{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nRównanie 𝑥(𝑥+5)(2-𝑥)\n2𝑥+4\n= 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie\nA. dwa rozwiązania: (-5) oraz 2.\nB. dwa rozwiązania: (-5) oraz 0.\nC. trzy rozwiązania: (-5), 0 oraz 2.\nD. cztery rozwiązania: (-5), (-2), 0 oraz 2.\n\nMMAP-P0_100\nRównanie x(x+5)(2-x)/2x+4 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie A. dwa rozwiązania: (-5) oraz 2. B. dwa rozwiązania: (-5) oraz 0. C. trzy rozwiązania: (-5), 0 oraz 2. D. cztery rozwiązania: (-5), (-2), 0 oraz 2.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.6) rozwiązuje równania wymierne postaci\n𝑉(𝑥)\n𝑊(𝑥) = 0, gdzie wielomiany 𝑉(𝑥) i 𝑊(𝑥)\nsą zapisane w postaci iloczynowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(x = 17\\)\n\n## Sposób 1 - Mnożenie na krzyż (proporcja)\n\nMamy równanie:\n\\[\\frac{x-1}{2x-6} = \\frac{4}{7}\\]\n\n**Krok 1: Ustal dziedzinę.**\nMianownik \\(2x - 6 \\neq 0\\), czyli \\(x \\neq 3\\).\n\n**Krok 2: Mnożymy na krzyż** (licznik lewej × mianownik prawej = mianownik lewej × licznik prawej):\n\\[7(x-1) = 4(2x-6)\\]\n\n**Krok 3: Rozwijamy nawiasy:**\n\\[7x - 7 = 8x - 24\\]\n\n**Krok 4: Przenosimy wyrazy z \\(x\\) na lewą, liczby na prawą:**\n\\[7x - 8x = -24 + 7\\]\n\\[-x = -17\\]\n\\[\\boxed{x = 17}\\]\n\n**Krok 5: Sprawdzamy dziedzinę.** \\(x = 17 \\neq 3\\) - OK.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nPodstawiamy \\(x = 17\\) do lewej strony:\n\\[\\frac{17 - 1}{2 \\cdot 17 - 6} = \\frac{16}{34 - 6} = \\frac{16}{28} = \\frac{4}{7}\\]\n\nLewa strona równa się \\(\\frac{4}{7}\\) = prawa strona. ✓\n\n**Wynik potwierdzony:** \\(x = 17\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy przekształcanie równań (mnożenie na krzyż to standardowa technika algebry podstawowej, nieujęta w karcie wzorów).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(-5\\) | Błąd znaku przy przenoszeniu: \\(7x - 8x = 24 - 7 = 17\\), potem \\(-x = 17\\), więc \\(x = -17\\) (inna pomyłka), lub złe mnożenie nawiasów |\n| B. \\(-2\\) | Zapomnienie o rozwinięciu \\(4(2x-6)\\) - np. policzenie tylko \\(4 \\cdot 2x = 8x\\) bez \\(4 \\cdot (-6)\\) |\n| C. \\(1\\) | Skrócenie \\(\\frac{x-1}{2x-6}\\) do \\(\\frac{1}{2}\\) (błędne skrócenie) i porównanie z \\(\\frac{4}{7}\\) - co nie daje wyniku, ale uczeń może wziąć licznik \\(x-1=0\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu na krzyż pamiętaj o rozwinięciu OBU nawiasów. \\(4(2x-6) = 8x - 24\\), a nie \\(8x - 6\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj dziedzinę - gdyby wynik był \\(x = 3\\), rozwiązanie byłoby odrzucone (zerowy mianownik).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy przenoszeniu wyrazów uważaj na znaki - \\(7x - 8x = -x\\), nie \\(+x\\). To najczęstszy błąd prowadzący do odpowiedzi A lub B.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Mnożenie na krzyż\nZałożenie: \\(2x-6 \\ne 0 \\iff x \\ne 3\\).\n\\(7(x-1) = 4(2x-6)\\)\n\\(7x - 7 = 8x - 24\\)\n\\(-x = -17 \\Rightarrow x = 17.\\)\n\n### Sposób 2 - Podstawienie\nDla \\(x = 17\\): \\(\\dfrac{16}{28} = \\dfrac{4}{7}\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-5\\)** - \\(\\tfrac{-6}{-16} = \\tfrac{3}{8} \\ne \\tfrac{4}{7}\\).\n- **B. \\(-2\\)** - \\(\\tfrac{-3}{-10} = 0{,}3 \\ne \\tfrac{4}{7}\\).\n- **C. \\(1\\)** - licznik \\(= 0\\), a \\(\\tfrac{4}{7} \\ne 0\\).\n\n**Trik:** przy proporcji sprawdź warunek mianownika.","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-6.svg","topics":"Funkcja wymierna, rownania_i_nierownosci","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 6. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Równanie 𝑥(𝑥+5)(2-𝑥)<br>2𝑥+4<br>= 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie<br>A. dwa rozwiązania: (-5) oraz 2.<br>B. dwa rozwiązania: (-5) oraz 0.<br>C. trzy rozwiązania: (-5), 0 oraz 2.<br>D. cztery rozwiązania: (-5), (-2), 0 oraz 2.</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Równanie x(x+5)(2-x)/2x+4 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie A. dwa rozwiązania: (-5) oraz 2. B. dwa rozwiązania: (-5) oraz 0. C. trzy rozwiązania: (-5), 0 oraz 2. D. cztery rozwiązania: (-5), (-2), 0 oraz 2.