{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"7","points":3,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-3)\nRozwiąż równanie\n𝒙𝟑+ 𝟓𝒙𝟐-𝟐𝒙-𝟏𝟎= 𝟎\nZapisz obliczenia.\n7.\n0-1-\n2-3\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nRozwiąż równanie x^3+5x^2-2x-10 = 0","answer":"C","answer_text":"Zadanie 7. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nIII.5) rozwiązuje równania wielomianowe\npostaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów […]\ntakich, które dają się doprowadzić do\npostaci iloczynowej […] metodą\ngrupowania.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda rozwiązania równania i obliczenie wszystkich rozwiązań równania:\n(-5), (-√2), √2 .\n2 pkt - przekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu wielomianów stopnia co\nnajwyżej drugiego oraz rozwiązanie jednego z równań wynikającego z tego\nrozkładu, np.:\n(𝑥+ 5)(𝑥2 -2) = 0 i 𝑥= -5,\n(𝑥+ 5)(𝑥2 -2) = 0 i 𝑥= -√2 oraz 𝑥= √2\nALBO\n- przekształcenie równania 𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 = 0 do postaci alternatywy dwóch\nrównań: kwadratowego i liniowego oraz rozwiązanie jednego z nich, np.:\n(𝑥+ 5 = 0, 𝑥2 -2 = 0) oraz 𝑥= -5,\n(𝑥+ 5 = 0, 𝑥2 -2 = 0) oraz (𝑥= -√2, 𝑥= √2),\nALBO\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- rozłożenie wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 na czynniki liniowe:\n𝑊(𝑥) = (𝑥+ 5)(𝑥-√2)(𝑥+ √2),\nALBO\n- przekształcenie równania 𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 = 0 do postaci alternatywy trzech\nrównań liniowych: (𝑥+ 5 = 0, 𝑥-√2 = 0, 𝑥+ √2 = 0),\nALBO\n- obliczenie jednego z pierwiastków wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 oraz\npoprawne podzielenie wielomianu 𝑊 przez odpowiedni dwumian, np.\n𝑥= -5 i (𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10) ∶(𝑥+ 5) = 𝑥2 -2.\n1 pkt - zapisanie wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 w postaci iloczynu wielomianów\nstopnia co najwyżej drugiego, np. 𝑊(𝑥) = (𝑥+ 5)(𝑥2 -2)\nALBO\n- przekształcenie równania 𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 = 0 do postaci alternatywy dwóch\nrównań: (𝑥+ 5 = 0, 𝑥2 -2 = 0),\nALBO\n- przekształcenie równania 𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 = 0 do postaci\n𝑥2(𝑥+ 5) -2(𝑥+ 5) = 0 lub do postaci 𝑥2(𝑥+ 5) = 2(𝑥+ 5), lub do postaci\n𝑥(𝑥2 -2) = -5(𝑥2 -2) oraz zapisanie rozwiązania 𝑥= -5,\nALBO\n- zapisanie jednego z rozwiązań równania 𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 = 0 oraz zapisanie\nsprawdzenia, że ta liczba spełnia to równanie.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisze tylko trzy poprawne rozwiązania równania, to otrzymuje 1 punkt za\ncałe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający uzyska trzy poprawne pierwiastki wielomianu, lecz traktuje równanie jako\nnierówność (podaje zbiór rozwiązań w postaci przedziału / sumy przedziałów), to\notrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli przy przekształcaniu lewej strony równania do postaci iloczynu zdający zapisuje\nczynnik (𝑥+ 5) z wykładnikiem 2, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe\nrozwiązanie (1 punkt za rozwiązanie równania (𝑥+ 5)2 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie\nrównania 𝑥2 -2 = 0).