{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/36","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"36","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"W układzie współrzędnych \\((x, y)\\) przekątne równoległoboku \\(ABCD\\) przecinają się w punkcie \\(S = (9, 11)\\). Bok \\(AB\\) tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu \\(y = \\frac{1}{2}x - 1\\), a bok \\(AD\\) zawiera się w prostej o równaniu \\(y = 2x - 4\\).\nOblicz współrzędne wierzchołka \\(B\\) oraz długość odcinka \\(BS\\).","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B = (6, 2), |BS| = 3√10\n\n## Sposób 1 - własność przekątnych równoległoboku (punkt środkowy)\n\n**Kluczowa własność:** W równoległoboku przekątne bisekują się nawzajem - punkt \\(S\\) jest środkiem obu przekątnych \\(AC\\) i \\(BD\\).\n\n**Krok 1: Wyznacz wierzchołek \\(A\\)**\n\n\\(A\\) leży jednocześnie na boku \\(AB\\) i na boku \\(AD\\), więc szukamy punktu przecięcia obu prostych:\n\\[\\frac{1}{2}x - 1 = 2x - 4\\]\n\\[4 - 1 = 2x - \\frac{1}{2}x\\]\n\\[3 = \\frac{3}{2}x \\implies x = 2\\]\n\\[y = 2 \\cdot 2 - 4 = 0\\]\n\nZatem \\(A = (2,\\, 0)\\).\n\n**Krok 2: Wyznacz wierzchołek \\(C\\)**\n\n\\(S = (9, 11)\\) jest środkiem odcinka \\(AC\\):\n\\[\\frac{x_A + x_C}{2} = 9 \\implies x_C = 18 - 2 = 16\\]\n\\[\\frac{y_A + y_C}{2} = 11 \\implies y_C = 22 - 0 = 22\\]\n\nZatem \\(C = (16,\\, 22)\\).\n\n**Krok 3: Wyznacz wierzchołek \\(B\\)**\n\nNiech \\(B = (t,\\; \\frac{1}{2}t - 1)\\) - bo \\(B\\) leży na prostej \\(AB\\).\n\n\\(S = (9,11)\\) jest środkiem odcinka \\(BD\\), więc:\n\\[D = (18 - t,\\;\\; 22 - \\tfrac{1}{2}t + 1) = (18-t,\\; 23 - \\tfrac{1}{2}t)\\]\n\n\\(D\\) musi leżeć na prostej \\(AD\\): \\(y = 2x - 4\\), więc:\n\\[23 - \\tfrac{1}{2}t = 2(18 - t) - 4\\]\n\\[23 - \\tfrac{1}{2}t = 36 - 2t - 4\\]\n\\[23 - \\tfrac{1}{2}t = 32 - 2t\\]\n\\[2t - \\tfrac{1}{2}t = 32 - 23\\]\n\\[\\tfrac{3}{2}t = 9 \\implies t = 6\\]\n\n\\[x_B = 6, \\quad y_B = \\tfrac{1}{2} \\cdot 6 - 1 = 2\\]\n\n**\\(B = (6,\\; 2)\\)**\n\n**Krok 4: Oblicz długość \\(|BS|\\)**\n\n\\[|BS| = \\sqrt{(9-6)^2 + (11-2)^2} = \\sqrt{9 + 81} = \\sqrt{90} = \\sqrt{9 \\cdot 10} = \\mathbf{3\\sqrt{10}}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez pełne wyznaczenie równoległoboku\n\nSprawdźmy, że \\(A=(2,0)\\), \\(B=(6,2)\\), \\(C=(16,22)\\), \\(D=(12,20)\\) tworzą poprawny równoległobok.\n\n**Wektor \\(\\overrightarrow{AB}\\):**\n\\[\\overrightarrow{AB} = (6-2,\\; 2-0) = (4,\\; 2)\\]\n\n**Wektor \\(\\overrightarrow{DC}\\):**\n\\[\\overrightarrow{DC} = (16-12,\\; 22-20) = (4,\\; 2) \\checkmark\\]\n\n\\(\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{DC}\\) - boki równoległe i równej długości ✓\n\n**Wektor \\(\\overrightarrow{AD}\\):**\n\\[\\overrightarrow{AD} = (12-2,\\; 20-0) = (10,\\; 20)\\]\n\n**Wektor \\(\\overrightarrow{BC}\\):**\n\\[\\overrightarrow{BC} = (16-6,\\; 22-2) = (10,\\; 20) \\checkmark\\]\n\n**Sprawdzenie D na prostej \\(AD\\):** \\(y = 2x - 4 \\implies 2 \\cdot 12 - 4 = 20\\) ✓\n\n**Środek \\(BD\\):**\n\\[\\left(\\frac{6+12}{2},\\; \\frac{2+20}{2}\\right) = (9,\\; 11) = S \\checkmark\\]\n\nWszystko się zgadza. \\(\\mathbf{B = (6,\\; 2)}\\) i \\(\\mathbf{|BS| = 3\\sqrt{10}}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25):**\n\n1. **Długość odcinka:**\n\\[|BS| = \\sqrt{(x_S - x_B)^2 + (y_S - y_B)^2}\\]\nUżyte w kroku 4 do policzenia \\(|BS|\\).