{"id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad/36","paper_id":"matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa","number":"36","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2024,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 36. (0-5)\nW układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) przekątne równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷 przecinają się\nw punkcie 𝑆= (9, 11). Bok 𝐴𝐵 tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu\n𝑦= 1\n2 𝑥-1, a bok 𝐴𝐷 zawiera się w prostej o równaniu 𝑦= 2𝑥-4.\nOblicz współrzędne wierzchołka 𝐵 oraz długość odcinka 𝐵𝑆.\n\nEMAP-P0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n36.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2015","answer":null,"answer_text":"Zadanie 36. (0-5)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n8.3) wyznacza równanie prostej, która jest\nrównoległa […] do prostej danej w postaci\nkierunkowej i przechodzi przez dany punkt;\n8.4) oblicza współrzędne punktu przecięcia\ndwóch prostych;\n8.5) wyznacza współrzędne środka odcinka;\n8.6) oblicza odległość dwóch punktów.\nZasady oceniania\n5 pkt - poprawna metoda obliczenia współrzędnych punktu 𝐵 oraz długości odcinka 𝐵𝑆\noraz podanie poprawnych wyników: 𝐵= (6, 2), |𝐵𝑆| = √90 .\n4 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐵: 𝐵= (6, 2)\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐷: 𝐷= (12, 20) oraz obliczenie długości\nodcinka 𝐷𝑆: |𝐷𝑆| = √90 .\n3 pkt - wyznaczenie równania prostej 𝐵𝐶: 𝑦= 2𝑥-10\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐷: 𝐷= (12, 20),\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐴: 𝐴= (2, 0) oraz obliczenie współrzędnych\nśrodka 𝑀𝐴𝐵 boku 𝐴𝐵: 𝑀𝐴𝐵= (4, 1),\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (16, 22) oraz obliczenie współrzędnych\nśrodka 𝑀𝐵𝐶 boku 𝐵𝐶: 𝑀𝐵𝐶= (11, 12),\nALBO\n- zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć jedną ze współrzędnych punktu 𝐵,\nnp.:\n𝑥𝑏+ 𝑥𝑑\n2\n= 9 oraz\n1\n2 𝑥𝑏-1 + 2𝑥𝑑-4\n2\n= 11,\n𝑥𝑏+ 𝑥𝑑\n2\n= 9 oraz 𝑦𝑏+ 𝑦𝑑\n2\n= 11 oraz 𝑦𝑏= 1\n2 𝑥𝑏-1 oraz 𝑦𝑑= 2𝑥𝑑-4.\n2 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (16, 22)\nALBO\n- obliczenie współrzędnych środka 𝑀𝐴𝐵 boku 𝐴𝐵: 𝑀𝐴𝐵= (4, 1),\nALBO\n- obliczenie współrzędnych środka 𝑀𝐵𝐶 boku 𝐵𝐶: 𝑀𝐵𝐶= (11, 12),\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐴: 𝐴= (2, 0) oraz wyznaczenie równania prostej\n𝑆𝑀𝐴𝐵 (gdzie 𝑀𝐴𝐵 jest środkiem boku 𝐴𝐵): 𝑦= 2𝑥-7,\nALBO\n- obliczenie współrzędnych punktu 𝐴: 𝐴= (2, 0) oraz obliczenie współrzędnych\nśrodka 𝑀𝐴𝐷 boku 𝐴𝐷: 𝑀𝐴𝐷= (7, 10),\nALBO\n- zapisanie zależności pomiędzy odpowiednimi współrzędnymi punktów 𝐵, 𝐷 oraz 𝑆:\n𝑥𝑏 + 𝑥𝑑\n2\n= 9 oraz 𝑦𝑏 + 𝑦𝑑\n2\n= 11 oraz zapisanie współrzędnych punktu 𝐵\nw zależności od jednej zmiennej (𝑥𝑏 lub 𝑦𝑏), np. 𝐵= (𝑥𝑏, 1\n2 𝑥𝑏-1),\nALBO\n- zapisanie zależności pomiędzy odpowiednimi współrzędnymi punktów 𝐵, 𝐷 oraz 𝑆:\n𝑥𝑏 + 𝑥𝑑\n2\n= 9 oraz 𝑦𝑏 + 𝑦𝑑\n2\n= 11 oraz zapisanie współrzędnych punktu 𝐷\nw zależności od jednej zmiennej (𝑥𝑑 lub 𝑦𝑑), np. 𝐷= (𝑥𝑑, 2𝑥𝑑-4),\nALBO\n- zapisanie współrzędnych punktu 𝐵 w zależności od jednej zmiennej (𝑥𝑏 lub 𝑦𝑏)\noraz zapisanie współrzędnych punktu 𝐷 w zależności od jednej zmiennej (𝑥𝑑 lub\n𝑦𝑑), np. 