{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/35","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"35","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Dane są dwa zbiory: \\(C = \\{0, 4, 5, 7, 9\\}\\) oraz \\(D = \\{1, 2, 3\\}\\).\nLosujemy jedną liczbę ze zbioru \\(C\\), a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru \\(D\\).\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \\(A\\) polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie większa od 9.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\frac{4}{15}\\)\n\n## Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (tabela par)\n\n**Krok 1: Przestrzeń zdarzeń elementarnych**\n\nLosujemy jedną liczbę z \\(C\\) (5 możliwości) i jedną z \\(D\\) (3 możliwości). Losowania są niezależne, więc:\n\n\\[|\\Omega| = 5 \\cdot 3 = 15\\]\n\n**Krok 2: Wypisanie wszystkich par (c, d) i ich sum**\n\nSystematycznie sprawdzamy każdą parę:\n\n| \\(c \\in C\\) | \\(d = 1\\) | \\(d = 2\\) | \\(d = 3\\) |\n| 0 | 1 | 2 | 3 |\n| 4 | 5 | 6 | 7 |\n| 5 | 6 | 7 | 8 |\n| **7** | 8 | 9 | **10 ✓** |\n| **9** | **10 ✓** | **11 ✓** | **12 ✓** |\n\n**Krok 3: Zliczenie sprzyjających zdarzeń**\n\nSumy większe od 9 (czyli \\(\\geq 10\\)) dają pary:\n\\[(7, 3),\\quad (9, 1),\\quad (9, 2),\\quad (9, 3)\\]\n\n\\[|A| = 4\\]\n\n**Krok 4: Obliczenie prawdopodobieństwa**\n\n\\[\\boxed{P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{4}{15}}\\]\n\n## Sposób 2 - Analiza przez wartości z C (zdarzenia wykluczające się)\n\nRozbijamy zdarzenie \\(A\\) na przypadki względem wartości wylosowanej z \\(C\\):\n\n- \\(c = 0\\): potrzebujemy \\(d > 9\\) - niemożliwe, bo \\(D = \\{1,2,3\\}\\). Szansa: 0.\n- \\(c = 4\\): potrzebujemy \\(d > 5\\) - niemożliwe. Szansa: 0.\n- \\(c = 5\\): potrzebujemy \\(d > 4\\) - niemożliwe. Szansa: 0.\n- \\(c = 7\\): potrzebujemy \\(d > 2\\), czyli \\(d = 3\\). Szansa: \\(\\frac{1}{5} \\cdot \\frac{1}{3}\\).\n- \\(c = 9\\): potrzebujemy \\(d > 0\\), czyli każde \\(d \\in \\{1,2,3\\}\\). Szansa: \\(\\frac{1}{5} \\cdot \\frac{3}{3}\\).\n\nKażda wartość \\(c\\) losowana z równym prawdopodobieństwem \\(\\frac{1}{5}\\):\n\n\\[P(A) = \\frac{1}{5} \\cdot 0 + \\frac{1}{5} \\cdot 0 + \\frac{1}{5} \\cdot 0 + \\frac{1}{5} \\cdot \\frac{1}{3} + \\frac{1}{5} \\cdot \\frac{3}{3}\\]\n\n\\[P(A) = \\frac{1}{5} \\cdot \\frac{1}{3} + \\frac{1}{5} \\cdot 1 = \\frac{1}{15} + \\frac{3}{15} = \\frac{4}{15}\\]\n\nWynik zgodny z pierwszym sposobem. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\ngdzie \\(|A|\\) to liczba zdarzeń sprzyjających, \\(|\\Omega|\\) to liczba wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.\n\nUżyliśmy tego wzoru bezpośrednio w Sposobie 1.\n\nW Sposobie 2 korzystamy też z własności:\n\\[P(A_1 \\cup A_2 \\cup \\ldots) = P(A_1) + P(A_2) + \\ldots\\]\ndla zdarzeń wykluczających się (parami rozłącznych).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić „suma **większa** od 9\" z „suma **nie mniejsza** od 9\". Suma równa 9 (np. para \\((7, 2)\\)) **nie** należy do zdarzenia \\(A\\)! Sprawdź tabelę - \\(7+2=9\\) to za mało.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przestrzeń zdarzeń to **pary** \\((c, d)\\), nie same sumy. Sumy mogą się powtarzać (np. suma 10 pojawia się przy \\((7,3)\\) i \\((9,1)\\)) - każdą parę liczymy osobno, nie możemy liczyć unikalnych wartości sum.