{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"30","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-3)\nSuma dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych 𝑥 oraz 𝑦 jest równa 12.\nWyznacz 𝒙 oraz 𝒚, dla których wartość wyrażenia 𝟐𝒙𝟐+ 𝒚𝟐 jest najmniejsza.\nOblicz tę najmniejszą wartość. Zapisz obliczenia.\n30.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nSuma dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych x oraz y jest równa 12. Wyznacz x oraz y, dla których wartość wyrażenia 2x²+y² jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą wartość. Zapisz obliczenia.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXIII) rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nw sytuacjach dających się opisać funkcją\nkwadratową.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥= 4, 𝑦= 8, najmniejsza\nwartość wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2 jest równa 96.\n2 pkt - zapisanie poprawnego wzoru opisującego wyrażenie 2𝑥2 + 𝑦2 jako funkcję\nzmiennej 𝑥, np. 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + (12 -𝑥)2 oraz obliczenie argumentu, dla którego\nta funkcja przyjmuje wartość najmniejszą: 𝑥= 4\nALBO\n- zapisanie poprawnego wzoru opisującego wyrażenie 2𝑥2 + 𝑦2 jako funkcję\nzmiennej 𝑥, np. 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + (12 -𝑥)2 oraz obliczenie wartości najmniejszej tej\nfunkcji: 96,\nALBO\n- zapisanie poprawnego wzoru opisującego wyrażenie 2𝑥2 + 𝑦2 jako funkcję\nzmiennej 𝑦, np. 𝑓(𝑦) = 2(12 -𝑦)2 + 𝑦2 oraz obliczenie argumentu, dla którego\nta funkcja przyjmuje wartość najmniejszą: 𝑦= 8,\nALBO\n- zapisanie poprawnego wzoru opisującego wyrażenie 2𝑥2 + 𝑦2 jako funkcję\nzmiennej 𝑦, np. 𝑓(𝑦) = 2(12 -𝑦)2 + 𝑦2 oraz obliczenie wartości najmniejszej tej\nfunkcji: 96.\n1 pkt - zapisanie poprawnego wzoru opisującego wyrażenie 2𝑥2 + 𝑦2 jako funkcję jednej\nzmiennej, np.: 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + (12 -𝑥)2, 𝑓(𝑦) = 2(12 -𝑦)2 + 𝑦2.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze poprawnie wyrażenie 2𝑥2 + 𝑦2 jako funkcję 𝑓 jednej zmiennej\ni otrzyma wartość pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli zawierającej wykres\nfunkcji 𝑓, która leży poza przedziałem [0, 12], to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za\ncałe rozwiązanie (za zapisanie wzoru funkcji jednej zmiennej).\n2. Jeżeli zdający zapisze poprawnie wyrażenie 2𝑥2 + 𝑦2 jako funkcję 𝑓 jednej zmiennej,\na następnie obliczy wartości tej funkcji dla pierwszej współrzędnej wierzchołka i dwóch\nargumentów leżących symetrycznie względem pierwszej współrzędnej wierzchołka, i nie\nodwoła się do własności wykresu funkcji kwadratowej, to otrzymuje co najwyżej 2 punkty\nza całe rozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n3. Jeżeli zdający nie zapisze poprawnie wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2 jako funkcji 𝑓 jednej\nzmiennej, a jedynie obliczy wartości wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2 dla wybranych par liczb 𝑥 oraz\n𝑦 i na tej podstawie wskazuje najmniejszą wartość wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2, to za całe\nrozwiązanie otrzymuje 0 punktów, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.\n4. Jeżeli zdający oblicza najmniejszą wartość funkcji 𝑓, korzystając z rachunku\nróżniczkowego, i nie uzasadni, że w punkcie będącym miejscem zerowym pochodnej\nfunkcji 𝑓 jest najmniejsza wartość funkcji 𝑓, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za\ncałe rozwiązanie.\nZa poprawne uzasadnienie, że w punkcie będącym miejscem zerowym pochodnej\nfunkcji 𝑓 jest najmniejsza wartość funkcji 𝑓, można uznać sytuację, gdy zdający bada\nznak pochodnej (np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna\nzmienia znak, i zaznaczając na rysunku, np. znakami „+” i „-”, znak pochodnej) oraz:\n- opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑓\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonego miejsca zerowego pochodnej, funkcja 𝑓 ma minimum\nlokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość,\nLUB\n- zapisuje, że dla wyznaczonego miejsca zerowego pochodnej, funkcja 𝑓 ma minimum\nlokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPonieważ 𝑥+ 𝑦= 12, więc 𝑦= 12 -𝑥.