\n4. Jeżeli zdający zamiast równania (𝑥+ 5)(𝑥2 -2) = 0 zapisze (𝑥+ 5) ± (𝑥2 -2) = 0,\nale z dalszego rozwiązania wynika, że traktuje lewą stronę równania jak iloczyn i rozwiąże\nzadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt\nza rozwiązanie równania 𝑥+ 5 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie równania 𝑥2 -2 = 0).\n5. Jeżeli zdający przy przekształcaniu równania do postaci (𝑥+ 5)(𝑥2 -2) = 0 popełni\nbłąd i zapisze:\n𝑥2(𝑥-5) -2(𝑥+ 5) = 0\nlub\n𝑥2(𝑥+ 5) + 2(𝑥+ 5) = 0\nlub\n𝑥2(𝑥+ 5) -2(𝑥-5) = 0\nlub\n𝑥(𝑥2 + 2) + 5(𝑥2 -2) = 0\nlub\n𝑥(𝑥2 -2) -5(𝑥2 -2) = 0\nlub\n𝑥(𝑥2 -2) + 5(𝑥2 + 2) = 0\na następnie:\n5.1. zapisze równanie (𝑥+ 5)(𝑥2 -2) = 0 lub poprawną alternatywę\n(𝑥+ 5 = 0 lub 𝑥2 -2 = 0) i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to\notrzymuje co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za rozwiązanie\nrównania 𝑥+ 5 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie równania 𝑥2 -2 = 0).\n5.2. zapisze równanie (𝑥+ 5)(𝑥2 + 2) = 0 lub błędną alternatywę\n(𝑥+ 5 = 0 lub 𝑥2 + 2 = 0) i rozwiąże poprawnie równanie 𝑥+ 5 = 0,\nto otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n5.3. zapisze równanie (𝑥-5)(𝑥2 -2) = 0 lub błędną alternatywę\n(𝑥-5 = 0 lub 𝑥2 -2 = 0) i rozwiąże poprawnie równanie 𝑥2 -2 = 0,\nto otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n5.4. zapisze błędne równanie (w którym jedna ze stron jest równa 0, a druga jest\niloczynem wielomianów stopni dodatnich), inne niż w uwagach 5.2 oraz 5.3, np.\n(𝑥-5)(𝑥+ 5)(𝑥2 ± 2) = 0 lub błędną alternatywę inną niż w uwagach 5.2\noraz 5.3, np. (𝑥-5 = 0 lub 𝑥+ 5 = 0 lub 𝑥2 ± 2 = 0), to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n6. Jeżeli zdający, przekształcając równanie 𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 = 0, popełni jeden błąd\n(który nie jest błędem znaku) albo dwa błędy znaku i otrzyma równanie trzeciego stopnia,\nktóre ma trzy rozwiązania rzeczywiste, oraz konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to\notrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n7. Jeżeli zdający dzieli obustronnie równanie 𝑥2(𝑥+ 5) = 2(𝑥+ 5) przez dwumian\n(𝑥+ 5) z podaniem odpowiedniego założenia i uzyska tylko dwa poprawne rozwiązania\n𝑥= √2 oraz 𝑥= -√2, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie, a jeżeli uzyska tylko\njedno z tych rozwiązań, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n8. Jeżeli zdający dzieli obustronnie równanie 𝑥2(𝑥+ 5) = 2(𝑥+ 5) przez dwumian\n(𝑥+ 5) bez podania odpowiedniego założenia i uzyska tylko dwa poprawne rozwiązania\n𝑥= √2 oraz 𝑥= -√2, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie, a jeżeli uzyska tylko\njedno z tych rozwiązań, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:\n𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 = 0\n𝑥2(𝑥+ 5) -2(𝑥+ 5) = 0\n(𝑥+ 5)(𝑥2 -2) = 0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n(𝑥+ 5)(𝑥-√2)(𝑥+ √2) = 0\n𝑥+ 5 = 0 lub 𝑥-√2 = 0 lub 𝑥+ √2 = 0\n𝑥= -5 lub 𝑥= √2 lub 𝑥= -√2\nRozwiązaniami równania są liczby: (-5), (-√2), √2 .