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mianownik to \\(5 \\cdot 3 = 15\\), bo losowania są **niezależne** i każda para jest jednakowo prawdopodobna. Błąd: wzięcie mianownika \\(5 + 3 = 8\\) (suma zamiast iloczyn) - to byłoby błędne.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(P(A) = \\dfrac{4}{15}.\\)\n\n### Sposób 1 - Reguła mnożenia\nZdarzenia elementarne to pary \\((x,y)\\), gdzie \\(x \\in C\\), \\(y \\in D\\).\n\\(|\\Omega| = 5\\cdot 3 = 15.\\)\nSzukamy par o sumie \\(> 9\\): \\((7,3)\\) [bo \\(10\\)], \\((9,1)\\) [bo \\(10\\)], \\((9,2)\\) [bo \\(11\\)], \\((9,3)\\) [bo \\(12\\)]. Razem \\(|A| = 4\\).\n\\(P(A) = \\dfrac{4}{15}.\\)\n\n### Sposób 2 - Tabela\nUtwórzmy tabelę par \\((C, D)\\) i zaznaczmy pola spełniające sumę \\(>9\\): cztery pary. \\(|\\Omega|=15\\), \\(|A|=4\\), więc \\(P(A) = \\tfrac{4}{15}\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **2 pkt** - poprawna metoda i wynik \\(\\tfrac{4}{15}\\).\n- **1 pkt** - wypisanie \\(|\\Omega| = 15\\) ALBO \\(|A| = 4\\) ALBO prawdopodobieństwo pojedynczego zdarzenia \\(\\tfrac{1}{15}\\).\n- **0 pkt** - zapis samej liczby \\(4\\) lub \\(15\\) bez kontekstu.\n\n**Trik:** klasyczna definicja: \\(P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|}\\); wypisz zdarzenia sprzyjające systematycznie.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Dane są dwa zbiory: \\(C = \\{0, 4, 5, 7, 9\\}\\) oraz \\(D = \\{1, 2, 3\\}\\).<br>Losujemy jedną liczbę ze zbioru \\(C\\), a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru \\(D\\).<br>Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \\(A\\) polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb będzie większa od 9.</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(\\frac{4}{15}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (tabela par)</h4>\n<p><strong>Krok 1: Przestrzeń zdarzeń elementarnych</strong></p>\n<p>Losujemy jedną liczbę z \\(C\\) (5 możliwości) i jedną z \\(D\\) (3 możliwości). Losowania są niezależne, więc:</p>\n<p>\\[|\\Omega| = 5 \\cdot 3 = 15\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wypisanie wszystkich par (c, d) i ich sum</strong></p>\n<p>Systematycznie sprawdzamy każdą parę:</p>\n<p>| \\(c \\in C\\) | \\(d = 1\\) | \\(d = 2\\) | \\(d = 3\\) |<br>| 0 | 1 | 2 | 3 |<br>| 4 | 5 | 6 | 7 |<br>| 5 | 6 | 7 | 8 |<br>| <strong>7</strong> | 8 | 9 | <strong>10 ✓</strong> |<br>| <strong>9</strong> | <strong>10 ✓</strong> | <strong>11 ✓</strong> | <strong>12 ✓</strong> |</p>\n<p><strong>Krok 3: Zliczenie sprzyjających zdarzeń</strong></p>\n<p>Sumy większe od 9 (czyli \\(\\geq 10\\)) dają pary:<br>\\[(7, 3),\\quad (9, 1),\\quad (9, 2),\\quad (9, 3)\\]</p>\n<p>\\[|A| = 4\\]</p>\n<p><strong>Krok 4: Obliczenie prawdopodobieństwa</strong></p>\n<p>\\[\\boxed{P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{4}{15}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Analiza przez wartości z C (zdarzenia wykluczające się)</h4>\n<p>Rozbijamy zdarzenie \\(A\\) na przypadki względem wartości wylosowanej z \\(C\\):</p>\n<ul><li>\\(c = 0\\): potrzebujemy \\(d &gt; 9\\) - niemożliwe, bo \\(D = \\{1,2,3\\}\\). Szansa: 0.</li><li>\\(c = 4\\): potrzebujemy \\(d &gt; 5\\) - niemożliwe. Szansa: 0.</li><li>\\(c = 5\\): potrzebujemy \\(d &gt; 4\\) - niemożliwe. Szansa: 0.