\nWyrażenie 2𝑥2 + 𝑦2 zapisujemy jako funkcję 𝑓 jednej zmiennej 𝑥. W tym celu\npodstawiamy 𝑦= 12 -𝑥 i otrzymujemy\n𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + (12 -𝑥)2 = 2𝑥2 + 144 -24𝑥+ 𝑥2 = 3𝑥2 -24𝑥+ 144\nWyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑓. Z warunków zadania wynika, że\n𝑥≥0 i 𝑦≥0\nZatem\n𝑥≥0 oraz 12 -𝑥≥0\n𝑥≥0 oraz 𝑥≤12\nZmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału [0, 12].\nWykresem funkcji 𝑓 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do góry.\nObliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:\n𝑝= --24\n2 ⋅3 = 4 ∈[0, 12]\nZatem funkcja 𝑓 przyjmuje wartość najmniejszą dla argumentu 4.\nWobec tego wartość wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2 jest najmniejsza dla 𝑥= 4 oraz 𝑦= 12 -4 = 8.\nObliczamy najmniejszą wartość wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2:\n𝑓(4) = 3 ⋅42 -24 ⋅4 + 144 = 96\nSposób II\nPonieważ 𝑥+ 𝑦= 12, więc 𝑥= 12 -𝑦.\nWartość wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2 zapisujemy jako funkcję 𝑓 jednej zmiennej 𝑦. W tym celu\npodstawiamy 𝑥= 12 -𝑦 i otrzymujemy\n𝑓(𝑦) = 2(12 -𝑦)2 + 𝑦2 = 2(144 -24𝑦+ 𝑦2) + 𝑦2 = 288 -48𝑦+ 2𝑦2 + 𝑦2\n𝑓(𝑦) = 3𝑦2 -48𝑦+ 288\nWyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑓. Z warunków zadania wynika, że\n𝑥≥0 i 𝑦≥0\nZatem\n12 -𝑦≥0 oraz 𝑦≥0\n𝑦≤12 oraz 𝑦≥0\nZmienna 𝑦 może przyjmować wartości z przedziału [0, 12].\nWykresem funkcji 𝑓 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do góry.\nObliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:\n𝑝= --48\n2 ⋅3 = 8 ∈[0, 12]\nZatem funkcja 𝑓 przyjmuje wartość najmniejszą dla argumentu 8.\nWobec tego wartość wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2 jest najmniejsza dla 𝑦= 8 oraz 𝑥= 12 -8 = 4.\nObliczamy najmniejszą wartość wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2:\n𝑓(8) = 3 ⋅82 -48 ⋅8 + 288 = 96\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej\ndyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\nI. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze\nstwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.-12.);\nII. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom\npodstawowy, termin poprawkowy 2024.\nI. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka\nprzestawienia położenia znaku liczby.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę\nrozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej\n1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub\nzapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne\nrozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt\nza rozwiązanie zadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej\nzdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji\nkwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych\nsprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje\nprawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 3.\n1 pkt - zastosowanie wzoru skróconego mnożenia do wyrażenia (2𝑛+ 5)2\nALBO\n- przekształcenie wyrażenia (2𝑛+ 5)2 do postaci 4𝑛2 + 10𝑛+ 10𝑛+ 25 .\nZadanie 7.\n1 pkt - przekształcenie wielomianu 𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 do postaci\n𝑥2(𝑥+ 5) -2(𝑥+ 5) lub 𝑥(𝑥2 -2) + 5(𝑥2 -2)\nALBO\n- zapisanie jednego z rozwiązań równania 𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 = 0 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 10.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 20.\n1 pkt - zapisanie, że trójkąty 𝐴𝐵𝐸 oraz 𝐷𝐶𝐸 są podobne\nALBO\n- zapisanie równości |𝐵𝐸|2 = 122 + |𝐴𝐸|2.\nZadanie 21.\n1 pkt - poprawne narysowanie w kartezjańskim układzie współrzędnych prostej\no równaniu 𝑦= 1\n2 𝑥-1\nALBO\n- poprawne narysowanie w kartezjańskim układzie współrzędnych prostej\no równaniu 𝑦= 2𝑥-4 .\nZadanie 29.\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 15 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi ze\nstandardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 5) i konsekwentnie zapisze\nwynik (np. 5\n15), to otrzymuje 2 punkty.\nZadanie 30.\n1 pkt - zapisanie równości 𝑥+ 𝑦= 12.\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi 2.\nze standardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający nie zapisze poprawnie wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2 jako funkcji 𝑓 jednej zmiennej\na jedynie obliczy wartości wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2 dla wybranych par liczb 𝑥 oraz 𝑦 i na\ntej podstawie wskazuje najmniejszą wartość wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2, to za całe rozwiązanie\notrzymuje 2 punkty. