{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦 takich,\nże 𝑥≠2𝑦, prawdziwa jest nierówność\n𝑥2 + 4𝑦2 -4 > 4(𝑥𝑦-1)\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\n2. używa wzorów skróconego mnożenia na\n(𝑎± 𝑏)2 oraz 𝑎2 -𝑏2.\nZasady oceniania\n2 pkt - przekształcenie nierówności 𝑥2 + 4𝑦2 -4 > 4(𝑥𝑦-1) do postaci\n(𝑥-2𝑦)2 > 0 oraz powołanie się na założenie i stwierdzenie, że kwadrat każdej\nliczby rzeczywistej różnej od zera jest liczbą dodatnią\nALBO\n- obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 𝑥2 -4𝑦𝑥+ 4𝑦2 zmiennej 𝑥 oraz\nuzasadnienie, że funkcja 𝑓(𝑥) = 𝑥2 -4𝑦𝑥+ 4𝑦2 przyjmuje wartości dodatnie dla\n𝑥≠2𝑦,\nALBO\n- obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 4𝑦2 -4𝑥𝑦+ 𝑥2 zmiennej 𝑦 oraz\nuzasadnienie, że funkcja 𝑓(𝑦) = 4𝑦2 -4𝑥𝑦+ 𝑥2 przyjmuje wartości dodatnie dla\n𝑦≠𝑥\n2\n1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑥2 + 4𝑦2 -4 > 4(𝑥𝑦-1) do postaci\n𝑥2 -4𝑥𝑦+ 4𝑦2 > 0\nALBO\n- obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 𝑥2 -4𝑦𝑥+ 4𝑦2 zmiennej 𝑥,\nALBO\n- obliczenie wyróżnika trójmianu kwadratowego 4𝑦2 -4𝑥𝑦+ 𝑥2 zmiennej 𝑦.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑥 i 𝑦, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPrzekształcamy nierówność 𝑥2 + 4𝑦2 -4 > 4(𝑥𝑦-1) w sposób równoważny:\n𝑥2 + 4𝑦2 -4 > 4𝑥𝑦-4\n𝑥2 -4𝑥𝑦+ 4𝑦2 > 0\nZauważamy, że lewą stronę nierówności można zapisać w postaci\n(𝑥-2𝑦)2 > 0\nZ założenia wiadomo, że 𝑥≠2𝑦, więc (𝑥-2𝑦)2 jest liczbą dodatnią.\nTo należało wykazać.\nSposób II (trójmian kwadratowy zmiennej 𝑥 z parametrem 𝑦)\nPrzekształcamy nierówność 𝑥2 + 4𝑦2 -4 > 4(𝑥𝑦-1) w sposób równoważny:\n𝑥2 + 4𝑦2 -4 > 4𝑥𝑦-4\n𝑥2 -4𝑦𝑥+ 4𝑦2 > 0\nWyrażenie 𝑥2 -4𝑦𝑥+ 4𝑦2 traktujemy jako trójmian kwadratowy zmiennej 𝑥.\nObliczamy wyróżnik Δ trójmianu:\nΔ = (-4𝑦)2 -4 ⋅1 ⋅4𝑦2 = 0\nFunkcja 𝑓(𝑥) = 𝑥2 -4𝑦𝑥+ 4𝑦2 ma dokładnie jedno miejsce zerowe: 𝑥= 2𝑦. Ponieważ\nwspółczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest dodatni, więc żaden fragment wykresu\nfunkcji 𝑓 nie leży poniżej osi odciętych. Zatem funkcja 𝑓 przyjmuje wartości dodatnie dla\nkażdego 𝑥≠2𝑦.\nOznacza to, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦≠𝑥\n2\nnierówność 𝑥2 -4𝑦𝑥+ 4𝑦2 > 0 jest prawdziwa.\nZatem nierówność 𝑥2 + 4𝑦2 -4 > 4(𝑥𝑦-1) również jest prawdziwa dla każdej liczby\nrzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦≠𝑥\n2\n. To należało wykazać.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 31. (0-2)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦 takich,
że 𝑥≠2𝑦, prawdziwa jest nierówność
𝑥2 + 4𝑦2 -4 > 4(𝑥𝑦-1)
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
30.
31.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-P0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 31. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
V. Rozumowanie i argumentacja.
Zdający:

\n
  1. używa wzorów skróconego mnożenia na
\n

(𝑎± 𝑏)2 oraz 𝑎2 -𝑏2.
Zasady oceniania
2 pkt - przekształcenie nierówności 𝑥2 + 4𝑦2 -4 > 4(𝑥𝑦-1) do postaci
(𝑥-2𝑦)2 > 0 oraz powołanie się na założenie i stwierdzenie, że kwadrat każdej
liczby rzeczywistej różnej od zera jest liczbą dodatnią
ALBO

\n\n

uzasadnienie, że funkcja 𝑓(𝑥) = 𝑥2 -4𝑦𝑥+ 4𝑦2 przyjmuje wartości dodatnie dla
𝑥≠2𝑦,
ALBO

\n\n

uzasadnienie, że funkcja 𝑓(𝑦) = 4𝑦2 -4𝑥𝑦+ 𝑥2 przyjmuje wartości dodatnie dla
𝑦≠𝑥
2
1 pkt - przekształcenie nierówności 𝑥2 + 4𝑦2 -4 > 4(𝑥𝑦-1) do postaci
𝑥2 -4𝑥𝑦+ 4𝑦2 > 0
ALBO

\n\n

ALBO

\n\n

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeśli zdający sprawdza prawdziwość nierówności tylko dla wybranych wartości 𝑥 i 𝑦, to
otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Przekształcamy nierówność 𝑥2 + 4𝑦2 -4 > 4(𝑥𝑦-1) w sposób równoważny:
𝑥2 + 4𝑦2 -4 > 4𝑥𝑦-4
𝑥2 -4𝑥𝑦+ 4𝑦2 > 0
Zauważamy, że lewą stronę nierówności można zapisać w postaci
(𝑥-2𝑦)2 > 0
Z założenia wiadomo, że 𝑥≠2𝑦, więc (𝑥-2𝑦)2 jest liczbą dodatnią.
To należało wykazać.
Sposób II (trójmian kwadratowy zmiennej 𝑥 z parametrem 𝑦)
Przekształcamy nierówność 𝑥2 + 4𝑦2 -4 > 4(𝑥𝑦-1) w sposób równoważny:
𝑥2 + 4𝑦2 -4 > 4𝑥𝑦-4
𝑥2 -4𝑦𝑥+ 4𝑦2 > 0
Wyrażenie 𝑥2 -4𝑦𝑥+ 4𝑦2 traktujemy jako trójmian kwadratowy zmiennej 𝑥.
Obliczamy wyróżnik Δ trójmianu:
Δ = (-4𝑦)2 -4 ⋅1 ⋅4𝑦2 = 0
Funkcja 𝑓(𝑥) = 𝑥2 -4𝑦𝑥+ 4𝑦2 ma dokładnie jedno miejsce zerowe: 𝑥= 2𝑦. Ponieważ
współczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest dodatni, więc żaden fragment wykresu
funkcji 𝑓 nie leży poniżej osi odciętych. Zatem funkcja 𝑓 przyjmuje wartości dodatnie dla
każdego 𝑥≠2𝑦.
Oznacza to, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦≠𝑥
2
nierówność 𝑥2 -4𝑦𝑥+ 4𝑦2 > 0 jest prawdziwa.
Zatem nierówność 𝑥2 + 4𝑦2 -4 > 4(𝑥𝑦-1) również jest prawdziwa dla każdej liczby
rzeczywistej 𝑥 i dla każdej liczby rzeczywistej 𝑦≠𝑥
2
. To należało wykazać.
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[]}