\nSposób II\nPrzekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:\n𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 = 0\n𝑥(𝑥2 -2) + 5(𝑥2 -2) = 0\n(𝑥+ 5)(𝑥2 -2) = 0\n(𝑥+ 5)(𝑥-√2)(𝑥+ √2) = 0\n𝑥+ 5 = 0 lub 𝑥-√2 = 0 lub 𝑥+ √2 = 0\n𝑥= -5 lub 𝑥= √2 lub 𝑥= -√2\nRozwiązaniami równania są liczby: (-5), (-√2), √2 .\nSposób III\nObliczamy 𝑊(-5) = 0 i stwierdzamy, że liczba (-5) jest pierwiastkiem wielomianu\n𝑊(𝑥) = 𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10.\nZatem wielomian 𝑊 jest podzielny przez dwumian (𝑥+ 5). Dzielimy wielomian 𝑊 przez\ndwumian (𝑥+ 5) i otrzymujemy\n(𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10) ∶(𝑥+ 5) = 𝑥2 -2\nZatem 𝑊(𝑥) = (𝑥+ 5)(𝑥2 -2) = (𝑥+ 5)(𝑥-√2)(𝑥+ √2).\nObliczamy pierwiastki wielomianu 𝑊:\n(𝑥+ 5)(𝑥-√2)(𝑥+ √2) = 0\n𝑥+ 5 = 0 lub 𝑥-√2 = 0 lub 𝑥+ √2 = 0\n𝑥= -5 lub 𝑥= √2 lub 𝑥= -√2\nRozwiązaniami równania są liczby: (-5), (-√2), √2 .","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nTrzy rozwiązania: \\(x = -5\\), \\(x = 0\\) oraz \\(x = 2\\).\n\n## Sposób 1 - Warunek zerowania się ułamka\n\n**Kluczowa zasada:** Ułamek \\(\\frac{L}{M} = 0\\) wtedy i tylko wtedy, gdy **licznik \\(L = 0\\) i mianownik \\(M \\neq 0\\)**.\n\n**Krok 1 - Wyznaczamy dziedzinę (kiedy mianownik \\(\\neq 0\\)):**\n\n\\[2x + 4 \\neq 0\\]\n\\[2x \\neq -4\\]\n\\[x \\neq -2\\]\n\nCzyli \\(x = -2\\) jest **wykluczone** z dziedziny.\n\n**Krok 2 - Zerujemy licznik:**\n\n\\[x(x+5)(2-x) = 0\\]\n\nIloczyn jest równy zero, gdy choć jeden czynnik jest zerem:\n\n\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x + 5 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad 2 - x = 0\\]\n\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x = -5 \\quad \\text{lub} \\quad x = 2\\]\n\n**Krok 3 - Sprawdzamy, czy żadne z tych rozwiązań nie jest wykluczone:**\n\n| Kandydat | Mianownik \\(2x+4\\) | Czy należy do dziedziny? |\n| \\(x = 0\\) | \\(2 \\cdot 0 + 4 = 4 \\neq 0\\) | ✓ **TAK** |\n| \\(x = -5\\) | \\(2 \\cdot (-5) + 4 = -6 \\neq 0\\) | ✓ **TAK** |\n| \\(x = 2\\) | \\(2 \\cdot 2 + 4 = 8 \\neq 0\\) | ✓ **TAK** |\n\n**Żadne z rozwiązań nie wypada - wszystkie trzy są prawidłowe.**\n\nRównanie ma dokładnie **trzy rozwiązania**: \\(x \\in \\{-5,\\ 0,\\ 2\\}\\).\n\n## Sposób 2 - Uproszczenie wyrażenia\n\nZauważamy, że mianownik \\(2x + 4 = 2(x+2)\\). Możemy uprościć ułamek, pamiętając o dziedzinie \\(x \\neq -2\\):\n\n\\[\\frac{x(x+5)(2-x)}{2(x+2)} = 0\\]\n\nŻaden czynnik w liczniku nie zawiera \\((x+2)\\), więc **nie ma żadnego skrócenia** - mianownik jedynie wyklucza \\(x = -2\\).\n\nDla \\(x \\neq -2\\) równanie jest równoważne:\n\n\\[x(x+5)(2-x) = 0\\]\n\nCo daje \\(x = 0\\), \\(x = -5\\), \\(x = 2\\) - dokładnie jak w Sposobie 1.