{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"33","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Ciąg \\((a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4})\\) jest arytmetyczny.\nSuma pierwszego i drugiego wyrazu jest o 12 większa od sumy trzeciego i czwartego wyrazu tego ciągu.\nOblicz różnicę tego ciągu.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(r = -3\\)\n\nRóżnica ciągu wynosi \\(\\mathbf{-3}\\).\n\n## Sposób 1 - Wzór ogólny ciągu arytmetycznego\n\nOznaczamy pierwszy wyraz ciągu jako \\(a_1\\), a różnicę jako \\(r\\).\n\nWyrazy ciągu:\n\\[a_1, \\quad a_2 = a_1 + r, \\quad a_3 = a_1 + 2r, \\quad a_4 = a_1 + 3r\\]\n\nWarunek z zadania: suma pierwszego i drugiego wyrazu jest o 12 **większa** od sumy trzeciego i czwartego:\n\\[a_1 + a_2 = a_3 + a_4 + 12\\]\n\nPodstawiamy wyrażenia przez \\(a_1\\) i \\(r\\):\n\\[(a_1) + (a_1 + r) = (a_1 + 2r) + (a_1 + 3r) + 12\\]\n\n\\[2a_1 + r = 2a_1 + 5r + 12\\]\n\nOdejmujemy \\(2a_1\\) od obu stron (znika!):\n\\[r = 5r + 12\\]\n\n\\[r - 5r = 12\\]\n\n\\[-4r = 12\\]\n\n\\[\\boxed{r = -3}\\]\n\n**Różnica ciągu wynosi \\(-3\\).**\n\n## Sposób 2 - Przez różnicę sum (bez wzoru ogólnego)\n\nZauważamy, że w ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz jest o \\(r\\) większy od poprzedniego, więc:\n\\[a_3 = a_2 + r, \\quad a_4 = a_3 + r = a_2 + 2r\\]\n\nObliczamy różnicę sum:\n\\[(a_1 + a_2) - (a_3 + a_4) = 12\\]\n\nWyrażamy \\(a_3\\) i \\(a_4\\) przez \\(a_1\\) i \\(a_2\\):\n\\[a_3 + a_4 = (a_2 + r) + (a_2 + 2r) = 2a_2 + 3r\\]\n\nAle \\(a_2 = a_1 + r\\), więc:\n\\[a_3 + a_4 = 2(a_1 + r) + 3r = 2a_1 + 5r\\]\n\\[a_1 + a_2 = a_1 + (a_1 + r) = 2a_1 + r\\]\n\nRóżnica:\n\\[(2a_1 + r) - (2a_1 + 5r) = 12\\]\n\\[-4r = 12\\]\n\\[r = -3\\]\n\n**Ten sam wynik - różnica ciągu to \\(-3\\).**\n\n## Weryfikacja\n\nSprawdzamy dla przykładowego ciągu z \\(r = -3\\), np. \\(a_1 = 10\\):\n\\[(10, 7, 4, 1)\\]\n\n- Suma pierwszego i drugiego: \\(10 + 7 = 17\\)\n- Suma trzeciego i czwartego: \\(4 + 1 = 5\\)\n- Różnica: \\(17 - 5 = 12\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\nUżyliśmy go do wypisania \\(a_2, a_3, a_4\\) jako wyrażeń z \\(a_1\\) i \\(r\\), co pozwoliło ułożyć równanie.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"suma A jest o 12 większa od sumy B\" to \\(A = B + 12\\), a NIE \\(A - B = -12\\). Łatwo pomylić kierunek i dostać \\(r = 3\\) zamiast \\(-3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(a_1\\) znika z równania - to normalne! Różnica \\(r\\) jest niezależna od pierwszego wyrazu, co jest cechą ciągów arytmetycznych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ujemna różnica (\\(r = -3\\)) jest jak najbardziej poprawna - oznacza, że ciąg jest **malejący**. Nie \"poprawiaj\" wyniku na dodatni.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(r = -3.\\)\n\n### Sposób 1 - Wyrażenie wszystkich wyrazów przez \\(a_{1}\\) i \\(r\\)\n\\(a_{1}+a_{2} = a_{3}+a_{4} + 12\\)\n\\(a_{1} + (a_{1}+r) = (a_{1}+2r) + (a_{1}+3r) + 12\\)\n\\(2a_{1} + r = 2a_{1} + 5r + 12\\)\n\\(-4r = 12\\)\n\\(r = -3.\\)\n\n### Sposób 2 - Różnice par\nW ciągu arytmetycznym \\(a_{3} = a_{1}+2r\\), \\(a_{4} = a_{2}+2r\\). Zatem \\(a_{3}+a_{4} = (a_{1}+a_{2}) + 4r\\).\nZ warunku: \\(a_{1}+a_{2} = (a_{1}+a_{2}) + 4r + 12 \\Rightarrow 4r = -12 \\Rightarrow r = -3\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **2 pkt** - poprawne obliczenie \\(r = -3\\).\n- **1 pkt** - zapisanie równania pozwalającego obliczyć \\(r\\).\n- Jeżeli zdający poda przykład ciągu np. \\((10, 7, 4, 1)\\) i zapisze \\(r = -3\\), otrzymuje **1 pkt**.\n\n**Trik:** w ciągu arytmetycznym różnica par odległych o \\(k\\) pozycji = \\(kr\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Ciąg \\((a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4})\\) jest arytmetyczny.
Suma pierwszego i drugiego wyrazu jest o 12 większa od sumy trzeciego i czwartego wyrazu tego ciągu.
Oblicz różnicę tego ciągu.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(r = -3\\)

\n

Różnica ciągu wynosi \\(\\mathbf{-3}\\).

