{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nNa rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), przedstawiono interpretację\ngeometryczną jednego z poniższych układów równań A-D.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nUkładem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest\nA. { 𝑦= 𝑥+ 2\n𝑦= 2𝑥-3\nB. { 𝑦= -𝑥+ 2\n𝑦= 2𝑥-3\nC. { 𝑦= 𝑥+ 2\n𝑦= -2𝑥-3\nD. { 𝑦= -𝑥+ 2\n𝑦= 2𝑥+ 3\n1 2 3 4\n-1\n-2\n5\n0\n𝑥\n-5 -4 -3\n1\n2\n3\n4\n𝑦\n5\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n\nMMAP-P0_100\nNa rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), przedstawiono interpretację geometryczną jednego z poniższych układów równań A-D. [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest A. {y=x+2; y=2x-3 B. {y=-x+2; y=2x-3 C. y=x+2; y=-2x-3 D. {y=-x+2; y=2x+3","answer":"B","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nIV.1) rozwiązuje układy równań liniowych\nz dwiema niewiadomymi, podaje\ninterpretację geometryczną układów\noznaczonych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\[\\begin{cases} y = -x + 2 \\\\ y = 2x - 3 \\end{cases}\\]\n\n## Sposób 1 - Odczyt cech prostych z wykresu\n\nKluczowa obserwacja: każda prosta \\(y = ax + b\\) ma dwie cechy, które możemy wprost odczytać z wykresu - **nachylenie** (wzrasta czy opada?) i **przecięcie z osią \\(y\\)** (gdzie przecina oś pionową?).\n\n**Analizujemy pierwszą prostą:**\n\nZ rysunku widać, że jedna prosta **opada** (idzie w prawo i w dół) oraz przecina oś \\(y\\) w punkcie \\((0, 2)\\).\n\n- Opada → współczynnik kierunkowy \\(a < 0\\)\n- Przecięcie z osią \\(y\\): \\(b = 2\\)\n\nSzukamy prostej postaci \\(y = ax + 2\\) z \\(a < 0\\).\n\nSpośród odpowiedzi:\n| Odpowiedź | Pierwsza prosta | Nachylenie | Wyraz wolny |\n| A | \\(y = x + 2\\) | \\(+1\\) (rośnie) | 2 |\n| **B** | \\(y = -x + 2\\) | \\(-1\\) **(opada)** | 2 ✓ |\n| C | \\(y = x + 2\\) | \\(+1\\) (rośnie) | 2 |\n| D | \\(y = -x + 2\\) | \\(-1\\) (opada) | 2 ✓ |\n\nZostają B i D.\n\n**Analizujemy drugą prostą:**\n\nDruga prosta **rośnie** (idzie w prawo i w górę) oraz przecina oś \\(y\\) w punkcie \\((0, -3)\\), czyli **poniżej** zera.\n\n- Rośnie → \\(a > 0\\)\n- Przecięcie z osią \\(y\\): \\(b = -3\\)\n\n| Odpowiedź | Druga prosta | Wyraz wolny |\n| B | \\(y = 2x - 3\\) | \\(-3\\) ✓ |\n| D | \\(y = 2x + 3\\) | \\(+3\\) ✗ |\n\n**Odpowiedź B jako jedyna spełnia oba warunki.**\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie punktu przecięcia i weryfikacja\n\nSprawdzamy, gdzie przecinają się proste z układu B:\n\n\\[y = -x + 2 \\quad \\text{i} \\quad y = 2x - 3\\]\n\nPrzyrównujemy prawą strony:\n\n\\[-x + 2 = 2x - 3\\]\n\n\\[2 + 3 = 2x + x\\]\n\n\\[5 = 3x\\]\n\n\\[x = \\frac{5}{3} \\approx 1{,}67\\]\n\nPodstawiamy do pierwszej prostej:\n\n\\[y = -\\frac{5}{3} + 2 = \\frac{1}{3} \\approx 0{,}33\\]\n\n**Punkt przecięcia:** \\(\\left(\\frac{5}{3},\\ \\frac{1}{3}\\right)\\) - leży w **I ćwiartce**, blisko osi \\(Ox\\), co jest zgodne z rysunkiem (przecięcie w pobliżu punktu \\((1{,}7;\\ 0{,}3)\\)).\n\nWeryfikujemy dla odpowiedzi D (gdyby ktoś miał wątpliwości):\n\\[-x + 2 = 2x + 3 \\implies -1 = 3x \\implies x = -\\frac{1}{3},\\ y = \\frac{7}{3}\\]\nTo daje przecięcie w **II ćwiartce** (\\(x < 0\\)) - niezgodne z rysunkiem.