{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"32","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"\\(\\sqrt{3}\\) Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = x-3 . 3 W układzie współrzędnych (x, y) wykres funkcji y= f(x) jest prostą, która jest nachylona do osi Ox pod kątem ostrym 𝛼 i przecina oś Oy w punkcie P . Oblicz sinus kąta 𝛼 oraz drugą współrzędną punktu P.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\(\\sin\\alpha = \\dfrac{1}{2}\\), druga współrzędna punktu \\(P\\) wynosi \\(-3\\).\n\n## Sposób 1 - Użycie współczynnika kierunkowego prostej\n\nWzór funkcji liniowej \\(f(x) = ax + b\\) daje nam dwie informacje wprost:\n- \\(a\\) - współczynnik kierunkowy (nachylenie prostej)\n- \\(b\\) - punkt przecięcia z osią \\(Oy\\)\n\n**Krok 1 - odczytujemy dane.**\n\n\\[f(x) = \\frac{\\sqrt{3}}{3}x - 3\\]\n\nMamy więc: \\(a = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\), \\(b = -3\\).\n\n**Krok 2 - wyznaczamy kąt \\(\\alpha\\).**\n\nWspółczynnik kierunkowy prostej spełnia relację:\n\\[a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\n\nZatem:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]\n\nKorzystamy z tabeli wartości trygonometrycznych (karta CKE, s. 11):\n\\[\\operatorname{tg} 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]\n\nSkoro \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym i \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\), to:\n\\[\\alpha = 30°\\]\n\n**Krok 3 - obliczamy sinus.**\n\n\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\]\n\n\\[\\boxed{\\sin\\alpha = \\frac{1}{2}}\\]\n\n**Krok 4 - wyznaczamy punkt \\(P\\).**\n\nProsta przecina oś \\(Oy\\) w punkcie, gdzie \\(x = 0\\):\n\\[f(0) = \\frac{\\sqrt{3}}{3} \\cdot 0 - 3 = -3\\]\n\nPunkt \\(P = (0, -3)\\), więc **druga współrzędna punktu \\(P\\) wynosi \\(-3\\)**.\n\n## Sposób 2 - Geometryczny (trójkąt prostokątny ze współczynnika kierunkowego)\n\nWspółczynnik kierunkowy \\(a = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\) interpretujemy geometrycznie:\n\n> \"Na każde \\(3\\) jednostki w prawo (poziomo) prosta wznosi się o \\(\\sqrt{3}\\) jednostki w górę.\"\n\nRysujemy trójkąt prostokątny:\n- przyprostokątna pozioma: \\(3\\)\n- przyprostokątna pionowa: \\(\\sqrt{3}\\)\n- przeciwprostokątna: \\(\\sqrt{3^2 + (\\sqrt{3})^2} = \\sqrt{9 + 3} = \\sqrt{12} = 2\\sqrt{3}\\)\n\n**Sinus kąta** między prostą a osią \\(Ox\\):\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna pionowa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{\\sqrt{3}}{2\\sqrt{3}} = \\frac{1}{2}\\]\n\n**Weryfikacja - sprawdzamy tangens:**\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]\n\nKorzystamy z jedynki trygonometrycznej: jeśli \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{1}{2}\\), to:\n\\[\\cos\\alpha = \\sqrt{1 - \\sin^2\\alpha} = \\sqrt{1 - \\frac{1}{4}} = \\sqrt{\\frac{3}{4}} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\frac{1}{2}}{\\frac{\\sqrt{3}}{2}} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3} \\checkmark\\]\n\nWynik zgodny - **\\(\\sin\\alpha = \\dfrac{1}{2}\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - tabela wartości:\n\\[\\operatorname{tg} 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3}, \\quad \\sin 30° = \\frac{1}{2}, \\quad \\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do rozpoznania kąta oraz odczytania sinusa.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do weryfikacji.\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-23)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\nTo jest podstawa całego zadania - kąt nachylenia wyznaczamy właśnie z tego wzoru.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\) to to samo co \\(\\dfrac{1}{\\sqrt{3}}\\) - wiele uczniów nie rozpoznaje tej wartości jako \\(\\operatorname{tg} 30°\\). Warto upraszczać ułamki przed porównaniem z tabelą.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pytanie dotyczy **sinusa**, a nie samego kąta. Błędem jest zatrzymanie się na \\(\\alpha = 30°\\) i niepodanie \\(\\sin 30° = \\dfrac{1}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(P\\) ma **drugą współrzędną** równą \\(-3\\) (nie pierwszą!). Odpowiedź \\(P = 3\\) to błąd wynikający z pomylenia współrzędnych lub upuszczenia znaku minus - wyraz wolny \\(b = -3\\), nie \\(3\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{1}{2},\\; y_{P} = -3.\\)\n\n### Sposób 1 - Tangens i punkt przecięcia\nWspółczynnik kierunkowy \\(a = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3} = \\operatorname{tg}\\alpha\\). Rozpoznajemy, że \\(\\operatorname{tg} 30° = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\), więc \\(\\alpha = 30°\\).\nZatem \\(\\sin\\alpha = \\sin 30° = \\dfrac{1}{2}.\\)\n\nWykres przecina oś \\(Oy\\), gdy \\(x = 0\\): \\(f(0) = -3\\), więc \\(P = (0, -3)\\) i \\(y_{P} = -3\\).\n\n### Sposób 2 - Bez tabeli wartości\nZ jedynki trygonometrycznej: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\Rightarrow \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\dfrac{1}{\\sqrt{3}}\\).\nZ \\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1\\) i \\(\\cos\\alpha = \\sqrt{3}\\sin\\alpha\\) otrzymujemy \\(4\\sin^{2}\\alpha = 1\\), więc \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{1}{2}\\) (kąt ostry).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **2 pkt** - obie wartości: \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{1}{2}\\) i \\(y_{P} = -3\\).\n- **1 pkt** - jedna poprawna wartość.\n- **0 pkt** - niepoprawna metoda.\n\n**Trik:** współczynnik kierunkowy = \\(\\operatorname{tg}\\) kąta z osią \\(Ox\\); rozpoznaj standardowe kąty \\(30°, 45°, 60°\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