𝐵= (𝑥𝑏, 1\n2 𝑥𝑏-1) oraz 𝐷= (𝑥𝑑, 2𝑥𝑑-4).\n1 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐴: 𝐴= (2, 0)\nALBO\n- wyznaczenie równania prostej 𝑆𝑀𝐴𝐵 (gdzie 𝑀𝐴𝐵 jest środkiem odcinka 𝐴𝐵):\n𝑦= 2𝑥-7,\nALBO\n- obliczenie współrzędnych środka 𝑀𝐴𝐷 boku 𝐴𝐷: 𝑀𝐴𝐷= (7, 10),\nALBO\n- zapisanie zależności pomiędzy odpowiednimi współrzędnymi punktów 𝐵, 𝐷 oraz 𝑆:\n𝑥𝑏 + 𝑥𝑑\n2\n= 9 oraz 𝑦𝑏 + 𝑦𝑑\n2\n= 11,\nALBO\n- zapisanie współrzędnych punktu 𝐵 w zależności od jednej zmiennej, np.\n𝐵= (𝑥𝑏, 1\n2 𝑥𝑏-1),\nALBO\n- zapisanie współrzędnych punktu 𝐷 w zależności od jednej zmiennej, np.\n𝐷= (𝑥𝑑, 2𝑥𝑑-4).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\nJeżeli jedynym błędem zdającego jest:\na) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współczynnik kierunkowy prostej\nb) zastosowanie niepoprawnego związku między współczynnikami kierunkowymi\nprostych równoległych\nc) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współrzędne środka odcinka,\ni rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać\n2 punkty za całe rozwiązanie.\nJeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)-c), to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPunkt 𝐴 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są\nrozwiązaniem układu równań\n{ 𝑦= 1\n2 𝑥-1\n𝑦= 2𝑥-4\nStąd\n2𝑥-4 = 1\n2 𝑥-1\n3\n2 𝑥= 3\n𝑥= 2\n𝑦= 0\nZatem 𝐴= (2,0).\nPunkt 𝑆 jest środkiem odcinka 𝐴𝐶, więc\n2 + 𝑥𝑐\n2\n= 9 oraz 0 + 𝑦𝑐\n2\n= 11\n𝑥𝑐= 16 oraz 𝑦𝑐= 22\nZatem 𝐶= (16, 22).\nProsta 𝐵𝐶 jest równoległa do prostej 𝐴𝐷, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝐵𝐶 jest\nrówny 2. Wyznaczamy równanie prostej 𝐵𝐶:\n𝑦= 2(𝑥-16) + 22\n𝑦= 2𝑥-10\nPunkt 𝐵 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶, zatem współrzędne tego punktu są\nrozwiązaniem układu równań\n{ 𝑦= 1\n2 𝑥-1\n𝑦= 2𝑥-10\nStąd\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n2𝑥-10 = 1\n2 𝑥-1\n3\n2 𝑥= 9\n𝑥= 6\n𝑦= 2\nZatem 𝐵= (6, 2).\nObliczamy długość odcinka 𝐵𝑆:\n|𝐵𝑆| = √(9 -6)2 + (11 -2)2 = √9 + 81 = √90 = 3√10\nSposób II\nPunkt 𝐴 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są\nrozwiązaniem układu równań\n{ 𝑦= 1\n2 𝑥-1\n𝑦= 2𝑥-4\nStąd\n2𝑥-4 = 1\n2 𝑥-1\n3\n2 𝑥= 3\n𝑥= 2\n𝑦= 0\nZatem 𝐴= (2, 0).\nOznaczmy przez 𝑀𝐴𝐵 środek odcinka 𝐴𝐵. Prosta 𝑆𝑀𝐴𝐵 jest równoległa do prostej 𝐴𝐷,\nzatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑆𝑀𝐴𝐵 jest równy 2.\nWyznaczamy równanie prostej 𝑆𝑀𝐴𝐵:\n𝑦= 2(𝑥-9) + 11\n𝑦= 2𝑥-7\nPunkt 𝑀𝐴𝐵 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝑆𝑀𝐴𝐵, zatem współrzędne tego punktu\nsą rozwiązaniem układu równań\n{ 𝑦= 1\n2 𝑥-1\n𝑦= 2𝑥-7\nStąd\n2𝑥-7 = 1\n2 𝑥-1\n3\n2 𝑥= 6\n𝑥= 4\n𝑦= 1\nZatem 𝑀𝐴𝐵= (4, 1).\nPunkt 𝑀𝐴𝐵 jest środkiem odcinka 𝐴𝐵, więc\n2 + 𝑥𝑏\n2\n= 4 oraz 0 + 𝑦𝑏\n2\n= 1\n𝑥𝑏= 6 oraz 𝑦𝑏= 2\nZatem 𝐵= (6, 2).\nObliczamy długość odcinka 𝐵𝑆:\n|𝐵𝑆| = √(9 -6)2 + (11 -2)2 = √9 + 81 = √90 = 3√10\nSposób III\nPunkt 𝐵 leży na prostej o równaniu 𝑦= 1\n2 𝑥-1, stąd 𝑦𝑏= 1\n2𝑥𝑏-1.\nPunkt 𝐷 leży na prostej o równaniu 𝑦= 2𝑥-4, stąd 𝑦𝑑= 2𝑥𝑑-4.