{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"34","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Podstawy trapezu prostokątnego ABCD mają długości: = 12 oraz = 6 . Wysokość AD tego trapezu ma długość 24 . Na odcinku AD leży punkt E taki, że =\n\n/matma-quiz/images/cke/EMAP-P0-100-2408/z34.png\n\n. D C \\(\\cdot\\) E \\(\\cdot\\) A B Oblicz długość odcinka BE . | Nr zadania Maks. liczbapkt Uzyskana liczba pkt --- --- || |||||","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(|BE| = 20\\)\n\n## Sposób 1 - Tangenty kątów i równanie z jedną niewiadomą\n\n**Ustawiamy układ współrzędnych.**\n\nPonieważ \\(AD\\) jest wysokością trapezu prostokątnego (i prostopadle łączy obie podstawy), przyjmijmy:\n\\[A = (0, 0), \\quad B = (12, 0), \\quad D = (0, 24), \\quad C = (6, 24)\\]\n\nPunkt \\(E\\) leży na \\(AD\\), czyli \\(E = (0, h)\\) dla pewnego \\(h \\in (0, 24)\\).\n\n**Obliczamy kąty.**\n\nKąt \\(\\angle BEA\\) - kąt przy \\(E\\) w trójkącie \\(BEA\\):\n- Kąt przy \\(A\\) jest prosty (bo \\(AD \\perp AB\\)), więc:\n\\[\\operatorname{tg}(\\angle BEA) = \\frac{|AB|}{|EA|} = \\frac{12}{h}\\]\n\nKąt \\(\\angle CED\\) - kąt przy \\(E\\) w trójkącie \\(CED\\):\n- Kąt przy \\(D\\) jest prosty (bo \\(AD \\perp CD\\)), więc:\n\\[\\operatorname{tg}(\\angle CED) = \\frac{|CD|}{|ED|} = \\frac{6}{24-h}\\]\n\n**Warunek z zadania:** \\(|\\angle BEA| = |\\angle CED|\\), czyli:\n\\[\\frac{12}{h} = \\frac{6}{24-h}\\]\n\n**Rozwiązujemy:**\n\\[12(24-h) = 6h\\]\n\\[288 - 12h = 6h\\]\n\\[288 = 18h\\]\n\\[h = 16\\]\n\nZatem \\(E = (0, 16)\\), czyli \\(|AE| = 16\\).\n\n**Obliczamy \\(|BE|\\):**\n\\[|BE| = \\sqrt{|AB|^2 + |AE|^2} = \\sqrt{12^2 + 16^2} = \\sqrt{144 + 256} = \\sqrt{400} = \\boxed{20}\\]\n\n## Sposób 2 - Podobieństwo trójkątów\n\nOznaczymy \\(|AE| = x\\), więc \\(|ED| = 24 - x\\).\n\nWarunek \\(\\angle BEA = \\angle CED\\) oznacza, że **trójkąty \\(ABE\\) i \\(DCE\\) mają dwa równe kąty** (każdy z nich ma kąt prosty: \\(\\angle A = \\angle D = 90°\\)), więc są **podobne**:\n\\[\\triangle ABE \\sim \\triangle DCE\\]\n\nZ podobieństwa wynika proporcja boków przy równych kątach:\n\\[\\frac{|AE|}{|DE|} = \\frac{|AB|}{|DC|}\\]\n\\[\\frac{x}{24 - x} = \\frac{12}{6} = 2\\]\n\\[x = 2(24-x)\\]\n\\[x = 48 - 2x\\]\n\\[3x = 48\\]\n\\[x = 16\\]\n\nDługość \\(|BE|\\) - z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \\(ABE\\) (kąt prosty przy \\(A\\)):\n\\[|BE| = \\sqrt{|AB|^2 + |AE|^2} = \\sqrt{144 + 256} = \\sqrt{400} = \\mathbf{20}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad (\\text{gdy kąt przy } C = 90°)\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia \\(|BE|\\) w trójkącie prostokątnym \\(ABE\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - definicja tangensa:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciw}}{\\text{przyprostokątna przy}}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyrażenia kątów \\(\\angle BEA\\) i \\(\\angle CED\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, która przyprostokątna jest \"przy\" kącie, a która \"naprzeciw\". W trójkącie \\(BEA\\) kąt prosty jest przy \\(A\\), więc \\(\\operatorname{tg}(\\angle BEA) = \\frac{AB}{AE}\\) - nie odwrotnie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(|CD| = 6\\) to *krótsza* podstawa, a \\(|AB| = 12\\) to *dłuższa*. W proporcji podobieństwa musi być \\(\\frac{AB}{DC} = \\frac{12}{6} = 2\\) - zamiana daje błędne \\(h = 8\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(\\sqrt{400} = 20\\) to \"ładna\" liczba - jeśli wychodzi coś brzydkiego, warto sprawdzić, czy nie pomylono podstaw trapezu lub wysokości.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(|BE| = 20.\\)\n\n### Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów\nTrójkąty \\(ABE\\) i \\(DCE\\) są prostokątne (przy \\(A\\) i \\(D\\)) z równymi kątami \\(\\angle BEA = \\angle CED\\), więc podobne (cecha kąt-kąt).\n\\(\\dfrac{|AE|}{|AB|} = \\dfrac{|DE|}{|CD|} \\Rightarrow \\dfrac{|AE|}{12} = \\dfrac{24-|AE|}{6}\\)\n\\(6|AE| = 12(24 - |AE|)\\)\n\\(6|AE| = 288 - 12|AE|\\)\n\\(18|AE| = 288 \\Rightarrow |AE| = 16.\\)\n\nZ twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \\(ABE\\):\n\\(|BE|^{2} = |AB|^{2} + |AE|^{2} = 144 + 256 = 400\\)\n\\(|BE| = 20.\\)\n\n### Sposób 2 - Skala podobieństwa\nSkala \\(k = \\dfrac{|AB|}{|CD|} = \\dfrac{12}{6} = 2\\). Stąd \\(|AE| = 2|DE|\\). \\(|AE|+|DE| = 24 \\Rightarrow 3|DE| = 24 \\Rightarrow |DE| = 8,\\; |AE| = 16\\). Dalej Pitagoras: \\(|BE| = 20\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **2 pkt** - poprawna metoda i wynik \\(|BE| = 20\\).\n- **1 pkt** - obliczenie \\(|DE| = 8\\) ALBO \\(|AE| = 16\\).\n- Jeżeli tylko zapis \\(|BE| = 20\\) bez metody, to **0 pkt**.\n\n**Trik:** kąt \\(\\alpha\\) wspólny + dwa kąty proste dają podobieństwo (cecha kąt-kąt-kąt).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Podstawy trapezu prostokątnego ABCD mają długości: = 12 oraz = 6 . Wysokość AD tego trapezu ma długość 24 . Na odcinku AD leży punkt E taki, że =

