{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"3","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby naturalnej 𝒏≥𝟏 liczba (𝟐𝒏+ 𝟓)𝟐+ 𝟑 jest podzielna\nprzez 𝟒.\n3.\n0-1-2\n\nMMAP-P0_100\nWykaż, że dla każdej liczby naturalnej n≥1 liczba (2n+5)^2+3 jest podzielna przez 4.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nI.2) przeprowadza proste dowody dotyczące\npodzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia nie trudniejsze niż dowód\npodzielności przez 24 iloczynu czterech\nkolejnych liczb naturalnych.\nZasady oceniania\n2 pkt - przekształcenie wyrażenia (2𝑛+ 5)2 + 3 do postaci 4(𝑛2 + 5𝑛+ 7)\nALBO\n- przekształcenie wyrażenia (2𝑛+ 5)2 + 3 do postaci 4𝑛2 + 20𝑛+ 28 oraz\nzapisanie, że składniki 4𝑛2, 20𝑛, 28 są podzielne przez 4,\nALBO\n- przekształcenie wyrażenia (2𝑛+ 5)2 + 3 do postaci (2𝑛+ 4)(2𝑛+ 6) + 4 oraz\nzapisanie, że liczba (2𝑛+ 4)(2𝑛+ 6) jest podzielna przez 4 jako iloczyn dwóch\nliczb parzystych.\n1 pkt - przekształcenie wyrażenia (2𝑛+ 5)2 + 3 do postaci 4𝑛2 + 20𝑛+ 25 + 3\nALBO\n- przekształcenie wyrażenia (2𝑛+ 5)2 + 3 do postaci (2𝑛+ 4)(2𝑛+ 6) + 4.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający przyjmuje np. 𝑛= 4𝑘+ 𝑟, gdzie 𝑘∈ℕ i 𝑟 jest resztą z dzielenia liczby\n𝑛 przez 4 (lub 𝑛= 2𝑘+ 𝑟, gdzie 𝑘∈ℕ i 𝑟 jest resztą z dzielenia liczby 𝑛 przez 2),\ni przeprowadzi pełne rozumowanie dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 2 punkty.\nGdy przeprowadzi pełne rozumowanie dla co najmniej połowy przypadków, ale nie\nprzeprowadzi pełnego rozumowania dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 1 punkt za\ncałe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający rozpatruje tylko jeden przypadek 𝑛= 4𝑘, to otrzymuje 0 punktów za całe\nrozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy równoważnie dane wyrażenie\n(2𝑛+ 5)2 + 3 = 4𝑛2 + 20𝑛+ 25 + 3 = 4𝑛2 + 20𝑛+ 28 = 4(𝑛2 + 5𝑛+ 7)\nPonieważ 𝑛 jest liczbą naturalną, więc 𝑛2 + 5𝑛+ 7 jest liczbą naturalną.\nZatem liczba (2𝑛+ 5)2 + 3 = 4(𝑛2 + 5𝑛+ 7) jest podzielna przez 4.\nTo należało wykazać.\nSposób II\nPrzekształcamy równoważnie dane wyrażenie\n(2𝑛+ 5)2 + 3 = (2𝑛+ 5)2 -1 + 4 = (2𝑛+ 5 -1)(2𝑛+ 5 + 1) + 4\n= (2𝑛+ 4)(2𝑛+ 6) + 4\nPonieważ 𝑛 jest liczbą naturalną, więc liczby 2𝑛+ 4 oraz 2𝑛+ 6 są parzyste. Stąd\nwynika, że iloczyn (2𝑛+ 4)(2𝑛+ 6) jest liczbą podzielną przez 4.\nZatem suma (2𝑛+ 4)(2𝑛+ 6) + 4 dwóch liczb podzielnych przez 4 jest podzielna przez 4.\nTo należało wykazać.