{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"34","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-2)\nPodstawy trapezu prostokątnego 𝐴𝐵𝐶𝐷 mają długości: |𝐴𝐵| = 12 oraz |𝐶𝐷| = 6.\nWysokość 𝐴𝐷 tego trapezu ma długość 24. Na odcinku 𝐴𝐷 leży punkt 𝐸 taki, że\n|∡𝐵𝐸𝐴| = |∡𝐶𝐸𝐷| (zobacz rysunek).\nOblicz długość odcinka 𝐵𝐸.\n𝐶\n𝐷\n𝐸\n⋅\n𝐵\n⋅\n𝐴\n\nEMAP-P0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n34.\nMaks. liczba pkt\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n7.3) rozpoznaje trójkąty podobne\ni wykorzystuje cechy podobieństwa\ntrójkątów.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda i obliczenie długości odcinka 𝐵𝐸: |𝐵𝐸| = 20.\n1 pkt - obliczenie długości odcinka 𝐷𝐸: |𝐷𝐸| = 8\nALBO\n- obliczenie długości odcinka 𝐴𝐸: |𝐴𝐸| = 16.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający zapisze tylko |𝐵𝐸| = 20 albo stosując błędną metodę, uzyskuje |𝐵𝐸| = 20,\nto otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nTrójkąty 𝐴𝐵𝐸 oraz 𝐷𝐶𝐸 są podobne na podstawie cechy kąt - kąt - kąt podobieństwa\ntrójkątów. Stąd\n|𝐴𝐸|\n|𝐴𝐵| =\n|𝐷𝐸|\n|𝐶𝐷|\n|𝐴𝐸|\n12 = 24 -|𝐴𝐸|\n6\n|𝐴𝐸| = 48 -2|𝐴𝐸|\n3|𝐴𝐸| = 48\n|𝐴𝐸| = 16\nKorzystamy z twierdzenia Pitagorasa i obliczamy długość odcinka 𝐵𝐸:\n|𝐵𝐸|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐸|2\n|𝐵𝐸|2 = 122 + 162\n|𝐵𝐸|2 = 400\n|𝐵𝐸| = 20\nSposób II\nTrójkąty 𝐴𝐵𝐸 jest podobny do trójkąta 𝐷𝐶𝐸 (na podstawie cechy kąt - kąt - kąt\npodobieństwa trójkątów) w skali 𝑘= 12\n6 = 2.\nStąd |𝐴𝐸| = 2|𝐷𝐸|.\nObliczamy długość odcinka 𝐴𝐸:\n|𝐴𝐷| = 24\n|𝐴𝐸| + |𝐷𝐸| = 24\n2|𝐷𝐸| + |𝐷𝐸| = 24\n3|𝐷𝐸| = 24\n|𝐷𝐸| = 8\n|𝐴𝐸| = 2|𝐷𝐸| = 16\nKorzystamy z twierdzenia Pitagorasa i obliczamy długość odcinka 𝐵𝐸:\n|𝐵𝐸|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐸|2\n|𝐵𝐸|2 = 122 + 162\n|𝐵𝐸|2 = 400\n|𝐵𝐸| = 20\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 34. (0-2)<br>Podstawy trapezu prostokątnego 𝐴𝐵𝐶𝐷 mają długości: |𝐴𝐵| = 12 oraz |𝐶𝐷| = 6.<br>Wysokość 𝐴𝐷 tego trapezu ma długość 24. Na odcinku 𝐴𝐷 leży punkt 𝐸 taki, że<br>|∡𝐵𝐸𝐴| = |∡𝐶𝐸𝐷| (zobacz rysunek).<br>Oblicz długość odcinka 𝐵𝐸.<br>𝐶<br>𝐷<br>𝐸<br>⋅<br>𝐵<br>⋅<br>𝐴</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>34.<br>Maks. liczba pkt<br>2<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 34. (0-2)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Użycie i tworzenie strategii.<br>Zdający:<br>7.3) rozpoznaje trójkąty podobne<br>i wykorzystuje cechy podobieństwa<br>trójkątów.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - poprawna metoda i obliczenie długości odcinka 𝐵𝐸: |𝐵𝐸| = 20.<br>1 pkt - obliczenie długości odcinka 𝐷𝐸: |𝐷𝐸| = 8<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie długości odcinka 𝐴𝐸: |𝐴𝐸| = 16.</li></ul>\n<p>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwaga:<br>Jeżeli zdający zapisze tylko |𝐵𝐸| = 20 albo stosując błędną metodę, uzyskuje |𝐵𝐸| = 20,<br>to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Trójkąty 𝐴𝐵𝐸 oraz 𝐷𝐶𝐸 są podobne na podstawie cechy kąt - kąt - kąt podobieństwa<br>trójkątów. Stąd<br>|𝐴𝐸|<br>|𝐴𝐵| =<br>|𝐷𝐸|<br>|𝐶𝐷|<br>|𝐴𝐸|<br>12 = 24 -|𝐴𝐸|<br>6<br>|𝐴𝐸| = 48 -2|𝐴𝐸|<br>3|𝐴𝐸| = 48<br>|𝐴𝐸| = 16<br>Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i obliczamy długość odcinka 𝐵𝐸:<br>|𝐵𝐸|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐸|2<br>|𝐵𝐸|2 = 122 + 162<br>|𝐵𝐸|2 = 400<br>|𝐵𝐸| = 20<br>Sposób II<br>Trójkąty 𝐴𝐵𝐸 jest podobny do trójkąta 𝐷𝐶𝐸 (na podstawie cechy kąt - kąt - kąt<br>podobieństwa trójkątów) w skali 𝑘= 12<br>6 = 2.<br>Stąd |𝐴𝐸| = 2|𝐷𝐸|.<br>Obliczamy długość odcinka 𝐴𝐸:<br>|𝐴𝐷| = 24<br>|𝐴𝐸| + |𝐷𝐸| = 24<br>2|𝐷𝐸| + |𝐷𝐸| = 24<br>3|𝐷𝐸| = 24<br>|𝐷𝐸| = 8<br>|𝐴𝐸| = 2|𝐷𝐸| = 16<br>Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i obliczamy długość odcinka 𝐵𝐸:<br>|𝐵𝐸|2 = |𝐴𝐵|2 + |𝐴𝐸|2<br>|𝐵𝐸|2 = 122 + 162<br>|𝐵𝐸|2 = 400<br>|𝐵𝐸| = 20<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[]}