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie\nstosuje się uwagi 3. ze standardowych zasad oceniania.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\langle -3, 1 \\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie do trójmianu i wzór na pierwiastki\n\n**Krok 1: Przenieś wszystko na lewą stronę.**\n\n\\[x(x+2) \\leq 3\\]\n\\[x^2 + 2x \\leq 3\\]\n\\[x^2 + 2x - 3 \\leq 0\\]\n\n**Krok 2: Oblicz deltę.**\n\nMamy \\(a = 1\\), \\(b = 2\\), \\(c = -3\\):\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 4 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-3) = 4 + 12 = 16\\]\n\n**Krok 3: Znajdź pierwiastki.**\n\n\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-2 - 4}{2} = \\frac{-6}{2} = -3\\]\n\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-2 + 4}{2} = \\frac{2}{2} = 1\\]\n\n**Krok 4: Odczytaj rozwiązanie nierówności.**\n\nWspółczynnik \\(a = 1 > 0\\), więc parabola jest skierowana ramionami w górę. Trójmian \\(x^2 + 2x - 3\\) jest **ujemny (lub zero) między pierwiastkami**:\n\n\\[\\boxed{x \\in \\langle -3, 1 \\rangle}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozkład na czynniki (bez delty)\n\nTrójmian \\(x^2 + 2x - 3\\) można rozłożyć **metodą szukania dwóch liczb**, których suma wynosi \\(2\\), a iloczyn \\(-3\\).\n\nTakie liczby to \\(3\\) i \\(-1\\), bo: \\(3 + (-1) = 2\\) oraz \\(3 \\cdot (-1) = -3\\). Zatem:\n\n\\[x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1)\\]\n\nNierówność przyjmuje postać:\n\\[(x+3)(x-1) \\leq 0\\]\n\nIloczyn dwóch czynników jest **nieujemny lub zero** wtedy, gdy mają **przeciwne znaki** (lub jeden z nich jest zerem). Analizujemy znaki:\n\n| Przedział | \\(x+3\\) | \\(x-1\\) | Iloczyn |\n| \\(x < -3\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(x = -3\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(-3 < x < 1\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |\n| \\(x = 1\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(x > 1\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\n**Rozwiązanie:** \\(x \\in \\langle -3, 1 \\rangle\\) - identycznie jak w Sposobie 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzór na pierwiastki:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia miejsc zerowych trójmianu \\(x^2 + 2x - 3\\).\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno dzielić obu stron nierówności przez \\(x\\) - nie wiemy, czy \\(x > 0\\) czy \\(x < 0\\), więc znak nierówności mógłby się odwrócić.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Parabola skierowana **w górę** (\\(a > 0\\)) jest ujemna **między** pierwiastkami, a **w górę** na zewnątrz. Gdy parabola jest skierowana w dół (\\(a < 0\\)), jest odwrotnie - częsty błąd przy odczytywaniu rozwiązania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność jest **nieostra** (\\(\\leq\\)), więc końce przedziału \\(x = -3\\) i \\(x = 1\\) **należą** do rozwiązania - przedział jest domknięty \\(\\langle -3, 1 \\rangle\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(x \\in \\langle -3,\\,1\\rangle\\)\n\n### Sposób 1 - Trójmian kwadratowy\nPrzekształcamy: \\(x^{2} + 2x \\le 3 \\iff x^{2} + 2x - 3 \\le 0\\).\nObliczamy pierwiastki trójmianu \\(x^{2}+2x-3\\):\n\\(\\Delta = 4 + 12 = 16,\\; \\sqrt{\\Delta}=4\\)\n\\(x_{1} = \\dfrac{-2-4}{2} = -3,\\quad x_{2} = \\dfrac{-2+4}{2} = 1.\\)\nWspółczynnik przy \\(x^{2}\\) dodatni, parabola \"w górę\", więc \\(x^{2}+2x-3 \\le 0\\) dla \\(x \\in \\langle -3, 1\\rangle\\).\n\n### Sposób 2 - Postać iloczynowa\n\\(x^{2}+2x-3 = (x+3)(x-1)\\). Iloczyn niedodatni, gdy czynniki mają różne znaki (lub są zerem), czyli \\(-3 \\le x \\le 1\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **2 pkt** - pełne rozwiązanie i zapis \\(x \\in \\langle -3, 1\\rangle\\) lub graficzne z poprawnie zaznaczonymi końcami.\n- **1 pkt** - tylko obliczenie pierwiastków \\(x_{1}=-3,\\,x_{2}=1\\).\n- **0 pkt** - niepoprawna metoda.\n\n**Trik:** dla nierówności \\(\\le\\) końce przedziału są domknięte (nawiasy kwadratowe).","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-30.svg","topics":"Optymalizacja","page_from":29,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 30. (0-3)
Suma dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych 𝑥 oraz 𝑦 jest równa 12.
Wyznacz 𝒙 oraz 𝒚, dla których wartość wyrażenia 𝟐𝒙𝟐+ 𝒚𝟐 jest najmniejsza.
Oblicz tę najmniejszą wartość. Zapisz obliczenia.
30.
0-1-
2-3