\n\n**Weryfikacja przez podstawienie:**\n- \\(x = 0\\): \\(\\frac{0 \\cdot 5 \\cdot 2}{4} = \\frac{0}{4} = 0\\) ✓\n- \\(x = -5\\): \\(\\frac{(-5) \\cdot 0 \\cdot 7}{-6} = \\frac{0}{-6} = 0\\) ✓\n- \\(x = 2\\): \\(\\frac{2 \\cdot 7 \\cdot 0}{8} = \\frac{0}{8} = 0\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja równania wymiernego i zasada zerowania iloczynu. Żadnych wzorów ze s. 4-34 karty nie potrzebujemy.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Pominięto \\(x = 0\\) - uczeń myśli, że \"zerowanie licznika\" zaczyna się od czynników \\((x+5)\\) i \\((2-x)\\), pomijając czynnik \\(x\\) |\n| B | Pominięto \\(x = 2\\) - uczeń zatrzymuje się na \\(x = -5\\) i \\(x = 0\\), nie biorąc pod uwagę czynnika \\((2-x)\\) |\n| D | Uczeń **błędnie dolicza** \\(x = -2\\) jako rozwiązanie - bo \\(2x+4 = 0\\) dla \\(x = -2\\). To jest punkt **wykluczony z dziedziny**, nie rozwiązanie! |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to uznanie \\(x = -2\\) za rozwiązanie - bo mianownik zeruje się dla tej wartości. Tymczasem jest odwrotnie: właśnie dlatego \\(x = -2\\) jest **wykluczone z dziedziny**. Zerowanie mianownika → brak rozwiązania, nie nowe rozwiązanie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno skrócić \\(\\frac{2-x}{2x+4}\\) \"po \\(x\\)\" - w liczniku jest \\((2-x)\\), a w mianowniku \\(2(x+2)\\) - to **różne wyrażenia**, nic się nie skraca.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że czynnik \\(x\\) w liczniku też daje rozwiązanie \\(x = 0\\). Uczeń często \"widzi\" tylko \\(x+5\\) i \\(2-x\\), bo tam jawnie stoi \"\\(=0\\)\", a \"samo \\(x\\)\" pomija.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Miejsca zerowe licznika\nZałożenie: \\(2x+4 \\ne 0 \\iff x \\ne -2\\).\nLicznik zeruje się, gdy \\(x = 0\\), \\(x = -5\\) lub \\(x = 2\\).\nWszystkie te wartości spełniają założenie (żadna nie jest \\(-2\\)).\n\n### Sposób 2 - Analiza\nRównanie postaci \\(\\tfrac{L(x)}{M(x)} = 0 \\iff L(x) = 0\\) przy \\(M(x) \\ne 0\\). Trzy pierwiastki licznika: \\(-5, 0, 2\\); wszystkie w dziedzinie.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Pomija pierwiastek \\(x = 0\\).\n- **B.** Pomija pierwiastek \\(x = 2\\).\n- **D.** \\(-2\\) to miejsce zerowe mianownika (wyklucza z dziedziny).\n\n**Trik:** sprawdź czy pierwiastki licznika nie zerują mianownika.","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-7.svg","topics":"Wielomiany","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 7. (0-3)<br>Rozwiąż równanie<br>𝒙𝟑+ 𝟓𝒙𝟐-𝟐𝒙-𝟏𝟎= 𝟎<br>Zapisz obliczenia.<br>7.<br>0-1-<br>2-3</p>\n<p>MMAP-P0_100</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Rozwiąż równanie x^3+5x^2-2x-10 = 0</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 7. (0-3)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>III.5) rozwiązuje równania wielomianowe<br>postaci 𝑊(𝑥) = 0 dla wielomianów […]<br>takich, które dają się doprowadzić do<br>postaci iloczynowej […] metodą<br>grupowania.<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - poprawna metoda rozwiązania równania i obliczenie wszystkich rozwiązań równania:<br>(-5), (-√2), √2 .