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"1. Zaczynamy od zapisania danego wyrażenia, które musimy zbadać:\n$$(2n + 5)^2 + 3$$\n\n2. Przekształcamy wyrażenie kwadratowe:\n$$ (2n + 5)^2 = (2n)^2 + 2 \\times (2n) \\times 5 + 5^2 = 4n^2 + 20n + 25 $$\n\n3. Podstawiamy przekształcone wyrażenie do naszego równania:\n$$ (2n + 5)^2 + 3 = 4n^2 + 20n + 25 + 3 $$\n\n4. Upraszczamy wyrażenie:\n$$ 4n^2 + 20n + 25 + 3 = 4n^2 + 20n + 28 $$\n\n5. Zauważamy, że $28$ jest liczbą podzielną przez $4$:\n$$ 28 = 4 \\times 7 $$\n\n6. W związku z tym przekształcamy całe wyrażenie:\n$$ 4n^2 + 20n + 28 = 4(n^2 + 5n + 7) $$\n\n7. Ponieważ $n$ jest liczbą naturalną, to $n^2 + 5n + 7$ również jest liczbą naturalną.\n\n8. Ostatecznie, ponieważ wyrażenie $4(n^2 + 5n + 7)$ jest iloczynem liczby $4$ i liczby naturalnej, to jest podzielne przez $4$.\n\n9. Dlatego, liczba $(2n + 5)^2 + 3$ jest podzielna przez $4$ dla każdej liczby naturalnej $n \\geq 1$.\n\n**Odpowiedź:** liczba $(2n + 5)^2 + 3$ jest podzielna przez $4$.","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-3.svg","topics":"Dowody algebraiczne, liczby_naturalne","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 3. (0-2)<br>Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej 𝒏≥𝟏 liczba (𝟐𝒏+ 𝟓)𝟐+ 𝟑 jest podzielna<br>przez 𝟒.<br>3.<br>0-1-2</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n≥1 liczba (2n+5)^2+3 jest podzielna przez 4.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 3. (0-2)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Przeprowadzanie rozumowań, także</li></ol>\n<p>kilkuetapowych, podawanie argumentów<br>uzasadniających poprawność rozumowania,<br>odróżnianie dowodu od przykładu.<br>Zdający:<br>I.2) przeprowadza proste dowody dotyczące<br>podzielności liczb całkowitych i reszt<br>z dzielenia nie trudniejsze niż dowód<br>podzielności przez 24 iloczynu czterech<br>kolejnych liczb naturalnych.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - przekształcenie wyrażenia (2𝑛+ 5)2 + 3 do postaci 4(𝑛2 + 5𝑛+ 7)<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie wyrażenia (2𝑛+ 5)2 + 3 do postaci 4𝑛2 + 20𝑛+ 28 oraz</li></ul>\n<p>zapisanie, że składniki 4𝑛2, 20𝑛, 28 są podzielne przez 4,<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie wyrażenia (2𝑛+ 5)2 + 3 do postaci (2𝑛+ 4)(2𝑛+ 6) + 4 oraz</li></ul>\n<p>zapisanie, że liczba (2𝑛+ 4)(2𝑛+ 6) jest podzielna przez 4 jako iloczyn dwóch<br>liczb parzystych.<br>1 pkt - przekształcenie wyrażenia (2𝑛+ 5)2 + 3 do postaci 4𝑛2 + 20𝑛+ 25 + 3<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie wyrażenia (2𝑛+ 5)2 + 3 do postaci (2𝑛+ 4)(2𝑛+ 6) + 4.</li></ul>\n<p>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑛, to otrzymuje</li></ol>\n<p>0 punktów za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający przyjmuje np. 𝑛= 4𝑘+ 𝑟, gdzie 𝑘∈ℕ i 𝑟 jest resztą z dzielenia liczby</li></ol>\n<p>𝑛 przez 4 (lub 𝑛= 2𝑘+ 𝑟, gdzie 𝑘∈ℕ i 𝑟 jest resztą z dzielenia liczby 𝑛 przez 2),<br>i przeprowadzi pełne rozumowanie dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 2 punkty.