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b\\]\ngdzie \\(a\\) jest współczynnikiem kierunkowym (tangens kąta nachylenia) i \\(b\\) jest wyrazem wolnym (rzędna punktu przecięcia z osią \\(y\\)).\n\nUżyliśmy tego bezpośrednio: odczytując \\(a\\) i \\(b\\) z wykresu, identyfikujemy równania obu prostych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Uczeń widzi, że pierwsza prosta przecina \\(y\\) w 2, ale **myli kierunek** - bierze \\(y = x + 2\\) (rosnącą) zamiast \\(y = -x + 2\\) (opadającą) |\n| C | Podobny błąd co w A dla pierwszej prostej; do tego **myli znak** drugiej prostej (\\(-2x\\) zamiast \\(+2x\\)) - uczeń patrzy tylko na nachylenie \\(45°\\), nie na kierunek |\n| D | Poprawnie rozpoznaje nachylenie (\\(-x\\) i \\(+2x\\)), ale **myli znak wyrazu wolnego** drugiej prostej: bierze \\(+3\\) zamiast \\(-3\\), bo zapomina sprawdzić, czy druga prosta przecina oś \\(y\\) powyżej czy poniżej zera |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to mylenie znaku nachylenia - opadająca prosta ma \\(a < 0\\), rosnąca ma \\(a > 0\\). Nie wystarczy powiedzieć \"prosta jest stroma\" - sprawdź kierunek!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz wolny \\(b\\) odczytuj dokładnie - czy prosta przecina oś \\(y\\) **powyżej** zera (b > 0) czy **poniżej** (b < 0). Odpowiedzi B i D różnią się tylko tym jednym szczegółem (\\(-3\\) vs \\(+3\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyborze między dwoma podobnymi odpowiedziami (tu B i D) warto wyznaczyć punkt przecięcia - jego położenie w układzie ćwiartek jednoznacznie wskazuje właściwy układ.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Odczyt z wykresu\nProsta opadająca: przechodzi przez \\((0,2)\\) i \\((2,0)\\), więc \\(y = -x + 2\\).\nProsta rosnąca: przechodzi przez \\((0,-3)\\), nachylenie dodatnie (\\(\\approx 2\\)), więc \\(y = 2x - 3\\).\n\n### Sposób 2 - Punkty\nProsta opadająca przez \\((0,2)\\): \\(b=2\\); z \\((2,0)\\): \\(0 = 2a+2 \\Rightarrow a=-1\\).\nProsta rosnąca przez \\((0,-3)\\): \\(b=-3\\); przez \\((2,1)\\): \\(1 = 2a-3 \\Rightarrow a=2\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** \\(y=x+2\\) - źle, prosta jest opadająca.\n- **C.** \\(y=-2x-3\\) - druga prosta jest rosnąca.\n- **D.** \\(y=2x+3\\) - zły wyraz wolny.\n\n**Trik:** najpierw przeczytaj punkty przecięcia z osiami.","image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-8.svg","topics":"Układy równań, uklady_rownan","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 8. (0-1)<br>Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦), przedstawiono interpretację<br>geometryczną jednego z poniższych układów równań A-D.<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest<br>A. { 𝑦= 𝑥+ 2<br>𝑦= 2𝑥-3<br>B. { 𝑦= -𝑥+ 2<br>𝑦= 2𝑥-3<br>C. { 𝑦= 𝑥+ 2<br>𝑦= -2𝑥-3<br>D. { 𝑦= -𝑥+ 2<br>𝑦= 2𝑥+ 3<br>1 2 3 4<br>-1<br>-2<br>5<br>0<br>𝑥<br>-5 -4 -3<br>1<br>2<br>3<br>4<br>𝑦<br>5<br>-1<br>-2<br>-3<br>-4<br>-5</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Na rysunku, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y), przedstawiono interpretację geometryczną jednego z poniższych układów równań A-D. [rysunek] Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest A. {y=x+2; y=2x-3 B. {y=-x+2; y=2x-3 C. y=x+2; y=-2x-3 D. {y=-x+2; y=2x+3</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 8. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.</p>\n<ol><li>Interpretowanie i operowanie</li></ol>\n<p>informacjami przedstawionymi w tekście,<br>zarówno matematycznym, jak<br>i popularnonaukowym, a także w formie<br>wykresów, diagramów, tabel.<br>Zdający:<br>IV.1) rozwiązuje układy równań liniowych<br>z dwiema niewiadomymi, podaje<br>interpretację geometryczną układów<br>oznaczonych […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>B</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-8.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B</h4>\n<p>\\[\\begin{cases} y = -x + 2 \\\\ y = 2x - 3 \\end{cases}\\]</p>\n<h4>Sposób 1 - Odczyt cech prostych z wykresu</h4>\n<p>Kluczowa obserwacja: każda prosta \\(y = ax + b\\) ma dwie cechy, które możemy wprost odczytać z wykresu - <strong>nachylenie</strong> (wzrasta czy opada?) i <strong>przecięcie z osią \\(y\\)</strong> (gdzie przecina oś pionową?).</p>\n<p><strong>Analizujemy pierwszą prostą:</strong></p>\n<p>Z rysunku widać, że jedna prosta <strong>opada</strong> (idzie w prawo i w dół) oraz przecina oś \\(y\\) w punkcie \\((0, 2)\\).</p>\n<ul><li>Opada → współczynnik kierunkowy \\(a &lt; 0\\)</li><li>Przecięcie z osią \\(y\\): \\(b = 2\\)</li></ul>\n<p>Szukamy prostej postaci \\(y = ax + 2\\) z \\(a &lt; 0\\).</p>\n<p>Spośród odpowiedzi:<br>| Odpowiedź | Pierwsza prosta | Nachylenie | Wyraz wolny |<br>| A | \\(y = x + 2\\) | \\(+1\\) (rośnie) | 2 |<br>| <strong>B</strong> | \\(y = -x + 2\\) | \\(-1\\) <strong>(opada)</strong> | 2 ✓ |<br>| C | \\(y = x + 2\\) | \\(+1\\) (rośnie) | 2 |<br>| D | \\(y = -x + 2\\) | \\(-1\\) (opada) | 2 ✓ |</p>\n<p>Zostają B i D.</p>\n<p><strong>Analizujemy drugą prostą:</strong></p>\n<p>Druga prosta <strong>rośnie</strong> (idzie w prawo i w górę) oraz przecina oś \\(y\\) w punkcie \\((0, -3)\\), czyli <strong>poniżej</strong> zera.</p>\n<ul><li>Rośnie → \\(a &gt; 0\\)</li><li>Przecięcie z osią \\(y\\): \\(b = -3\\)</li></ul>\n<p>| Odpowiedź | Druga prosta | Wyraz wolny |<br>| B | \\(y = 2x - 3\\) | \\(-3\\) ✓ |<br>| D | \\(y = 2x + 3\\) | \\(+3\\) ✗ |</p>\n<p><strong>Odpowiedź B jako jedyna spełnia oba warunki.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Wyznaczenie punktu przecięcia i weryfikacja</h4>\n<p>Sprawdzamy, gdzie przecinają się proste z układu B:</p>\n<p>\\[y = -x + 2 \\quad \\text{i} \\quad y = 2x - 3\\]</p>\n<p>Przyrównujemy prawą strony:</p>\n<p>\\[-x + 2 = 2x - 3\\]</p>\n<p>\\[2 + 3 = 2x + x\\]</p>\n<p>\\[5 = 3x\\]</p>\n<p>\\[x = \\frac{5}{3} \\approx 1{,}67\\]</p>\n<p>Podstawiamy do pierwszej prostej:</p>\n<p>\\[y = -\\frac{5}{3} + 2 = \\frac{1}{3} \\approx 0{,}33\\]</p>\n<p><strong>Punkt przecięcia:</strong> \\(\\left(\\frac{5}{3},\\ \\frac{1}{3}\\right)\\) - leży w <strong>I ćwiartce</strong>, blisko osi \\(Ox\\), co jest zgodne z rysunkiem (przecięcie w pobliżu punktu \\((1{,}7;\\ 0{,}3)\\)).</p>\n<p>Weryfikujemy dla odpowiedzi D (gdyby ktoś miał wątpliwości):<br>\\[-x + 2 = 2x + 3 \\implies -1 = 3x \\implies x = -\\frac{1}{3},\\ y = \\frac{7}{3}\\]<br>To daje przecięcie w <strong>II ćwiartce</strong> (\\(x &lt; 0\\)) - niezgodne z rysunkiem.