</li><li>\\(c = 7\\): potrzebujemy \\(d &gt; 2\\), czyli \\(d = 3\\). Szansa: \\(\\frac{1}{5} \\cdot \\frac{1}{3}\\).</li><li>\\(c = 9\\): potrzebujemy \\(d &gt; 0\\), czyli każde \\(d \\in \\{1,2,3\\}\\). Szansa: \\(\\frac{1}{5} \\cdot \\frac{3}{3}\\).</li></ul>\n<p>Każda wartość \\(c\\) losowana z równym prawdopodobieństwem \\(\\frac{1}{5}\\):</p>\n<p>\\[P(A) = \\frac{1}{5} \\cdot 0 + \\frac{1}{5} \\cdot 0 + \\frac{1}{5} \\cdot 0 + \\frac{1}{5} \\cdot \\frac{1}{3} + \\frac{1}{5} \\cdot \\frac{3}{3}\\]</p>\n<p>\\[P(A) = \\frac{1}{5} \\cdot \\frac{1}{3} + \\frac{1}{5} \\cdot 1 = \\frac{1}{15} + \\frac{3}{15} = \\frac{4}{15}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny z pierwszym sposobem. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)</strong> - prawdopodobieństwo klasyczne:<br>\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]<br>gdzie \\(|A|\\) to liczba zdarzeń sprzyjających, \\(|\\Omega|\\) to liczba wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych.</p>\n<p>Użyliśmy tego wzoru bezpośrednio w Sposobie 1.</p>\n<p>W Sposobie 2 korzystamy też z własności:<br>\\[P(A_1 \\cup A_2 \\cup \\ldots) = P(A_1) + P(A_2) + \\ldots\\]<br>dla zdarzeń wykluczających się (parami rozłącznych).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić „suma <strong>większa</strong> od 9&quot; z „suma <strong>nie mniejsza</strong> od 9&quot;. Suma równa 9 (np. para \\((7, 2)\\)) <strong>nie</strong> należy do zdarzenia \\(A\\)! Sprawdź tabelę - \\(7+2=9\\) to za mało.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przestrzeń zdarzeń to <strong>pary</strong> \\((c, d)\\), nie same sumy. Sumy mogą się powtarzać (np. suma 10 pojawia się przy \\((7,3)\\) i \\((9,1)\\)) - każdą parę liczymy osobno, nie możemy liczyć unikalnych wartości sum.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Mianownik to \\(5 \\cdot 3 = 15\\), bo losowania są <strong>niezależne</strong> i każda para jest jednakowo prawdopodobna. Błąd: wzięcie mianownika \\(5 + 3 = 8\\) (suma zamiast iloczyn) - to byłoby błędne.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź:</strong> \\(P(A) = \\dfrac{4}{15}.\\)</p>\n<h5>Sposób 1 - Reguła mnożenia</h5>\n<p>Zdarzenia elementarne to pary \\((x,y)\\), gdzie \\(x \\in C\\), \\(y \\in D\\).<br>\\(|\\Omega| = 5\\cdot 3 = 15.\\)<br>Szukamy par o sumie \\(&gt; 9\\): \\((7,3)\\) [bo \\(10\\)], \\((9,1)\\) [bo \\(10\\)], \\((9,2)\\) [bo \\(11\\)], \\((9,3)\\) [bo \\(12\\)]. Razem \\(|A| = 4\\).<br>\\(P(A) = \\dfrac{4}{15}.\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Tabela</h5>\n<p>Utwórzmy tabelę par \\((C, D)\\) i zaznaczmy pola spełniające sumę \\(&gt;9\\): cztery pary. \\(|\\Omega|=15\\), \\(|A|=4\\), więc \\(P(A) = \\tfrac{4}{15}\\).</p>\n<h5>Uwagi o punktacji (CKE)</h5>\n<ul><li><strong>2 pkt</strong> - poprawna metoda i wynik \\(\\tfrac{4}{15}\\).</li><li><strong>1 pkt</strong> - wypisanie \\(|\\Omega| = 15\\) ALBO \\(|A| = 4\\) ALBO prawdopodobieństwo pojedynczego zdarzenia \\(\\tfrac{1}{15}\\).</li><li><strong>0 pkt</strong> - zapis samej liczby \\(4\\) lub \\(15\\) bez kontekstu.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> klasyczna definicja: \\(P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|}\\); wypisz zdarzenia sprzyjające systematycznie.</p>"}]}