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 6. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>III.6) rozwiązuje równania wymierne postaci<br>𝑉(𝑥)<br>𝑊(𝑥) = 0, gdzie wielomiany 𝑉(𝑥) i 𝑊(𝑥)<br>są zapisane w postaci iloczynowej.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-6.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(x = 17\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Mnożenie na krzyż (proporcja)</h4>\n<p>Mamy równanie:<br>\\[\\frac{x-1}{2x-6} = \\frac{4}{7}\\]</p>\n<p><strong>Krok 1: Ustal dziedzinę.</strong><br>Mianownik \\(2x - 6 \\neq 0\\), czyli \\(x \\neq 3\\).</p>\n<p><strong>Krok 2: Mnożymy na krzyż</strong> (licznik lewej × mianownik prawej = mianownik lewej × licznik prawej):<br>\\[7(x-1) = 4(2x-6)\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Rozwijamy nawiasy:</strong><br>\\[7x - 7 = 8x - 24\\]</p>\n<p><strong>Krok 4: Przenosimy wyrazy z \\(x\\) na lewą, liczby na prawą:</strong><br>\\[7x - 8x = -24 + 7\\]<br>\\[-x = -17\\]<br>\\[\\boxed{x = 17}\\]</p>\n<p><strong>Krok 5: Sprawdzamy dziedzinę.</strong> \\(x = 17 \\neq 3\\) - OK.</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Podstawiamy \\(x = 17\\) do lewej strony:<br>\\[\\frac{17 - 1}{2 \\cdot 17 - 6} = \\frac{16}{34 - 6} = \\frac{16}{28} = \\frac{4}{7}\\]</p>\n<p>Lewa strona równa się \\(\\frac{4}{7}\\) = prawa strona. ✓</p>\n<p><strong>Wynik potwierdzony:</strong> \\(x = 17\\).</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy przekształcanie równań (mnożenie na krzyż to standardowa technika algebry podstawowej, nieujęta w karcie wzorów).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A. \\(-5\\) | Błąd znaku przy przenoszeniu: \\(7x - 8x = 24 - 7 = 17\\), potem \\(-x = 17\\), więc \\(x = -17\\) (inna pomyłka), lub złe mnożenie nawiasów |<br>| B. \\(-2\\) | Zapomnienie o rozwinięciu \\(4(2x-6)\\) - np. policzenie tylko \\(4 \\cdot 2x = 8x\\) bez \\(4 \\cdot (-6)\\) |<br>| C. \\(1\\) | Skrócenie \\(\\frac{x-1}{2x-6}\\) do \\(\\frac{1}{2}\\) (błędne skrócenie) i porównanie z \\(\\frac{4}{7}\\) - co nie daje wyniku, ale uczeń może wziąć licznik \\(x-1=0\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy mnożeniu na krzyż pamiętaj o rozwinięciu OBU nawiasów. \\(4(2x-6) = 8x - 24\\), a nie \\(8x - 6\\)!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zawsze sprawdzaj dziedzinę - gdyby wynik był \\(x = 3\\), rozwiązanie byłoby odrzucone (zerowy mianownik).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy przenoszeniu wyrazów uważaj na znaki - \\(7x - 8x = -x\\), nie \\(+x\\). To najczęstszy błąd prowadzący do odpowiedzi A lub B.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Mnożenie na krzyż</h5>\n<p>Założenie: \\(2x-6 \\ne 0 \\iff x \\ne 3\\).<br>\\(7(x-1) = 4(2x-6)\\)<br>\\(7x - 7 = 8x - 24\\)<br>\\(-x = -17 \\Rightarrow x = 17.\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Podstawienie</h5>\n<p>Dla \\(x = 17\\): \\(\\dfrac{16}{28} = \\dfrac{4}{7}\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(-5\\)</strong> - \\(\\tfrac{-6}{-16} = \\tfrac{3}{8} \\ne \\tfrac{4}{7}\\).</li><li><strong>B. \\(-2\\)</strong> - \\(\\tfrac{-3}{-10} = 0{,}3 \\ne \\tfrac{4}{7}\\).</li><li><strong>C. \\(1\\)</strong> - licznik \\(= 0\\), a \\(\\tfrac{4}{7} \\ne 0\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> przy proporcji sprawdź warunek mianownika.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, równanie ma trzy rozwiązania: $-5$ (wynika z pierwszego składnika), $0$ (wynika z drugiego składnika), oraz $2$ (wynika z trzeciego składnika), które nie wyklucza innych rozwiązań, a mianownik $2x + 4$ nie ogranicza ich liczby w tym przypadku.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Ułamek jest równy zero wtedy, gdy jego licznik jest równy zero, a mianownik jest różny od zera.</p>\n<p>Dziedzina:</p>\n<p>2x+4≠ 0 ⇒ x≠ -2.</p>\n<p>Licznik:</p>\n<p>x(x+5)(2-x)=0.</p>\n<p>Stąd</p>\n<p>x=0, x=-5, x=2.</p>\n<p>Żadna z tych liczb nie jest wykluczona z dziedziny, więc równanie ma trzy rozwiązania:</p>\n<p>-5, 0, 2.</p>"}]}