<br>2 pkt - przekształcenie lewej strony równania do postaci iloczynu wielomianów stopnia co<br>najwyżej drugiego oraz rozwiązanie jednego z równań wynikającego z tego<br>rozkładu, np.:<br>(𝑥+ 5)(𝑥2 -2) = 0 i 𝑥= -5,<br>(𝑥+ 5)(𝑥2 -2) = 0 i 𝑥= -√2 oraz 𝑥= √2<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania 𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 = 0 do postaci alternatywy dwóch</li></ul>\n<p>równań: kwadratowego i liniowego oraz rozwiązanie jednego z nich, np.:<br>(𝑥+ 5 = 0, 𝑥2 -2 = 0) oraz 𝑥= -5,<br>(𝑥+ 5 = 0, 𝑥2 -2 = 0) oraz (𝑥= -√2, 𝑥= √2),<br>ALBO<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>\n<ul><li>rozłożenie wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 na czynniki liniowe:</li></ul>\n<p>𝑊(𝑥) = (𝑥+ 5)(𝑥-√2)(𝑥+ √2),<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania 𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 = 0 do postaci alternatywy trzech</li></ul>\n<p>równań liniowych: (𝑥+ 5 = 0, 𝑥-√2 = 0, 𝑥+ √2 = 0),<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie jednego z pierwiastków wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 oraz</li></ul>\n<p>poprawne podzielenie wielomianu 𝑊 przez odpowiedni dwumian, np.<br>𝑥= -5 i (𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10) ∶(𝑥+ 5) = 𝑥2 -2.<br>1 pkt - zapisanie wielomianu 𝑊(𝑥) = 𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 w postaci iloczynu wielomianów<br>stopnia co najwyżej drugiego, np. 𝑊(𝑥) = (𝑥+ 5)(𝑥2 -2)<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania 𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 = 0 do postaci alternatywy dwóch</li></ul>\n<p>równań: (𝑥+ 5 = 0, 𝑥2 -2 = 0),<br>ALBO</p>\n<ul><li>przekształcenie równania 𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 = 0 do postaci</li></ul>\n<p>𝑥2(𝑥+ 5) -2(𝑥+ 5) = 0 lub do postaci 𝑥2(𝑥+ 5) = 2(𝑥+ 5), lub do postaci<br>𝑥(𝑥2 -2) = -5(𝑥2 -2) oraz zapisanie rozwiązania 𝑥= -5,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie jednego z rozwiązań równania 𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 = 0 oraz zapisanie</li></ul>\n<p>sprawdzenia, że ta liczba spełnia to równanie.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający zapisze tylko trzy poprawne rozwiązania równania, to otrzymuje 1 punkt za</li></ol>\n<p>całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający uzyska trzy poprawne pierwiastki wielomianu, lecz traktuje równanie jako</li></ol>\n<p>nierówność (podaje zbiór rozwiązań w postaci przedziału / sumy przedziałów), to<br>otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli przy przekształcaniu lewej strony równania do postaci iloczynu zdający zapisuje</li></ol>\n<p>czynnik (𝑥+ 5) z wykładnikiem 2, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe<br>rozwiązanie (1 punkt za rozwiązanie równania (𝑥+ 5)2 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie<br>równania 𝑥2 -2 = 0).