\n

/matma-quiz/images/cke/EMAP-P0-100-2408/z34.png

\n

. D C \\(\\cdot\\) E \\(\\cdot\\) A B Oblicz długość odcinka BE . | Nr zadania Maks. liczbapkt Uzyskana liczba pkt --- --- || |||||

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(|BE| = 20\\)

\n

Sposób 1 - Tangenty kątów i równanie z jedną niewiadomą

\n

Ustawiamy układ współrzędnych.

\n

Ponieważ \\(AD\\) jest wysokością trapezu prostokątnego (i prostopadle łączy obie podstawy), przyjmijmy:
\\[A = (0, 0), \\quad B = (12, 0), \\quad D = (0, 24), \\quad C = (6, 24)\\]

\n

Punkt \\(E\\) leży na \\(AD\\), czyli \\(E = (0, h)\\) dla pewnego \\(h \\in (0, 24)\\).

\n

Obliczamy kąty.

\n

Kąt \\(\\angle BEA\\) - kąt przy \\(E\\) w trójkącie \\(BEA\\):

\n\n

\\[\\operatorname{tg}(\\angle BEA) = \\frac{|AB|}{|EA|} = \\frac{12}{h}\\]

\n

Kąt \\(\\angle CED\\) - kąt przy \\(E\\) w trójkącie \\(CED\\):

\n\n

\\[\\operatorname{tg}(\\angle CED) = \\frac{|CD|}{|ED|} = \\frac{6}{24-h}\\]

\n

Warunek z zadania: \\(|\\angle BEA| = |\\angle CED|\\), czyli:
\\[\\frac{12}{h} = \\frac{6}{24-h}\\]

\n

Rozwiązujemy:
\\[12(24-h) = 6h\\]
\\[288 - 12h = 6h\\]
\\[288 = 18h\\]
\\[h = 16\\]

\n

Zatem \\(E = (0, 16)\\), czyli \\(|AE| = 16\\).