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - równanie kierunkowe prostej:<br>\\[y = ax + b\\]<br>gdzie \\(a\\) jest współczynnikiem kierunkowym (tangens kąta nachylenia) i \\(b\\) jest wyrazem wolnym (rzędna punktu przecięcia z osią \\(y\\)).</p>\n<p>Użyliśmy tego bezpośrednio: odczytując \\(a\\) i \\(b\\) z wykresu, identyfikujemy równania obu prostych.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A | Uczeń widzi, że pierwsza prosta przecina \\(y\\) w 2, ale <strong>myli kierunek</strong> - bierze \\(y = x + 2\\) (rosnącą) zamiast \\(y = -x + 2\\) (opadającą) |<br>| C | Podobny błąd co w A dla pierwszej prostej; do tego <strong>myli znak</strong> drugiej prostej (\\(-2x\\) zamiast \\(+2x\\)) - uczeń patrzy tylko na nachylenie \\(45°\\), nie na kierunek |<br>| D | Poprawnie rozpoznaje nachylenie (\\(-x\\) i \\(+2x\\)), ale <strong>myli znak wyrazu wolnego</strong> drugiej prostej: bierze \\(+3\\) zamiast \\(-3\\), bo zapomina sprawdzić, czy druga prosta przecina oś \\(y\\) powyżej czy poniżej zera |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to mylenie znaku nachylenia - opadająca prosta ma \\(a &lt; 0\\), rosnąca ma \\(a &gt; 0\\). Nie wystarczy powiedzieć &quot;prosta jest stroma&quot; - sprawdź kierunek!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wyraz wolny \\(b\\) odczytuj dokładnie - czy prosta przecina oś \\(y\\) <strong>powyżej</strong> zera (b &gt; 0) czy <strong>poniżej</strong> (b &lt; 0). Odpowiedzi B i D różnią się tylko tym jednym szczegółem (\\(-3\\) vs \\(+3\\)).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy wyborze między dwoma podobnymi odpowiedziami (tu B i D) warto wyznaczyć punkt przecięcia - jego położenie w układzie ćwiartek jednoznacznie wskazuje właściwy układ.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Odczyt z wykresu</h5>\n<p>Prosta opadająca: przechodzi przez \\((0,2)\\) i \\((2,0)\\), więc \\(y = -x + 2\\).<br>Prosta rosnąca: przechodzi przez \\((0,-3)\\), nachylenie dodatnie (\\(\\approx 2\\)), więc \\(y = 2x - 3\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Punkty</h5>\n<p>Prosta opadająca przez \\((0,2)\\): \\(b=2\\); z \\((2,0)\\): \\(0 = 2a+2 \\Rightarrow a=-1\\).<br>Prosta rosnąca przez \\((0,-3)\\): \\(b=-3\\); przez \\((2,1)\\): \\(1 = 2a-3 \\Rightarrow a=2\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A.</strong> \\(y=x+2\\) - źle, prosta jest opadająca.</li><li><strong>C.</strong> \\(y=-2x-3\\) - druga prosta jest rosnąca.</li><li><strong>D.</strong> \\(y=2x+3\\) - zły wyraz wolny.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> najpierw przeczytaj punkty przecięcia z osiami.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, wystarczy popatrzyć na współczynniki liczbowe obu prostych. Przypomnijmy wzór funkcji liniowej: $y=ax+b$.<br>Dla prostej malejącej mamy: $a_1&lt;0, b_1=2$.<br>Dla prostej rosnącej mamy: $a_2&gt;0, b_2=-3$</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Pierwsza prosta jest malejąca i przecina oś Oy w punkcie (0,2) , więc ma równanie</p>\n<p>y=-x+2.</p>\n<p>Druga prosta jest rosnąca, ma współczynnik kierunkowy 2 i przecina oś Oy w punkcie (0,-3) , więc ma równanie</p>\n<p>y=2x-3.</p>\n<p>Jest to układ z odpowiedzi B.</p>"}]}