</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający zamiast równania (𝑥+ 5)(𝑥2 -2) = 0 zapisze (𝑥+ 5) ± (𝑥2 -2) = 0,</li></ol>\n<p>ale z dalszego rozwiązania wynika, że traktuje lewą stronę równania jak iloczyn i rozwiąże<br>zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt<br>za rozwiązanie równania 𝑥+ 5 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie równania 𝑥2 -2 = 0).</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający przy przekształcaniu równania do postaci (𝑥+ 5)(𝑥2 -2) = 0 popełni</li></ol>\n<p>błąd i zapisze:<br>𝑥2(𝑥-5) -2(𝑥+ 5) = 0<br>lub<br>𝑥2(𝑥+ 5) + 2(𝑥+ 5) = 0<br>lub<br>𝑥2(𝑥+ 5) -2(𝑥-5) = 0<br>lub<br>𝑥(𝑥2 + 2) + 5(𝑥2 -2) = 0<br>lub<br>𝑥(𝑥2 -2) -5(𝑥2 -2) = 0<br>lub<br>𝑥(𝑥2 -2) + 5(𝑥2 + 2) = 0<br>a następnie:<br>5.1. zapisze równanie (𝑥+ 5)(𝑥2 -2) = 0 lub poprawną alternatywę<br>(𝑥+ 5 = 0 lub 𝑥2 -2 = 0) i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to<br>otrzymuje co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za rozwiązanie<br>równania 𝑥+ 5 = 0 i 1 punkt za rozwiązanie równania 𝑥2 -2 = 0).<br>5.2. zapisze równanie (𝑥+ 5)(𝑥2 + 2) = 0 lub błędną alternatywę<br>(𝑥+ 5 = 0 lub 𝑥2 + 2 = 0) i rozwiąże poprawnie równanie 𝑥+ 5 = 0,<br>to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.<br>5.3. zapisze równanie (𝑥-5)(𝑥2 -2) = 0 lub błędną alternatywę<br>(𝑥-5 = 0 lub 𝑥2 -2 = 0) i rozwiąże poprawnie równanie 𝑥2 -2 = 0,<br>to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.<br>5.4. zapisze błędne równanie (w którym jedna ze stron jest równa 0, a druga jest<br>iloczynem wielomianów stopni dodatnich), inne niż w uwagach 5.2 oraz 5.3, np.<br>(𝑥-5)(𝑥+ 5)(𝑥2 ± 2) = 0 lub błędną alternatywę inną niż w uwagach 5.2<br>oraz 5.3, np. (𝑥-5 = 0 lub 𝑥+ 5 = 0 lub 𝑥2 ± 2 = 0), to otrzymuje<br>0 punktów za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający, przekształcając równanie 𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 = 0, popełni jeden błąd</li></ol>\n<p>(który nie jest błędem znaku) albo dwa błędy znaku i otrzyma równanie trzeciego stopnia,<br>które ma trzy rozwiązania rzeczywiste, oraz konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to<br>otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający dzieli obustronnie równanie 𝑥2(𝑥+ 5) = 2(𝑥+ 5) przez dwumian</li></ol>\n<p>(𝑥+ 5) z podaniem odpowiedniego założenia i uzyska tylko dwa poprawne rozwiązania<br>𝑥= √2 oraz 𝑥= -√2, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie, a jeżeli uzyska tylko<br>jedno z tych rozwiązań, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający dzieli obustronnie równanie 𝑥2(𝑥+ 5) = 2(𝑥+ 5) przez dwumian</li></ol>\n<p>(𝑥+ 5) bez podania odpowiedniego założenia i uzyska tylko dwa poprawne rozwiązania<br>𝑥= √2 oraz 𝑥= -√2, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie, a jeżeli uzyska tylko<br>jedno z tych rozwiązań, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:<br>𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 = 0<br>𝑥2(𝑥+ 5) -2(𝑥+ 5) = 0<br>(𝑥+ 5)(𝑥2 -2) = 0<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>(𝑥+ 5)(𝑥-√2)(𝑥+ √2) = 0<br>𝑥+ 5 = 0 lub 𝑥-√2 = 0 lub 𝑥+ √2 = 0<br>𝑥= -5 lub 𝑥= √2 lub 𝑥= -√2<br>Rozwiązaniami równania są liczby: (-5), (-√2), √2 .