\n

MMAP-P0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

MMAP-P0_100

\n

MATEMATYKA
Poziom podstawowy
Formuła 2023
MATEMATYKA
Poziom podstawowy
Formuła 2023
MATEMATYKA
Poziom podstawowy
Formuła 2023
Suma dwóch nieujemnych liczb rzeczywistych x oraz y jest równa 12. Wyznacz x oraz y, dla których wartość wyrażenia 2x²+y² jest najmniejsza. Oblicz tę najmniejszą wartość. Zapisz obliczenia.

","answer_text_html":"

Zadanie 30. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Dobieranie i tworzenie modeli
\n

matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
XIII) rozwiązuje zadania optymalizacyjne
w sytuacjach dających się opisać funkcją
kwadratową.
Zasady oceniania
3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑥= 4, 𝑦= 8, najmniejsza
wartość wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2 jest równa 96.
2 pkt - zapisanie poprawnego wzoru opisującego wyrażenie 2𝑥2 + 𝑦2 jako funkcję
zmiennej 𝑥, np. 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + (12 -𝑥)2 oraz obliczenie argumentu, dla którego
ta funkcja przyjmuje wartość najmniejszą: 𝑥= 4
ALBO

\n\n

zmiennej 𝑥, np. 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + (12 -𝑥)2 oraz obliczenie wartości najmniejszej tej
funkcji: 96,
ALBO

\n\n

zmiennej 𝑦, np. 𝑓(𝑦) = 2(12 -𝑦)2 + 𝑦2 oraz obliczenie argumentu, dla którego
ta funkcja przyjmuje wartość najmniejszą: 𝑦= 8,
ALBO

\n\n

zmiennej 𝑦, np. 𝑓(𝑦) = 2(12 -𝑦)2 + 𝑦2 oraz obliczenie wartości najmniejszej tej
funkcji: 96.
1 pkt - zapisanie poprawnego wzoru opisującego wyrażenie 2𝑥2 + 𝑦2 jako funkcję jednej
zmiennej, np.: 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + (12 -𝑥)2, 𝑓(𝑦) = 2(12 -𝑦)2 + 𝑦2.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze poprawnie wyrażenie 2𝑥2 + 𝑦2 jako funkcję 𝑓 jednej zmiennej
\n

i otrzyma wartość pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli zawierającej wykres
funkcji 𝑓, która leży poza przedziałem [0, 12], to może otrzymać co najwyżej 1 punkt za
całe rozwiązanie (za zapisanie wzoru funkcji jednej zmiennej).