\n\n2. **Środek odcinka:**\n\\[x_S = \\frac{x_B + x_D}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_B + y_D}{2}\\]\nTo było kluczem do wyznaczenia zarówno \\(C\\) (ze środka \\(AC\\)) jak i do sformułowania warunków na \\(B\\).\n\n3. **Równanie prostej \\(y = ax + b\\):** używane do zapisu boków równoległoboku.\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie szukamy punktów na podstawie samych równań prostych - proste to nieskończone linie, a wierzchołki to konkretne punkty. Kluczem jest własność środka przekątnych!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wierzchołki równoległoboku kolejno to \\(A, B, C, D\\) - przekątne to \\(AC\\) i \\(BD\\), nie \\(AB\\) ani \\(BC\\). Łatwo się pomylić w kolejności wierzchołków i szukać środka złej przekątnej.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{90} \\neq 9\\sqrt{10}\\). Pamiętaj o upraszczaniu: \\(\\sqrt{90} = \\sqrt{9 \\cdot 10} = 3\\sqrt{10} \\approx 9{,}49\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(B = (6, 2),\\; |BS| = \\sqrt{90} = 3\\sqrt{10}.\\)\n\n### Sposób 1 - Przez punkt \\(A\\) i równoległość prostej \\(BC\\) do \\(AD\\)\n**Krok 1.** Punkt \\(A\\) to przecięcie prostych \\(AB\\) i \\(AD\\):\n\\(\\tfrac{1}{2}x - 1 = 2x - 4 \\Rightarrow \\tfrac{3}{2}x = 3 \\Rightarrow x = 2,\\; y = 0.\\) Więc \\(A = (2, 0).\\)\n\n**Krok 2.** \\(S\\) jest środkiem \\(AC\\), więc \\(C = 2S - A = (16, 22).\\)\n\n**Krok 3.** Prosta \\(BC\\) jest równoległa do \\(AD\\) (bok przeciwległy), ma współczynnik \\(2\\) i przechodzi przez \\(C\\):\n\\(y = 2(x-16) + 22 = 2x - 10.\\)\n\n**Krok 4.** \\(B\\) to przecięcie prostych \\(AB\\) i \\(BC\\):\n\\(\\tfrac{1}{2}x - 1 = 2x - 10 \\Rightarrow \\tfrac{3}{2}x = 9 \\Rightarrow x = 6,\\; y = 2.\\) Więc \\(B = (6, 2).\\)\n\n**Krok 5.** \\(|BS| = \\sqrt{(9-6)^{2} + (11-2)^{2}} = \\sqrt{9 + 81} = \\sqrt{90} = 3\\sqrt{10}.\\)\n\n### Sposób 2 - Przez środki boków\n\\(A = (2,0)\\) (jak wyżej). Środek boku \\(AB\\), oznaczmy \\(M_{AB}\\), leży na prostej przechodzącej przez \\(S\\) równoległej do \\(AD\\): \\(y = 2x - 7\\). Przecięcie z prostą \\(AB\\) (\\(y = \\tfrac{1}{2}x - 1\\)): \\(x = 4,\\; y = 1\\). Więc \\(M_{AB} = (4,1)\\). Z \\(M_{AB} = \\tfrac{A+B}{2}\\) mamy \\(B = 2M_{AB} - A = (6, 2)\\). Dalej \\(|BS| = 3\\sqrt{10}.\\)\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **5 pkt** - poprawne \\(B = (6,2)\\) i \\(|BS| = \\sqrt{90}\\).\n- **4 pkt** - tylko \\(B = (6,2)\\) ALBO \\(D=(12,20)\\) i \\(|DS|=\\sqrt{90}\\).\n- **3 pkt** - wyznaczenie \\(BC:\\,y = 2x - 10\\) ALBO \\(D = (12,20)\\) ALBO \\(A=(2,0),\\; C=(16,22)\\).\n- **2 pkt** - obliczenie \\(C=(16,22)\\) ALBO środka \\(M_{AB}\\).\n- **1 pkt** - obliczenie \\(A=(2,0)\\).\n- **0 pkt** - niepoprawna metoda.\n\n**Trik:** w równoległoboku \\(S\\) jest środkiem obu przekątnych; boki przeciwległe są równoległe.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