<br>Sposób II<br>Przekształcamy równanie równoważnie i stosujemy metodę grupowania wyrazów:<br>𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10 = 0<br>𝑥(𝑥2 -2) + 5(𝑥2 -2) = 0<br>(𝑥+ 5)(𝑥2 -2) = 0<br>(𝑥+ 5)(𝑥-√2)(𝑥+ √2) = 0<br>𝑥+ 5 = 0 lub 𝑥-√2 = 0 lub 𝑥+ √2 = 0<br>𝑥= -5 lub 𝑥= √2 lub 𝑥= -√2<br>Rozwiązaniami równania są liczby: (-5), (-√2), √2 .<br>Sposób III<br>Obliczamy 𝑊(-5) = 0 i stwierdzamy, że liczba (-5) jest pierwiastkiem wielomianu<br>𝑊(𝑥) = 𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10.<br>Zatem wielomian 𝑊 jest podzielny przez dwumian (𝑥+ 5). Dzielimy wielomian 𝑊 przez<br>dwumian (𝑥+ 5) i otrzymujemy<br>(𝑥3 + 5𝑥2 -2𝑥-10) ∶(𝑥+ 5) = 𝑥2 -2<br>Zatem 𝑊(𝑥) = (𝑥+ 5)(𝑥2 -2) = (𝑥+ 5)(𝑥-√2)(𝑥+ √2).<br>Obliczamy pierwiastki wielomianu 𝑊:<br>(𝑥+ 5)(𝑥-√2)(𝑥+ √2) = 0<br>𝑥+ 5 = 0 lub 𝑥-√2 = 0 lub 𝑥+ √2 = 0<br>𝑥= -5 lub 𝑥= √2 lub 𝑥= -√2<br>Rozwiązaniami równania są liczby: (-5), (-√2), √2 .</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-7.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C</h4>\n<p>Trzy rozwiązania: \\(x = -5\\), \\(x = 0\\) oraz \\(x = 2\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - Warunek zerowania się ułamka</h4>\n<p><strong>Kluczowa zasada:</strong> Ułamek \\(\\frac{L}{M} = 0\\) wtedy i tylko wtedy, gdy <strong>licznik \\(L = 0\\) i mianownik \\(M \\neq 0\\)</strong>.</p>\n<p><strong>Krok 1 - Wyznaczamy dziedzinę (kiedy mianownik \\(\\neq 0\\)):</strong></p>\n<p>\\[2x + 4 \\neq 0\\]<br>\\[2x \\neq -4\\]<br>\\[x \\neq -2\\]</p>\n<p>Czyli \\(x = -2\\) jest <strong>wykluczone</strong> z dziedziny.</p>\n<p><strong>Krok 2 - Zerujemy licznik:</strong></p>\n<p>\\[x(x+5)(2-x) = 0\\]</p>\n<p>Iloczyn jest równy zero, gdy choć jeden czynnik jest zerem:</p>\n<p>\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x + 5 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad 2 - x = 0\\]<br>\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x = -5 \\quad \\text{lub} \\quad x = 2\\]</p>\n<p><strong>Krok 3 - Sprawdzamy, czy żadne z tych rozwiązań nie jest wykluczone:</strong></p>\n<p>| Kandydat | Mianownik \\(2x+4\\) | Czy należy do dziedziny? |<br>| \\(x = 0\\) | \\(2 \\cdot 0 + 4 = 4 \\neq 0\\) | ✓ <strong>TAK</strong> |<br>| \\(x = -5\\) | \\(2 \\cdot (-5) + 4 = -6 \\neq 0\\) | ✓ <strong>TAK</strong> |<br>| \\(x = 2\\) | \\(2 \\cdot 2 + 4 = 8 \\neq 0\\) | ✓ <strong>TAK</strong> |</p>\n<p><strong>Żadne z rozwiązań nie wypada - wszystkie trzy są prawidłowe.</strong></p>\n<p>Równanie ma dokładnie <strong>trzy rozwiązania</strong>: \\(x \\in \\{-5,\\ 0,\\ 2\\}\\).</p>\n<h4>Sposób 2 - Uproszczenie wyrażenia</h4>\n<p>Zauważamy, że mianownik \\(2x + 4 = 2(x+2)\\). Możemy uprościć ułamek, pamiętając o dziedzinie \\(x \\neq -2\\):</p>\n<p>\\[\\frac{x(x+5)(2-x)}{2(x+2)} = 0\\]</p>\n<p>Żaden czynnik w liczniku nie zawiera \\((x+2)\\), więc <strong>nie ma żadnego skrócenia</strong> - mianownik jedynie wyklucza \\(x = -2\\).</p>\n<p>Dla \\(x \\neq -2\\) równanie jest równoważne:</p>\n<p>\\[x(x+5)(2-x) = 0\\]</p>\n<p>Co daje \\(x = 0\\), \\(x = -5\\), \\(x = 2\\) - dokładnie jak w Sposobie 1.