Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \\(x\\) i dla każdej liczby rzeczywistej \\(y\\) takich, że \\(x \\neq 2y\\), prawdziwa jest nierówność \\[x^{2} + 4y^{2} - 4 > 4(xy - 1)\\]
","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Od czego zaczynamy: Przenosimy wszystko na lewą stronę i pokazujemy, że powstaje wyrażenie zawsze dodatnie.
\nKrok 1. Przenosimy prawą stronę na lewą:
\n\\[x^2 + 4y^2 - 4 - 4(xy - 1) > 0\\]
\nKrok 2. Rozwijamy nawiasy:
\n\\[x^2 + 4y^2 - 4 - 4xy + 4 > 0\\]
\nKrok 3. Upraszczamy (wyrazy \\(-4\\) i \\(+4\\) znoszą się):
\n\\[x^2 - 4xy + 4y^2 > 0\\]
\nKrok 4. Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia:
\n\\[x^2 - 4xy + 4y^2 = (x - 2y)^2\\]
\nKrok 5. Zatem nierówność przyjmuje postać:
\n\\[(x - 2y)^2 > 0\\]
\nKrok 6. Kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny, czyli \\((x-2y)^2 \\geq 0\\). Równość \\((x-2y)^2 = 0\\) zachodzi dokładnie wtedy, gdy \\(x - 2y = 0\\), czyli \\(x = 2y\\).
\nPonieważ z założenia \\(x \\neq 2y\\), mamy \\(x - 2y \\neq 0\\), a zatem:
\n\\[\\mathbf{(x - 2y)^2 > 0}\\]
\nCo kończy dowód. \\(\\blacksquare\\)
\nAlternatywne ujęcie: zamiast od razu rozpoznać wzór, możemy użyć ogólnego argumentu o kwadracie.
\nKrok 1. Tak samo jak w Sposobie 1 przenosimy wszystko na lewą stronę:
\n\\[x^2 + 4y^2 - 4 - 4xy + 4 > 0 \\implies x^2 - 4xy + 4y^2 > 0\\]
\nKrok 2. Traktujemy lewą stronę jako wielomian w zmiennej \\(x\\) (przy ustalonym \\(y\\)):
\n\\[f(x) = x^2 - 4yx + 4y^2\\]
\nTo trójmian kwadratowy w \\(x\\), z \\(a = 1 > 0\\). Liczymy wyróżnik:
\n\\[\\Delta = (-4y)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 4y^2 = 16y^2 - 16y^2 = 0\\]
\nKrok 3. Ponieważ \\(\\Delta = 0\\), trójmian ma dokładnie jedno miejsce zerowe:
\n\\[x_0 = \\frac{4y}{2} = 2y\\]
\nKrok 4. Ponieważ \\(a = 1 > 0\\) i \\(\\Delta = 0\\), parabola jest skierowana ramionami w górę i dotyka osi \\(OX\\) tylko w punkcie \\(x = 2y\\). Zatem:
\n\\[f(x) \\geq 0 \\quad \\text{dla wszystkich } x,\\]
\na równość \\(f(x) = 0\\) zachodzi wyłącznie dla \\(x = 2y\\).
\nKrok 5. Ponieważ zakładamy \\(x \\neq 2y\\), mamy \\(f(x) > 0\\), czyli nierówność jest spełniona. \\(\\blacksquare\\)
\nDział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]
\nUżyliśmy tego wzoru (przy \\(a = x\\), \\(b = 2y\\)) w Sposobie 1, rozpoznając że:
\n\\[x^2 - 4xy + 4y^2 = (x - 2y)^2\\]
\nDział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):
\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]
\nW Sposobie 2 obliczamy wyróżnik trójmianu \\(x^2 - 4yx + 4y^2\\) i stwierdzamy \\(\\Delta = 0\\), co oznacza dokładnie jedno miejsce zerowe.
\n⚠️ Uwaga: Wielu uczniów zapomina uzasadnić, dlaczego nierówność jest ostra (czyli \\(> 0\\), a nie \\(\\geq 0\\)). Sam fakt, że kwadrat jest nieujemny, daje tylko \\(\\geq 0\\) - kluczowe jest użycie założenia \\(x \\neq 2y\\), które wyklucza równość.\n
⚠️ Uwaga: Częsty błąd to próba dzielenia obu stron przez \\((x - 2y)\\) bez uzasadnienia znaku - gdyby \\(x - 2y < 0\\), kierunek nierówności by się odwrócił. Bezpieczniej od razu sprowadzić do kwadratu.\n
⚠️ Uwaga: Przy przenoszeniu wyrazów na lewą stronę łatwo zgubić znak - zwróć uwagę, że \\(-4(xy-1) = -4xy + 4\\), więc wyrazy stałe \\(-4 + 4 = 0\\) znikają. To elegancka „niespodzianka" tego zadania.\n
Poprawna odpowiedź: nierówność wykazana.
\nPrzekształcamy równoważnie:
\\(x^{2} + 4y^{2} - 4 > 4xy - 4\\)
\\(x^{2} - 4xy + 4y^{2} > 0\\)
Lewa strona to pełny kwadrat: \\(x^{2} - 4xy + 4y^{2} = (x - 2y)^{2}\\).
Z założenia \\(x \\ne 2y\\), więc \\(x - 2y \\ne 0\\), zatem \\((x - 2y)^{2} > 0\\). Stąd nierówność jest prawdziwa. \\(\\Box\\)
Traktujemy \\(x^{2} - 4yx + 4y^{2}\\) jako trójmian zmiennej \\(x\\) z parametrem \\(y\\).
\\(\\Delta = (-4y)^{2} - 4\\cdot 1\\cdot 4y^{2} = 16y^{2} - 16y^{2} = 0.\\)
Jednokrotne miejsce zerowe: \\(x = 2y\\). Dla \\(x \\ne 2y\\) mamy \\(x^{2}-4yx+4y^{2} > 0\\) (współczynnik przy \\(x^{2}\\) dodatni, brak innych pierwiastków).
Trik: gdy widzisz \\(A^{2} + B^{2} + \\dots\\), spróbuj rozpoznać wzór \\((A-B)^{2} \\ge 0\\).
"}]}