\\(\\sqrt{3}\\) Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = x-3 . 3 W układzie współrzędnych (x, y) wykres funkcji y= f(x) jest prostą, która jest nachylona do osi Ox pod kątem ostrym 𝛼 i przecina oś Oy w punkcie P . Oblicz sinus kąta 𝛼 oraz drugą współrzędną punktu P.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

\\(\\sin\\alpha = \\dfrac{1}{2}\\), druga współrzędna punktu \\(P\\) wynosi \\(-3\\).

\n

Sposób 1 - Użycie współczynnika kierunkowego prostej

\n

Wzór funkcji liniowej \\(f(x) = ax + b\\) daje nam dwie informacje wprost:

\n\n

Krok 1 - odczytujemy dane.

\n

\\[f(x) = \\frac{\\sqrt{3}}{3}x - 3\\]

\n

Mamy więc: \\(a = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\), \\(b = -3\\).

\n

Krok 2 - wyznaczamy kąt \\(\\alpha\\).

\n

Współczynnik kierunkowy prostej spełnia relację:
\\[a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]

\n

Zatem:
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]

\n

Korzystamy z tabeli wartości trygonometrycznych (karta CKE, s. 11):
\\[\\operatorname{tg} 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]

\n

Skoro \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym i \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\), to:
\\[\\alpha = 30°\\]

\n

Krok 3 - obliczamy sinus.

\n

\\[\\sin 30° = \\frac{1}{2}\\]

\n

\\[\\boxed{\\sin\\alpha = \\frac{1}{2}}\\]

\n

Krok 4 - wyznaczamy punkt \\(P\\).

\n

Prosta przecina oś \\(Oy\\) w punkcie, gdzie \\(x = 0\\):
\\[f(0) = \\frac{\\sqrt{3}}{3} \\cdot 0 - 3 = -3\\]

\n

Punkt \\(P = (0, -3)\\), więc druga współrzędna punktu \\(P\\) wynosi \\(-3\\).