</p>\n<p><strong>Weryfikacja przez podstawienie:</strong></p>\n<ul><li>\\(x = 0\\): \\(\\frac{0 \\cdot 5 \\cdot 2}{4} = \\frac{0}{4} = 0\\) ✓</li><li>\\(x = -5\\): \\(\\frac{(-5) \\cdot 0 \\cdot 7}{-6} = \\frac{0}{-6} = 0\\) ✓</li><li>\\(x = 2\\): \\(\\frac{2 \\cdot 7 \\cdot 0}{8} = \\frac{0}{8} = 0\\) ✓</li></ul>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja równania wymiernego i zasada zerowania iloczynu. Żadnych wzorów ze s. 4-34 karty nie potrzebujemy.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | Pominięto \\(x = 0\\) - uczeń myśli, że &quot;zerowanie licznika&quot; zaczyna się od czynników \\((x+5)\\) i \\((2-x)\\), pomijając czynnik \\(x\\) |<br>| B | Pominięto \\(x = 2\\) - uczeń zatrzymuje się na \\(x = -5\\) i \\(x = 0\\), nie biorąc pod uwagę czynnika \\((2-x)\\) |<br>| D | Uczeń <strong>błędnie dolicza</strong> \\(x = -2\\) jako rozwiązanie - bo \\(2x+4 = 0\\) dla \\(x = -2\\). To jest punkt <strong>wykluczony z dziedziny</strong>, nie rozwiązanie! |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to uznanie \\(x = -2\\) za rozwiązanie - bo mianownik zeruje się dla tej wartości. Tymczasem jest odwrotnie: właśnie dlatego \\(x = -2\\) jest <strong>wykluczone z dziedziny</strong>. Zerowanie mianownika → brak rozwiązania, nie nowe rozwiązanie!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie wolno skrócić \\(\\frac{2-x}{2x+4}\\) &quot;po \\(x\\)&quot; - w liczniku jest \\((2-x)\\), a w mianowniku \\(2(x+2)\\) - to <strong>różne wyrażenia</strong>, nic się nie skraca.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj, że czynnik \\(x\\) w liczniku też daje rozwiązanie \\(x = 0\\). Uczeń często &quot;widzi&quot; tylko \\(x+5\\) i \\(2-x\\), bo tam jawnie stoi &quot;\\(=0\\)&quot;, a &quot;samo \\(x\\)&quot; pomija.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Miejsca zerowe licznika</h5>\n<p>Założenie: \\(2x+4 \\ne 0 \\iff x \\ne -2\\).<br>Licznik zeruje się, gdy \\(x = 0\\), \\(x = -5\\) lub \\(x = 2\\).<br>Wszystkie te wartości spełniają założenie (żadna nie jest \\(-2\\)).</p>\n<h5>Sposób 2 - Analiza</h5>\n<p>Równanie postaci \\(\\tfrac{L(x)}{M(x)} = 0 \\iff L(x) = 0\\) przy \\(M(x) \\ne 0\\). Trzy pierwiastki licznika: \\(-5, 0, 2\\); wszystkie w dziedzinie.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A.</strong> Pomija pierwiastek \\(x = 0\\).</li><li><strong>B.</strong> Pomija pierwiastek \\(x = 2\\).</li><li><strong>D.</strong> \\(-2\\) to miejsce zerowe mianownika (wyklucza z dziedziny).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> sprawdź czy pierwiastki licznika nie zerują mianownika.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Grupujemy wyrazy:</p>\n<p>x^3+5x^2-2x-10=0,</p>\n<p>x^2(x+5)-2(x+5)=0.</p>\n<p>Wyłączamy wspólny czynnik:</p>\n<p>(x+5)(x^2-2)=0.</p>\n<p>Zatem</p>\n<p>x+5=0</p>\n<p>lub</p>\n<p>x^2-2=0.</p>\n<p>Otrzymujemy:</p>\n<p>x=-5</p>\n<p>oraz</p>\n<p>x=±√(2).</p>\n<p>Zbiór rozwiązań:</p>\n<p>\\ -5,-√(2),√(2)\\ .</p>"}]}