<br>Gdy przeprowadzi pełne rozumowanie dla co najmniej połowy przypadków, ale nie<br>przeprowadzi pełnego rozumowania dla wszystkich przypadków, to otrzymuje 1 punkt za<br>całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający rozpatruje tylko jeden przypadek 𝑛= 4𝑘, to otrzymuje 0 punktów za całe</li></ol>\n<p>rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Przekształcamy równoważnie dane wyrażenie<br>(2𝑛+ 5)2 + 3 = 4𝑛2 + 20𝑛+ 25 + 3 = 4𝑛2 + 20𝑛+ 28 = 4(𝑛2 + 5𝑛+ 7)<br>Ponieważ 𝑛 jest liczbą naturalną, więc 𝑛2 + 5𝑛+ 7 jest liczbą naturalną.<br>Zatem liczba (2𝑛+ 5)2 + 3 = 4(𝑛2 + 5𝑛+ 7) jest podzielna przez 4.<br>To należało wykazać.<br>Sposób II<br>Przekształcamy równoważnie dane wyrażenie<br>(2𝑛+ 5)2 + 3 = (2𝑛+ 5)2 -1 + 4 = (2𝑛+ 5 -1)(2𝑛+ 5 + 1) + 4<br>= (2𝑛+ 4)(2𝑛+ 6) + 4<br>Ponieważ 𝑛 jest liczbą naturalną, więc liczby 2𝑛+ 4 oraz 2𝑛+ 6 są parzyste. Stąd<br>wynika, że iloczyn (2𝑛+ 4)(2𝑛+ 6) jest liczbą podzielną przez 4.<br>Zatem suma (2𝑛+ 4)(2𝑛+ 6) + 4 dwóch liczb podzielnych przez 4 jest podzielna przez 4.<br>To należało wykazać.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-3.svg"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Zaczynamy od zapisania danego wyrażenia, które musimy zbadać:</li></ol>\n<p>$$(2n + 5)^2 + 3$$</p>\n<ol><li>Przekształcamy wyrażenie kwadratowe:</li></ol>\n<p>$$ (2n + 5)^2 = (2n)^2 + 2 \\times (2n) \\times 5 + 5^2 = 4n^2 + 20n + 25 $$</p>\n<ol><li>Podstawiamy przekształcone wyrażenie do naszego równania:</li></ol>\n<p>$$ (2n + 5)^2 + 3 = 4n^2 + 20n + 25 + 3 $$</p>\n<ol><li>Upraszczamy wyrażenie:</li></ol>\n<p>$$ 4n^2 + 20n + 25 + 3 = 4n^2 + 20n + 28 $$</p>\n<ol><li>Zauważamy, że $28$ jest liczbą podzielną przez $4$:</li></ol>\n<p>$$ 28 = 4 \\times 7 $$</p>\n<ol><li>W związku z tym przekształcamy całe wyrażenie:</li></ol>\n<p>$$ 4n^2 + 20n + 28 = 4(n^2 + 5n + 7) $$</p>\n<ol><li>Ponieważ $n$ jest liczbą naturalną, to $n^2 + 5n + 7$ również jest liczbą naturalną.</li></ol>\n<ol><li>Ostatecznie, ponieważ wyrażenie $4(n^2 + 5n + 7)$ jest iloczynem liczby $4$ i liczby naturalnej, to jest podzielne przez $4$.</li></ol>\n<ol><li>Dlatego, liczba $(2n + 5)^2 + 3$ jest podzielna przez $4$ dla każdej liczby naturalnej $n \\geq 1$.</li></ol>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> liczba $(2n + 5)^2 + 3$ jest podzielna przez $4$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Rozwijamy wyrażenie:</p>\n<p>(2n+5)^2+3=4n^2+20n+25+3.</p>\n<p>Zatem</p>\n<p>(2n+5)^2+3=4n^2+20n+28<br>=4(n^2+5n+7).</p>\n<p>Ponieważ n^2+5n+7 jest liczbą całkowitą, całe wyrażenie jest wielokrotnością liczby 4 .</p>"}]}