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze poprawnie wyrażenie 2𝑥2 + 𝑦2 jako funkcję 𝑓 jednej zmiennej,
\n

a następnie obliczy wartości tej funkcji dla pierwszej współrzędnej wierzchołka i dwóch
argumentów leżących symetrycznie względem pierwszej współrzędnej wierzchołka, i nie
odwoła się do własności wykresu funkcji kwadratowej, to otrzymuje co najwyżej 2 punkty
za całe rozwiązanie.
Zasady oceniania rozwiązań zadań

\n
  1. Jeżeli zdający nie zapisze poprawnie wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2 jako funkcji 𝑓 jednej
\n

zmiennej, a jedynie obliczy wartości wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2 dla wybranych par liczb 𝑥 oraz
𝑦 i na tej podstawie wskazuje najmniejszą wartość wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2, to za całe
rozwiązanie otrzymuje 0 punktów, o ile nie nabył prawa do innej liczby punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający oblicza najmniejszą wartość funkcji 𝑓, korzystając z rachunku
\n

różniczkowego, i nie uzasadni, że w punkcie będącym miejscem zerowym pochodnej
funkcji 𝑓 jest najmniejsza wartość funkcji 𝑓, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za
całe rozwiązanie.
Za poprawne uzasadnienie, że w punkcie będącym miejscem zerowym pochodnej
funkcji 𝑓 jest najmniejsza wartość funkcji 𝑓, można uznać sytuację, gdy zdający bada
znak pochodnej (np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna
zmienia znak, i zaznaczając na rysunku, np. znakami „+” i „-”, znak pochodnej) oraz:

\n\n

LUB

\n\n

lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość,
LUB

\n\n

lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Ponieważ 𝑥+ 𝑦= 12, więc 𝑦= 12 -𝑥.
Wyrażenie 2𝑥2 + 𝑦2 zapisujemy jako funkcję 𝑓 jednej zmiennej 𝑥. W tym celu
podstawiamy 𝑦= 12 -𝑥 i otrzymujemy
𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + (12 -𝑥)2 = 2𝑥2 + 144 -24𝑥+ 𝑥2 = 3𝑥2 -24𝑥+ 144
Wyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑓. Z warunków zadania wynika, że
𝑥≥0 i 𝑦≥0
Zatem
𝑥≥0 oraz 12 -𝑥≥0
𝑥≥0 oraz 𝑥≤12
Zmienna 𝑥 może przyjmować wartości z przedziału [0, 12].
Wykresem funkcji 𝑓 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do góry.
Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:
𝑝= --24
2 ⋅3 = 4 ∈[0, 12]
Zatem funkcja 𝑓 przyjmuje wartość najmniejszą dla argumentu 4.
Wobec tego wartość wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2 jest najmniejsza dla 𝑥= 4 oraz 𝑦= 12 -4 = 8.
Obliczamy najmniejszą wartość wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2:
𝑓(4) = 3 ⋅42 -24 ⋅4 + 144 = 96
Sposób II
Ponieważ 𝑥+ 𝑦= 12, więc 𝑥= 12 -𝑦.
Wartość wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2 zapisujemy jako funkcję 𝑓 jednej zmiennej 𝑦. W tym celu
podstawiamy 𝑥= 12 -𝑦 i otrzymujemy
𝑓(𝑦) = 2(12 -𝑦)2 + 𝑦2 = 2(144 -24𝑦+ 𝑦2) + 𝑦2 = 288 -48𝑦+ 2𝑦2 + 𝑦2
𝑓(𝑦) = 3𝑦2 -48𝑦+ 288
Wyznaczamy dziedzinę funkcji 𝑓. Z warunków zadania wynika, że
𝑥≥0 i 𝑦≥0
Zatem
12 -𝑦≥0 oraz 𝑦≥0
𝑦≤12 oraz 𝑦≥0
Zmienna 𝑦 może przyjmować wartości z przedziału [0, 12].
Wykresem funkcji 𝑓 jest fragment paraboli skierowanej ramionami do góry.
Obliczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli:
𝑝= --48
2 ⋅3 = 8 ∈[0, 12]
Zatem funkcja 𝑓 przyjmuje wartość najmniejszą dla argumentu 8.
Wobec tego wartość wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2 jest najmniejsza dla 𝑦= 8 oraz 𝑥= 12 -8 = 4.
Obliczamy najmniejszą wartość wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2:
𝑓(8) = 3 ⋅82 -48 ⋅8 + 288 = 96
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią
Obowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej
dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:
I. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze
stwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.-12.);
II. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy
osób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom
podstawowy, termin poprawkowy 2024.
I. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną
dyskalkulią

\n
  1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:
\n

błędnego przepisania
przestawienia cyfr
zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie
przestawienia położenia przecinka
przestawienia położenia znaku liczby.