\nPunkt 𝑆 jest środkiem odcinka 𝐵𝐷, więc\n𝑥𝑏+ 𝑥𝑑\n2\n= 9 oraz 𝑦𝑏+ 𝑦𝑑\n2\n= 11\nZatem\n𝑥𝑏+ 𝑥𝑑\n2\n= 9 oraz\n1\n2 𝑥𝑏-1 + 2𝑥𝑑-4\n2\n= 11\n𝑥𝑏+ 𝑥𝑑= 18 oraz 1\n2 𝑥𝑏+ 2𝑥𝑑= 27\n𝑥𝑑= 18 -𝑥𝑏 oraz 1\n2 𝑥𝑏+ 2(18 -𝑥𝑏) = 27\nStąd otrzymujemy\n-3\n2 𝑥𝑏= -9\n𝑥𝑏= 6\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑦𝑏= 1\n2 𝑥𝑏-1 = 1\n2 ⋅6 -1 = 2\nZatem 𝐵= (6, 2).\nObliczamy długość odcinka 𝐵𝑆:\n|𝐵𝑆| = √(9 -6)2 + (11 -2)2 = √9 + 81 = √90 = 3√10\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują Zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez\nstwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\na) ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią (punkty 1.-12.);\nb) dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy,\ntermin poprawkowy 2024.\nI. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka\nprzestawienia położenia znaku liczby.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę rozwiązania,\nczęści lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej 1 punkt, zgodnie\nz kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub zapisuje\nnawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne rozumowanie lub\nstosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt za rozwiązanie\nzadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji kwadratowej,\nistotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających\nrozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje prawidłową metodę\nwyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 30.\n1 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego\n𝑥2 + 2𝑥-3, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego\ni obliczenie tych pierwiastków\nALBO\n- konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze\ndyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli,\nALBO\n- poprawne rozwiązanie nierówności 𝑥(𝑥+ 2) ≤0 (tzn. stosuje się punkt 6. ogólnych\nzasad oceniania),\nALBO\n- konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego\ntrójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze\nzbiór rozwiązań nierówności w postaci 〈1, -3〉, to może otrzymać 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\n2. Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 31.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 32.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 33.\n1 pkt - zapisanie równości 𝑎1 + 𝑎2 = 𝑎3 + 𝑎4 + 12.\nZadanie 34.\n1 pkt - zapisanie, że trójkąty 𝐴𝐵𝐸 oraz 𝐷𝐶𝐸 są podobne\nALBO\n- zapisanie równości |𝐵𝐸|2 = 122 + |𝐴𝐸|2.\nZadanie 35.\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 15 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi ze\nstandardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 5) i konsekwentnie zapisze\nwynik (np. 5\n15), to otrzymuje 2 punkty.\nZadanie 36.\n1 pkt - poprawne narysowanie w kartezjańskim układzie współrzędnych prostej\no równaniu 𝑦= 1\n2 𝑥-1\nALBO\n- poprawne narysowanie w kartezjańskim układzie współrzędnych prostej\no równaniu 𝑦= 2𝑥-4 .","solution":null,"image":"img/matematyka-2024-sierpien-poprawkowa-stara-podstawowa/zad-36.