W układzie współrzędnych \\((x, y)\\) przekątne równoległoboku \\(ABCD\\) przecinają się w punkcie \\(S = (9, 11)\\). Bok \\(AB\\) tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu \\(y = \\frac{1}{2}x - 1\\), a bok \\(AD\\) zawiera się w prostej o równaniu \\(y = 2x - 4\\).
Oblicz współrzędne wierzchołka \\(B\\) oraz długość odcinka \\(BS\\).

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B = (6, 2), |BS| = 3√10

\n

Sposób 1 - własność przekątnych równoległoboku (punkt środkowy)

\n

Kluczowa własność: W równoległoboku przekątne bisekują się nawzajem - punkt \\(S\\) jest środkiem obu przekątnych \\(AC\\) i \\(BD\\).

\n

Krok 1: Wyznacz wierzchołek \\(A\\)

\n

\\(A\\) leży jednocześnie na boku \\(AB\\) i na boku \\(AD\\), więc szukamy punktu przecięcia obu prostych:
\\[\\frac{1}{2}x - 1 = 2x - 4\\]
\\[4 - 1 = 2x - \\frac{1}{2}x\\]
\\[3 = \\frac{3}{2}x \\implies x = 2\\]
\\[y = 2 \\cdot 2 - 4 = 0\\]

\n

Zatem \\(A = (2,\\, 0)\\).

\n

Krok 2: Wyznacz wierzchołek \\(C\\)

\n

\\(S = (9, 11)\\) jest środkiem odcinka \\(AC\\):
\\[\\frac{x_A + x_C}{2} = 9 \\implies x_C = 18 - 2 = 16\\]
\\[\\frac{y_A + y_C}{2} = 11 \\implies y_C = 22 - 0 = 22\\]

\n

Zatem \\(C = (16,\\, 22)\\).

\n

Krok 3: Wyznacz wierzchołek \\(B\\)

\n

Niech \\(B = (t,\\; \\frac{1}{2}t - 1)\\) - bo \\(B\\) leży na prostej \\(AB\\).

\n

\\(S = (9,11)\\) jest środkiem odcinka \\(BD\\), więc:
\\[D = (18 - t,\\;\\; 22 - \\tfrac{1}{2}t + 1) = (18-t,\\; 23 - \\tfrac{1}{2}t)\\]

\n

\\(D\\) musi leżeć na prostej \\(AD\\): \\(y = 2x - 4\\), więc:
\\[23 - \\tfrac{1}{2}t = 2(18 - t) - 4\\]
\\[23 - \\tfrac{1}{2}t = 36 - 2t - 4\\]
\\[23 - \\tfrac{1}{2}t = 32 - 2t\\]
\\[2t - \\tfrac{1}{2}t = 32 - 23\\]
\\[\\tfrac{3}{2}t = 9 \\implies t = 6\\]

\n

\\[x_B = 6, \\quad y_B = \\tfrac{1}{2} \\cdot 6 - 1 = 2\\]

\n

\\(B = (6,\\; 2)\\)

\n

Krok 4: Oblicz długość \\(|BS|\\)

\n

\\[|BS| = \\sqrt{(9-6)^2 + (11-2)^2} = \\sqrt{9 + 81} = \\sqrt{90} = \\sqrt{9 \\cdot 10} = \\mathbf{3\\sqrt{10}}\\]

\n

Sposób 2 - weryfikacja przez pełne wyznaczenie równoległoboku

\n

Sprawdźmy, że \\(A=(2,0)\\), \\(B=(6,2)\\), \\(C=(16,22)\\), \\(D=(12,20)\\) tworzą poprawny równoległobok.