\n
  1. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu
\n

oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza
umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania
badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.

\n
  1. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę
\n

rozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej
1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.

\n
  1. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub
\n

zapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne
rozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt
za rozwiązanie zadania.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu
\n

kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę
wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania
wartościach liczbowych.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający
\n

może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności
kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej
\n

zdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji
kwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych
\n

lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie
takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na
\n

płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu
rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur
geometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.

\n
  1. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać
\n

przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych
sprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje
prawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.

\n
  1. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli
\n

podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia
rozwiązania.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub
\n

geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która
wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać
1 punkt.
II. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób
ze stwierdzoną dyskalkulią
Zadanie 3.
1 pkt - zastosowanie wzoru skróconego mnożenia do wyrażenia (2𝑛+ 5)2
ALBO

\n\n

Zadanie 7.
1 pkt - przekształcenie wielomianu 𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 do postaci
𝑥2(𝑥+ 5) -2(𝑥+ 5) lub 𝑥(𝑥2 -2) + 5(𝑥2 -2)
ALBO

\n\n

Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zadanie 10.
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.
Zadanie 20.
1 pkt - zapisanie, że trójkąty 𝐴𝐵𝐸 oraz 𝐷𝐶𝐸 są podobne
ALBO

\n\n

Zadanie 21.
1 pkt - poprawne narysowanie w kartezjańskim układzie współrzędnych prostej
o równaniu 𝑦= 1
2 𝑥-1
ALBO

\n\n

o równaniu 𝑦= 2𝑥-4 .
Zadanie 29.
1 pkt - zapisanie jedynie liczby 15 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich
zdarzeń elementarnych).
Uwagi:

\n
  1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi ze
\n

standardowych zasad oceniania.

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające
\n

zdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 5) i konsekwentnie zapisze
wynik (np. 5
15), to otrzymuje 2 punkty.
Zadanie 30.
1 pkt - zapisanie równości 𝑥+ 𝑦= 12.
Uwagi:

\n
  1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi 2.
\n

ze standardowych zasad oceniania.

\n
  1. Jeżeli zdający nie zapisze poprawnie wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2 jako funkcji 𝑓 jednej zmiennej
\n

a jedynie obliczy wartości wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2 dla wybranych par liczb 𝑥 oraz 𝑦 i na
tej podstawie wskazuje najmniejszą wartość wyrażenia 2𝑥2 + 𝑦2, to za całe rozwiązanie
otrzymuje 2 punkty. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie
stosuje się uwagi 3. ze standardowych zasad oceniania.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-30.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\langle -3, 1 \\rangle\\)

\n

Sposób 1 - Sprowadzenie do trójmianu i wzór na pierwiastki

\n

Krok 1: Przenieś wszystko na lewą stronę.

\n

\\[x(x+2) \\leq 3\\]
\\[x^2 + 2x \\leq 3\\]
\\[x^2 + 2x - 3 \\leq 0\\]

\n

Krok 2: Oblicz deltę.

\n

Mamy \\(a = 1\\), \\(b = 2\\), \\(c = -3\\):
\\[\\Delta = b^2 - 4ac = 4 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-3) = 4 + 12 = 16\\]

\n

Krok 3: Znajdź pierwiastki.

\n

\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-2 - 4}{2} = \\frac{-6}{2} = -3\\]
\\[x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a} = \\frac{-2 + 4}{2} = \\frac{2}{2} = 1\\]

\n

Krok 4: Odczytaj rozwiązanie nierówności.

\n

Współczynnik \\(a = 1 > 0\\), więc parabola jest skierowana ramionami w górę. Trójmian \\(x^2 + 2x - 3\\) jest ujemny (lub zero) między pierwiastkami:

\n

\\[\\boxed{x \\in \\langle -3, 1 \\rangle}\\]

\n

Sposób 2 - Rozkład na czynniki (bez delty)

\n

Trójmian \\(x^2 + 2x - 3\\) można rozłożyć metodą szukania dwóch liczb, których suma wynosi \\(2\\), a iloczyn \\(-3\\).