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":28,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2024 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 36. (0-5)<br>W układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) przekątne równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷 przecinają się<br>w punkcie 𝑆= (9, 11). Bok 𝐴𝐵 tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu<br>𝑦= 1<br>2 𝑥-1, a bok 𝐴𝐷 zawiera się w prostej o równaniu 𝑦= 2𝑥-4.<br>Oblicz współrzędne wierzchołka 𝐵 oraz długość odcinka 𝐵𝑆.</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>36.<br>Maks. liczba pkt<br>5<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-P0_100</p>\n<p>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2015<br>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2015<br>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2015</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 36. (0-5)<br>Wymagania egzaminacyjne 2024<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Użycie i tworzenie strategii.<br>Zdający:<br>8.3) wyznacza równanie prostej, która jest<br>równoległa […] do prostej danej w postaci<br>kierunkowej i przechodzi przez dany punkt;<br>8.4) oblicza współrzędne punktu przecięcia<br>dwóch prostych;<br>8.5) wyznacza współrzędne środka odcinka;<br>8.6) oblicza odległość dwóch punktów.<br>Zasady oceniania<br>5 pkt - poprawna metoda obliczenia współrzędnych punktu 𝐵 oraz długości odcinka 𝐵𝑆<br>oraz podanie poprawnych wyników: 𝐵= (6, 2), |𝐵𝑆| = √90 .<br>4 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐵: 𝐵= (6, 2)<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie współrzędnych punktu 𝐷: 𝐷= (12, 20) oraz obliczenie długości</li></ul>\n<p>odcinka 𝐷𝑆: |𝐷𝑆| = √90 .<br>3 pkt - wyznaczenie równania prostej 𝐵𝐶: 𝑦= 2𝑥-10<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie współrzędnych punktu 𝐷: 𝐷= (12, 20),</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie współrzędnych punktu 𝐴: 𝐴= (2, 0) oraz obliczenie współrzędnych</li></ul>\n<p>środka 𝑀𝐴𝐵 boku 𝐴𝐵: 𝑀𝐴𝐵= (4, 1),<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (16, 22) oraz obliczenie współrzędnych</li></ul>\n<p>środka 𝑀𝐵𝐶 boku 𝐵𝐶: 𝑀𝐵𝐶= (11, 12),<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie układu równań pozwalającego obliczyć jedną ze współrzędnych punktu 𝐵,</li></ul>\n<p>np.:<br>𝑥𝑏+ 𝑥𝑑<br>2<br>= 9 oraz<br>1<br>2 𝑥𝑏-1 + 2𝑥𝑑-4<br>2<br>= 11,<br>𝑥𝑏+ 𝑥𝑑<br>2<br>= 9 oraz 𝑦𝑏+ 𝑦𝑑<br>2<br>= 11 oraz 𝑦𝑏= 1<br>2 𝑥𝑏-1 oraz 𝑦𝑑= 2𝑥𝑑-4.<br>2 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐶: 𝐶= (16, 22)<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie współrzędnych środka 𝑀𝐴𝐵 boku 𝐴𝐵: 𝑀𝐴𝐵= (4, 1),</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie współrzędnych środka 𝑀𝐵𝐶 boku 𝐵𝐶: 𝑀𝐵𝐶= (11, 12),</li></ul>\n<p>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie współrzędnych punktu 𝐴: 𝐴= (2, 0) oraz wyznaczenie równania prostej</li></ul>\n<p>𝑆𝑀𝐴𝐵 (gdzie 𝑀𝐴𝐵 jest środkiem boku 𝐴𝐵): 𝑦= 2𝑥-7,<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie współrzędnych punktu 𝐴: 𝐴= (2, 0) oraz obliczenie współrzędnych</li></ul>\n<p>środka 𝑀𝐴𝐷 boku 𝐴𝐷: 𝑀𝐴𝐷= (7, 10),<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie zależności pomiędzy odpowiednimi współrzędnymi punktów 𝐵, 𝐷 oraz 𝑆:</li></ul>\n<p>𝑥𝑏 + 𝑥𝑑<br>2<br>= 9 oraz 𝑦𝑏 + 𝑦𝑑<br>2<br>= 11 oraz zapisanie współrzędnych punktu 𝐵<br>w zależności od jednej zmiennej (𝑥𝑏 lub 𝑦𝑏), np. 