\n

Obliczamy \\(|BE|\\):
\\[|BE| = \\sqrt{|AB|^2 + |AE|^2} = \\sqrt{12^2 + 16^2} = \\sqrt{144 + 256} = \\sqrt{400} = \\boxed{20}\\]

\n

Sposób 2 - Podobieństwo trójkątów

\n

Oznaczymy \\(|AE| = x\\), więc \\(|ED| = 24 - x\\).

\n

Warunek \\(\\angle BEA = \\angle CED\\) oznacza, że trójkąty \\(ABE\\) i \\(DCE\\) mają dwa równe kąty (każdy z nich ma kąt prosty: \\(\\angle A = \\angle D = 90°\\)), więc są podobne:
\\[\\triangle ABE \\sim \\triangle DCE\\]

\n

Z podobieństwa wynika proporcja boków przy równych kątach:
\\[\\frac{|AE|}{|DE|} = \\frac{|AB|}{|DC|}\\]
\\[\\frac{x}{24 - x} = \\frac{12}{6} = 2\\]
\\[x = 2(24-x)\\]
\\[x = 48 - 2x\\]
\\[3x = 48\\]
\\[x = 16\\]

\n

Długość \\(|BE|\\) - z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \\(ABE\\) (kąt prosty przy \\(A\\)):
\\[|BE| = \\sqrt{|AB|^2 + |AE|^2} = \\sqrt{144 + 256} = \\sqrt{400} = \\mathbf{20}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-16) - Twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad (\\text{gdy kąt przy } C = 90°)\\]
Użyliśmy go do wyznaczenia \\(|BE|\\) w trójkącie prostokątnym \\(ABE\\).

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12) - definicja tangensa:
\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciw}}{\\text{przyprostokątna przy}}\\]
Użyliśmy w Sposobie 1 do wyrażenia kątów \\(\\angle BEA\\) i \\(\\angle CED\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić, która przyprostokątna jest "przy" kącie, a która "naprzeciw". W trójkącie \\(BEA\\) kąt prosty jest przy \\(A\\), więc \\(\\operatorname{tg}(\\angle BEA) = \\frac{AB}{AE}\\) - nie odwrotnie!
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że \\(|CD| = 6\\) to krótsza podstawa, a \\(|AB| = 12\\) to dłuższa. W proporcji podobieństwa musi być \\(\\frac{AB}{DC} = \\frac{12}{6} = 2\\) - zamiana daje błędne \\(h = 8\\).
\n
⚠️ Uwaga: Wynik \\(\\sqrt{400} = 20\\) to "ładna" liczba - jeśli wychodzi coś brzydkiego, warto sprawdzić, czy nie pomylono podstaw trapezu lub wysokości.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(|BE| = 20.\\)

\n
Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów
\n

Trójkąty \\(ABE\\) i \\(DCE\\) są prostokątne (przy \\(A\\) i \\(D\\)) z równymi kątami \\(\\angle BEA = \\angle CED\\), więc podobne (cecha kąt-kąt).
\\(\\dfrac{|AE|}{|AB|} = \\dfrac{|DE|}{|CD|} \\Rightarrow \\dfrac{|AE|}{12} = \\dfrac{24-|AE|}{6}\\)
\\(6|AE| = 12(24 - |AE|)\\)
\\(6|AE| = 288 - 12|AE|\\)
\\(18|AE| = 288 \\Rightarrow |AE| = 16.\\)

\n

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \\(ABE\\):
\\(|BE|^{2} = |AB|^{2} + |AE|^{2} = 144 + 256 = 400\\)
\\(|BE| = 20.\\)

\n
Sposób 2 - Skala podobieństwa
\n

Skala \\(k = \\dfrac{|AB|}{|CD|} = \\dfrac{12}{6} = 2\\). Stąd \\(|AE| = 2|DE|\\). \\(|AE|+|DE| = 24 \\Rightarrow 3|DE| = 24 \\Rightarrow |DE| = 8,\\; |AE| = 16\\). Dalej Pitagoras: \\(|BE| = 20\\).

\n
Uwagi o punktacji (CKE)
\n\n

Trik: kąt \\(\\alpha\\) wspólny + dwa kąty proste dają podobieństwo (cecha kąt-kąt-kąt).

"}]}