\n

Takie liczby to \\(3\\) i \\(-1\\), bo: \\(3 + (-1) = 2\\) oraz \\(3 \\cdot (-1) = -3\\). Zatem:

\n

\\[x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1)\\]

\n

Nierówność przyjmuje postać:
\\[(x+3)(x-1) \\leq 0\\]

\n

Iloczyn dwóch czynników jest nieujemny lub zero wtedy, gdy mają przeciwne znaki (lub jeden z nich jest zerem). Analizujemy znaki:

\n

| Przedział | \\(x+3\\) | \\(x-1\\) | Iloczyn |
| \\(x < -3\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |
| \\(x = -3\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) ✓ |
| \\(-3 < x < 1\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |
| \\(x = 1\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |
| \\(x > 1\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |

\n

Rozwiązanie: \\(x \\in \\langle -3, 1 \\rangle\\) - identycznie jak w Sposobie 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i wzór na pierwiastki:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia miejsc zerowych trójmianu \\(x^2 + 2x - 3\\).

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Nie wolno dzielić obu stron nierówności przez \\(x\\) - nie wiemy, czy \\(x > 0\\) czy \\(x < 0\\), więc znak nierówności mógłby się odwrócić.
\n
⚠️ Uwaga: Parabola skierowana w górę (\\(a > 0\\)) jest ujemna między pierwiastkami, a w górę na zewnątrz. Gdy parabola jest skierowana w dół (\\(a < 0\\)), jest odwrotnie - częsty błąd przy odczytywaniu rozwiązania.
\n
⚠️ Uwaga: Nierówność jest nieostra (\\(\\leq\\)), więc końce przedziału \\(x = -3\\) i \\(x = 1\\) należą do rozwiązania - przedział jest domknięty \\(\\langle -3, 1 \\rangle\\).
\n

Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\langle -3,\\,1\\rangle\\)

\n
Sposób 1 - Trójmian kwadratowy
\n

Przekształcamy: \\(x^{2} + 2x \\le 3 \\iff x^{2} + 2x - 3 \\le 0\\).
Obliczamy pierwiastki trójmianu \\(x^{2}+2x-3\\):
\\(\\Delta = 4 + 12 = 16,\\; \\sqrt{\\Delta}=4\\)
\\(x_{1} = \\dfrac{-2-4}{2} = -3,\\quad x_{2} = \\dfrac{-2+4}{2} = 1.\\)
Współczynnik przy \\(x^{2}\\) dodatni, parabola "w górę", więc \\(x^{2}+2x-3 \\le 0\\) dla \\(x \\in \\langle -3, 1\\rangle\\).

\n
Sposób 2 - Postać iloczynowa
\n

\\(x^{2}+2x-3 = (x+3)(x-1)\\). Iloczyn niedodatni, gdy czynniki mają różne znaki (lub są zerem), czyli \\(-3 \\le x \\le 1\\).

\n
Uwagi o punktacji (CKE)
\n\n

Trik: dla nierówności \\(\\le\\) końce przedziału są domknięte (nawiasy kwadratowe).

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Z warunku

\n

x+y=12

\n

otrzymujemy

\n

y=12-x.

\n

Rozważane wyrażenie zapisujemy jako funkcję zmiennej x :

\n

f(x)=2x^2+(12-x)^2.

\n

Po wykonaniu działań:

\n

f(x)=2x^2+x^2-24x+144,

\n

czyli

\n

f(x)=3x^2-24x+144.

\n

Jest to funkcja kwadratowa o współczynnikach:

\n

a=3, b=-24.

\n

Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli jest równa:

\n

p=-(b)/(2a)
=-(-24)/(2·3)
=(24)/(6)
=4.

\n

Zatem najmniejsza wartość występuje dla

\n

x=4.

\n

Wtedy

\n

y=12-4=8.

\n

Obliczamy wartość wyrażenia:

\n

2x^2+y^2
=2·4^2+8^2
=32+64
=96.

\n

Najmniejsza wartość wyrażenia wynosi więc

\n

96.

"}]}