𝐵= (𝑥𝑏, 1<br>2 𝑥𝑏-1),<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie zależności pomiędzy odpowiednimi współrzędnymi punktów 𝐵, 𝐷 oraz 𝑆:</li></ul>\n<p>𝑥𝑏 + 𝑥𝑑<br>2<br>= 9 oraz 𝑦𝑏 + 𝑦𝑑<br>2<br>= 11 oraz zapisanie współrzędnych punktu 𝐷<br>w zależności od jednej zmiennej (𝑥𝑑 lub 𝑦𝑑), np. 𝐷= (𝑥𝑑, 2𝑥𝑑-4),<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie współrzędnych punktu 𝐵 w zależności od jednej zmiennej (𝑥𝑏 lub 𝑦𝑏)</li></ul>\n<p>oraz zapisanie współrzędnych punktu 𝐷 w zależności od jednej zmiennej (𝑥𝑑 lub<br>𝑦𝑑), np. 𝐵= (𝑥𝑏, 1<br>2 𝑥𝑏-1) oraz 𝐷= (𝑥𝑑, 2𝑥𝑑-4).<br>1 pkt - obliczenie współrzędnych punktu 𝐴: 𝐴= (2, 0)<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie równania prostej 𝑆𝑀𝐴𝐵 (gdzie 𝑀𝐴𝐵 jest środkiem odcinka 𝐴𝐵):</li></ul>\n<p>𝑦= 2𝑥-7,<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie współrzędnych środka 𝑀𝐴𝐷 boku 𝐴𝐷: 𝑀𝐴𝐷= (7, 10),</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie zależności pomiędzy odpowiednimi współrzędnymi punktów 𝐵, 𝐷 oraz 𝑆:</li></ul>\n<p>𝑥𝑏 + 𝑥𝑑<br>2<br>= 9 oraz 𝑦𝑏 + 𝑦𝑑<br>2<br>= 11,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie współrzędnych punktu 𝐵 w zależności od jednej zmiennej, np.</li></ul>\n<p>𝐵= (𝑥𝑏, 1<br>2 𝑥𝑏-1),<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie współrzędnych punktu 𝐷 w zależności od jednej zmiennej, np.</li></ul>\n<p>𝐷= (𝑥𝑑, 2𝑥𝑑-4).<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:<br>Jeżeli jedynym błędem zdającego jest:<br>a) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współczynnik kierunkowy prostej<br>b) zastosowanie niepoprawnego związku między współczynnikami kierunkowymi<br>prostych równoległych<br>c) zastosowanie niepoprawnego wzoru na współrzędne środka odcinka,<br>i rozwiązanie zostanie doprowadzone konsekwentnie do końca, to zdający może otrzymać<br>2 punkty za całe rozwiązanie.<br>Jeżeli zdający popełni więcej niż jeden z wymienionych błędów a)-c), to otrzymuje<br>0 punktów za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Punkt 𝐴 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są<br>rozwiązaniem układu równań<br>{ 𝑦= 1<br>2 𝑥-1<br>𝑦= 2𝑥-4<br>Stąd<br>2𝑥-4 = 1<br>2 𝑥-1<br>3<br>2 𝑥= 3<br>𝑥= 2<br>𝑦= 0<br>Zatem 𝐴= (2,0).<br>Punkt 𝑆 jest środkiem odcinka 𝐴𝐶, więc<br>2 + 𝑥𝑐<br>2<br>= 9 oraz 0 + 𝑦𝑐<br>2<br>= 11<br>𝑥𝑐= 16 oraz 𝑦𝑐= 22<br>Zatem 𝐶= (16, 22).<br>Prosta 𝐵𝐶 jest równoległa do prostej 𝐴𝐷, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝐵𝐶 jest<br>równy 2. Wyznaczamy równanie prostej 𝐵𝐶:<br>𝑦= 2(𝑥-16) + 22<br>𝑦= 2𝑥-10<br>Punkt 𝐵 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐵𝐶, zatem współrzędne tego punktu są<br>rozwiązaniem układu równań<br>{ 𝑦= 1<br>2 𝑥-1<br>𝑦= 2𝑥-10<br>Stąd<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>2𝑥-10 = 1<br>2 𝑥-1<br>3<br>2 𝑥= 9<br>𝑥= 6<br>𝑦= 2<br>Zatem 𝐵= (6, 2).<br>Obliczamy długość odcinka 𝐵𝑆:<br>|𝐵𝑆| = √(9 -6)2 + (11 -2)2 = √9 + 81 = √90 = 3√10<br>Sposób II<br>Punkt 𝐴 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝐴𝐷, zatem współrzędne tego punktu są<br>rozwiązaniem układu równań<br>{ 𝑦= 1<br>2 𝑥-1<br>𝑦= 2𝑥-4<br>Stąd<br>2𝑥-4 = 1<br>2 𝑥-1<br>3<br>2 𝑥= 3<br>𝑥= 2<br>𝑦= 0<br>Zatem 𝐴= (2, 0).