \\(n_i\\) | 2 | 2 | 5 | 9 | 7 | 5 | 2 |
Weryfikacja liczby uczniów:
\\[2 + 2 + 5 + 9 + 7 + 5 + 2 = 32 \\checkmark\\]
Obliczamy sumę wszystkich punktów (każdy wynik mnożymy przez liczbę uczniów, którzy go uzyskali):
\\[
\\sum x_i \\cdot n_i = 0 \\cdot 2 + 1 \\cdot 2 + 2 \\cdot 5 + 3 \\cdot 9 + 4 \\cdot 7 + 5 \\cdot 5 + 6 \\cdot 2
\\]
\\[
= 0 + 2 + 10 + 27 + 28 + 25 + 12 = 104
\\]
Obliczamy średnią arytmetyczną:
\\[
\\bar{x} = \\frac{\\sum x_i \\cdot n_i}{n} = \\frac{104}{32} = \\frac{13}{4} = \\mathbf{3{,}25}
\\]
Możemy liczyć wkład każdej grupy do średniej osobno:
\n\\[
\\bar{x} = \\frac{0}{32} + \\frac{2}{32} + \\frac{10}{32} + \\frac{27}{32} + \\frac{28}{32} + \\frac{25}{32} + \\frac{12}{32}
\\]
\\[
= 0 + 0{,}0625 + 0{,}3125 + 0{,}84375 + 0{,}875 + 0{,}78125 + 0{,}375
\\]
\\[
= \\mathbf{3{,}25} \\checkmark
\\]
Wynik się zgadza - odpowiedź B jest poprawna.
\nDział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32) - wzór na średnią ważoną:
\\[
\\bar{s} = \\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \\ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \\ldots + w_n}
\\]
Tutaj wagami \\(w_i\\) są liczebności grup (liczby uczniów), a wartościami \\(a_i\\) - liczby punktów. Mianownik to łączna liczba uczniów: \\(32\\).
| Odp. | Typowy błąd |
| A - \\(2{,}5\\) | Policzono \\(\\frac{0+1+2+3+4+5+6}{7} = \\frac{21}{7} = 3\\) lub wzięto tylko połowę sumy - ignorowanie wag (liczebności uczniów) |
| C - \\(3{,}31\\) | Błąd rachunkowy przy sumowaniu iloczynów \\(x_i \\cdot n_i\\) - np. pomylono jedną liczebność z tabeli |
| D - \\(4\\) | Podano modę (najczęstszy wynik to 3 lub 4) albo medianę zamiast średniej arytmetycznej |
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to dodanie samych liczb punktów \\((0+1+2+\\ldots+6)\\) i podzielenie przez 7. To daje wynik dla jednostajnego rozkładu, a nie dla danych z tabeli!\n
⚠️ Uwaga: Zawsze sprawdź, czy suma liczebności z tabeli wynosi dokładnie \\(32\\). Jeśli nie, prawdopodobnie pomyliłeś liczbę w jednej z kolumn.\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić średniej z modą (najczęstszy wynik) ani z medianą (środkowy wynik po posortowaniu). Zadanie wyraźnie pyta o średnią arytmetyczną.\n
Poprawna odpowiedź: B
\n\\(\\bar{x} = \\dfrac{0\\cdot 2 + 1\\cdot 2 + 2\\cdot 5 + 3\\cdot 6 + 4\\cdot 11 + 5\\cdot 6}{32}\\)
\\(= \\dfrac{0+2+10+18+44+30}{32} = \\dfrac{104}{32} = 3{,}25.\\)
\\(2+2+5+6+11+6 = 32\\) ✓. Suma punktów \\(104\\). Średnia \\(= \\tfrac{104}{32} = 3{,}25\\).
\nTrik: średnia ważona = \\(\\tfrac{\\sum x_i \\cdot n_i}{\\sum n_i}\\).
"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"Wszystkich możliwych wyników jest:
\n|C|·|D|=5·3=15.
\nSuma jest większa od 9 w następujących przypadkach:
\n7+3=10,
\noraz
\n9+1=10, 9+2=11, 9+3=12.
\nMamy więc 4 wyniki sprzyjające.
\nPrawdopodobieństwo:
\nP(A)=(4)/(15).
"}]}