\n

Wektor \\(\\overrightarrow{AB}\\):
\\[\\overrightarrow{AB} = (6-2,\\; 2-0) = (4,\\; 2)\\]

\n

Wektor \\(\\overrightarrow{DC}\\):
\\[\\overrightarrow{DC} = (16-12,\\; 22-20) = (4,\\; 2) \\checkmark\\]

\n

\\(\\overrightarrow{AB} = \\overrightarrow{DC}\\) - boki równoległe i równej długości ✓

\n

Wektor \\(\\overrightarrow{AD}\\):
\\[\\overrightarrow{AD} = (12-2,\\; 20-0) = (10,\\; 20)\\]

\n

Wektor \\(\\overrightarrow{BC}\\):
\\[\\overrightarrow{BC} = (16-6,\\; 22-2) = (10,\\; 20) \\checkmark\\]

\n

Sprawdzenie D na prostej \\(AD\\): \\(y = 2x - 4 \\implies 2 \\cdot 12 - 4 = 20\\) ✓

\n

Środek \\(BD\\):
\\[\\left(\\frac{6+12}{2},\\; \\frac{2+20}{2}\\right) = (9,\\; 11) = S \\checkmark\\]

\n

Wszystko się zgadza. \\(\\mathbf{B = (6,\\; 2)}\\) i \\(\\mathbf{|BS| = 3\\sqrt{10}}\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25):

\n
  1. Długość odcinka:
\n

\\[|BS| = \\sqrt{(x_S - x_B)^2 + (y_S - y_B)^2}\\]
Użyte w kroku 4 do policzenia \\(|BS|\\).

\n
  1. Środek odcinka:
\n

\\[x_S = \\frac{x_B + x_D}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_B + y_D}{2}\\]
To było kluczem do wyznaczenia zarówno \\(C\\) (ze środka \\(AC\\)) jak i do sformułowania warunków na \\(B\\).

\n
  1. Równanie prostej \\(y = ax + b\\): używane do zapisu boków równoległoboku.
\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Nie szukamy punktów na podstawie samych równań prostych - proste to nieskończone linie, a wierzchołki to konkretne punkty. Kluczem jest własność środka przekątnych!
\n
⚠️ Uwaga: Wierzchołki równoległoboku kolejno to \\(A, B, C, D\\) - przekątne to \\(AC\\) i \\(BD\\), nie \\(AB\\) ani \\(BC\\). Łatwo się pomylić w kolejności wierzchołków i szukać środka złej przekątnej.
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\sqrt{90} \\neq 9\\sqrt{10}\\). Pamiętaj o upraszczaniu: \\(\\sqrt{90} = \\sqrt{9 \\cdot 10} = 3\\sqrt{10} \\approx 9{,}49\\).
\n

Poprawna odpowiedź: \\(B = (6, 2),\\; |BS| = \\sqrt{90} = 3\\sqrt{10}.\\)

\n
Sposób 1 - Przez punkt \\(A\\) i równoległość prostej \\(BC\\) do \\(AD\\)
\n

Krok 1. Punkt \\(A\\) to przecięcie prostych \\(AB\\) i \\(AD\\):
\\(\\tfrac{1}{2}x - 1 = 2x - 4 \\Rightarrow \\tfrac{3}{2}x = 3 \\Rightarrow x = 2,\\; y = 0.\\) Więc \\(A = (2, 0).\\)

\n

Krok 2. \\(S\\) jest środkiem \\(AC\\), więc \\(C = 2S - A = (16, 22).\\)

\n

Krok 3. Prosta \\(BC\\) jest równoległa do \\(AD\\) (bok przeciwległy), ma współczynnik \\(2\\) i przechodzi przez \\(C\\):
\\(y = 2(x-16) + 22 = 2x - 10.\\)

\n

Krok 4. \\(B\\) to przecięcie prostych \\(AB\\) i \\(BC\\):
\\(\\tfrac{1}{2}x - 1 = 2x - 10 \\Rightarrow \\tfrac{3}{2}x = 9 \\Rightarrow x = 6,\\; y = 2.\\) Więc \\(B = (6, 2).\\)

\n

Krok 5. \\(|BS| = \\sqrt{(9-6)^{2} + (11-2)^{2}} = \\sqrt{9 + 81} = \\sqrt{90} = 3\\sqrt{10}.\\)

\n
Sposób 2 - Przez środki boków
\n

\\(A = (2,0)\\) (jak wyżej). Środek boku \\(AB\\), oznaczmy \\(M_{AB}\\), leży na prostej przechodzącej przez \\(S\\) równoległej do \\(AD\\): \\(y = 2x - 7\\). Przecięcie z prostą \\(AB\\) (\\(y = \\tfrac{1}{2}x - 1\\)): \\(x = 4,\\; y = 1\\). Więc \\(M_{AB} = (4,1)\\). Z \\(M_{AB} = \\tfrac{A+B}{2}\\) mamy \\(B = 2M_{AB} - A = (6, 2)\\). Dalej \\(|BS| = 3\\sqrt{10}.\\)

\n
Uwagi o punktacji (CKE)
\n\n

Trik: w równoległoboku \\(S\\) jest środkiem obu przekątnych; boki przeciwległe są równoległe.

"}]}