\n

Sposób 1 - Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

\n

Oznaczamy pierwszy wyraz ciągu jako \\(a_1\\), a różnicę jako \\(r\\).

\n

Wyrazy ciągu:
\\[a_1, \\quad a_2 = a_1 + r, \\quad a_3 = a_1 + 2r, \\quad a_4 = a_1 + 3r\\]

\n

Warunek z zadania: suma pierwszego i drugiego wyrazu jest o 12 większa od sumy trzeciego i czwartego:
\\[a_1 + a_2 = a_3 + a_4 + 12\\]

\n

Podstawiamy wyrażenia przez \\(a_1\\) i \\(r\\):
\\[(a_1) + (a_1 + r) = (a_1 + 2r) + (a_1 + 3r) + 12\\]

\n

\\[2a_1 + r = 2a_1 + 5r + 12\\]

\n

Odejmujemy \\(2a_1\\) od obu stron (znika!):
\\[r = 5r + 12\\]

\n

\\[r - 5r = 12\\]

\n

\\[-4r = 12\\]

\n

\\[\\boxed{r = -3}\\]

\n

Różnica ciągu wynosi \\(-3\\).

\n

Sposób 2 - Przez różnicę sum (bez wzoru ogólnego)

\n

Zauważamy, że w ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz jest o \\(r\\) większy od poprzedniego, więc:
\\[a_3 = a_2 + r, \\quad a_4 = a_3 + r = a_2 + 2r\\]

\n

Obliczamy różnicę sum:
\\[(a_1 + a_2) - (a_3 + a_4) = 12\\]

\n

Wyrażamy \\(a_3\\) i \\(a_4\\) przez \\(a_1\\) i \\(a_2\\):
\\[a_3 + a_4 = (a_2 + r) + (a_2 + 2r) = 2a_2 + 3r\\]

\n

Ale \\(a_2 = a_1 + r\\), więc:
\\[a_3 + a_4 = 2(a_1 + r) + 3r = 2a_1 + 5r\\]
\\[a_1 + a_2 = a_1 + (a_1 + r) = 2a_1 + r\\]

\n

Różnica:
\\[(2a_1 + r) - (2a_1 + 5r) = 12\\]
\\[-4r = 12\\]
\\[r = -3\\]

\n

Ten sam wynik - różnica ciągu to \\(-3\\).

\n

Weryfikacja

\n

Sprawdzamy dla przykładowego ciągu z \\(r = -3\\), np. \\(a_1 = 10\\):
\\[(10, 7, 4, 1)\\]

\n\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:
\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]

\n

Użyliśmy go do wypisania \\(a_2, a_3, a_4\\) jako wyrażeń z \\(a_1\\) i \\(r\\), co pozwoliło ułożyć równanie.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: "suma A jest o 12 większa od sumy B" to \\(A = B + 12\\), a NIE \\(A - B = -12\\). Łatwo pomylić kierunek i dostać \\(r = 3\\) zamiast \\(-3\\).
\n
⚠️ Uwaga: \\(a_1\\) znika z równania - to normalne! Różnica \\(r\\) jest niezależna od pierwszego wyrazu, co jest cechą ciągów arytmetycznych.
\n
⚠️ Uwaga: Ujemna różnica (\\(r = -3\\)) jest jak najbardziej poprawna - oznacza, że ciąg jest malejący. Nie "poprawiaj" wyniku na dodatni.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(r = -3.\\)

\n
Sposób 1 - Wyrażenie wszystkich wyrazów przez \\(a_{1}\\) i \\(r\\)
\n

\\(a_{1}+a_{2} = a_{3}+a_{4} + 12\\)
\\(a_{1} + (a_{1}+r) = (a_{1}+2r) + (a_{1}+3r) + 12\\)
\\(2a_{1} + r = 2a_{1} + 5r + 12\\)
\\(-4r = 12\\)
\\(r = -3.\\)

\n
Sposób 2 - Różnice par
\n

W ciągu arytmetycznym \\(a_{3} = a_{1}+2r\\), \\(a_{4} = a_{2}+2r\\). Zatem \\(a_{3}+a_{4} = (a_{1}+a_{2}) + 4r\\).
Z warunku: \\(a_{1}+a_{2} = (a_{1}+a_{2}) + 4r + 12 \\Rightarrow 4r = -12 \\Rightarrow r = -3\\).

\n
Uwagi o punktacji (CKE)
\n\n

Trik: w ciągu arytmetycznym różnica par odległych o \\(k\\) pozycji = \\(kr\\).

"}]}