\n

Sposób 2 - Geometryczny (trójkąt prostokątny ze współczynnika kierunkowego)

\n

Współczynnik kierunkowy \\(a = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\) interpretujemy geometrycznie:

\n
"Na każde \\(3\\) jednostki w prawo (poziomo) prosta wznosi się o \\(\\sqrt{3}\\) jednostki w górę."
\n

Rysujemy trójkąt prostokątny:

\n\n

Sinus kąta między prostą a osią \\(Ox\\):
\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna pionowa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{\\sqrt{3}}{2\\sqrt{3}} = \\frac{1}{2}\\]

\n

Weryfikacja - sprawdzamy tangens:
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\]

\n

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej: jeśli \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{1}{2}\\), to:
\\[\\cos\\alpha = \\sqrt{1 - \\sin^2\\alpha} = \\sqrt{1 - \\frac{1}{4}} = \\sqrt{\\frac{3}{4}} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]

\n

\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\frac{1}{2}}{\\frac{\\sqrt{3}}{2}} = \\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{3}}{3} \\checkmark\\]

\n

Wynik zgodny - \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{1}{2}\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - tabela wartości:
\\[\\operatorname{tg} 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{3}, \\quad \\sin 30° = \\frac{1}{2}, \\quad \\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]
Użyliśmy w Sposobie 1 do rozpoznania kąta oraz odczytania sinusa.

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11) - jedynka trygonometryczna:
\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1, \\quad \\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do weryfikacji.

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-23) - równanie kierunkowe prostej:
\\[y = ax + b, \\quad a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]
To jest podstawa całego zadania - kąt nachylenia wyznaczamy właśnie z tego wzoru.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\) to to samo co \\(\\dfrac{1}{\\sqrt{3}}\\) - wiele uczniów nie rozpoznaje tej wartości jako \\(\\operatorname{tg} 30°\\). Warto upraszczać ułamki przed porównaniem z tabelą.
\n
⚠️ Uwaga: Pytanie dotyczy sinusa, a nie samego kąta. Błędem jest zatrzymanie się na \\(\\alpha = 30°\\) i niepodanie \\(\\sin 30° = \\dfrac{1}{2}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Punkt \\(P\\) ma drugą współrzędną równą \\(-3\\) (nie pierwszą!). Odpowiedź \\(P = 3\\) to błąd wynikający z pomylenia współrzędnych lub upuszczenia znaku minus - wyraz wolny \\(b = -3\\), nie \\(3\\).
\n

Poprawna odpowiedź: \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{1}{2},\\; y_{P} = -3.\\)

\n
Sposób 1 - Tangens i punkt przecięcia
\n

Współczynnik kierunkowy \\(a = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3} = \\operatorname{tg}\\alpha\\). Rozpoznajemy, że \\(\\operatorname{tg} 30° = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\), więc \\(\\alpha = 30°\\).
Zatem \\(\\sin\\alpha = \\sin 30° = \\dfrac{1}{2}.\\)

\n

Wykres przecina oś \\(Oy\\), gdy \\(x = 0\\): \\(f(0) = -3\\), więc \\(P = (0, -3)\\) i \\(y_{P} = -3\\).

\n
Sposób 2 - Bez tabeli wartości
\n

Z jedynki trygonometrycznej: \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\Rightarrow \\dfrac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\dfrac{1}{\\sqrt{3}}\\).
Z \\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1\\) i \\(\\cos\\alpha = \\sqrt{3}\\sin\\alpha\\) otrzymujemy \\(4\\sin^{2}\\alpha = 1\\), więc \\(\\sin\\alpha = \\tfrac{1}{2}\\) (kąt ostry).

\n
Uwagi o punktacji (CKE)
\n\n

Trik: współczynnik kierunkowy = \\(\\operatorname{tg}\\) kąta z osią \\(Ox\\); rozpoznaj standardowe kąty \\(30°, 45°, 60°\\).

"}]}