<br>Oznaczmy przez 𝑀𝐴𝐵 środek odcinka 𝐴𝐵. Prosta 𝑆𝑀𝐴𝐵 jest równoległa do prostej 𝐴𝐷,<br>zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑆𝑀𝐴𝐵 jest równy 2.<br>Wyznaczamy równanie prostej 𝑆𝑀𝐴𝐵:<br>𝑦= 2(𝑥-9) + 11<br>𝑦= 2𝑥-7<br>Punkt 𝑀𝐴𝐵 jest punktem wspólnym prostych 𝐴𝐵 i 𝑆𝑀𝐴𝐵, zatem współrzędne tego punktu<br>są rozwiązaniem układu równań<br>{ 𝑦= 1<br>2 𝑥-1<br>𝑦= 2𝑥-7<br>Stąd<br>2𝑥-7 = 1<br>2 𝑥-1<br>3<br>2 𝑥= 6<br>𝑥= 4<br>𝑦= 1<br>Zatem 𝑀𝐴𝐵= (4, 1).<br>Punkt 𝑀𝐴𝐵 jest środkiem odcinka 𝐴𝐵, więc<br>2 + 𝑥𝑏<br>2<br>= 4 oraz 0 + 𝑦𝑏<br>2<br>= 1<br>𝑥𝑏= 6 oraz 𝑦𝑏= 2<br>Zatem 𝐵= (6, 2).<br>Obliczamy długość odcinka 𝐵𝑆:<br>|𝐵𝑆| = √(9 -6)2 + (11 -2)2 = √9 + 81 = √90 = 3√10<br>Sposób III<br>Punkt 𝐵 leży na prostej o równaniu 𝑦= 1<br>2 𝑥-1, stąd 𝑦𝑏= 1<br>2𝑥𝑏-1.<br>Punkt 𝐷 leży na prostej o równaniu 𝑦= 2𝑥-4, stąd 𝑦𝑑= 2𝑥𝑑-4.<br>Punkt 𝑆 jest środkiem odcinka 𝐵𝐷, więc<br>𝑥𝑏+ 𝑥𝑑<br>2<br>= 9 oraz 𝑦𝑏+ 𝑦𝑑<br>2<br>= 11<br>Zatem<br>𝑥𝑏+ 𝑥𝑑<br>2<br>= 9 oraz<br>1<br>2 𝑥𝑏-1 + 2𝑥𝑑-4<br>2<br>= 11<br>𝑥𝑏+ 𝑥𝑑= 18 oraz 1<br>2 𝑥𝑏+ 2𝑥𝑑= 27<br>𝑥𝑑= 18 -𝑥𝑏 oraz 1<br>2 𝑥𝑏+ 2(18 -𝑥𝑏) = 27<br>Stąd otrzymujemy<br>-3<br>2 𝑥𝑏= -9<br>𝑥𝑏= 6<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>𝑦𝑏= 1<br>2 𝑥𝑏-1 = 1<br>2 ⋅6 -1 = 2<br>Zatem 𝐵= (6, 2).<br>Obliczamy długość odcinka 𝐵𝑆:<br>|𝐵𝑆| = √(9 -6)2 + (11 -2)2 = √9 + 81 = √90 = 3√10<br>Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią<br>Obowiązują Zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez<br>stwierdzonej dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:<br>a) ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną<br>dyskalkulią (punkty 1.-12.);<br>b) dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy<br>osób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom podstawowy,<br>termin poprawkowy 2024.<br>I. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną<br>dyskalkulią</p>\n<ol><li>Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:</li></ol>\n<p>błędnego przepisania<br>przestawienia cyfr<br>zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie<br>przestawienia położenia przecinka<br>przestawienia położenia znaku liczby.</p>\n<ol><li>W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu</li></ol>\n<p>oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza<br>umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania<br>badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.</p>\n<ol><li>We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę rozwiązania,</li></ol>\n<p>części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej 1 punkt, zgodnie<br>z kryteriami do poszczególnych zadań.</p>\n<ol><li>Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub zapisuje</li></ol>\n<p>nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne rozumowanie lub<br>stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt za rozwiązanie<br>zadania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu</li></ol>\n<p>kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę<br>wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania<br>wartościach liczbowych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający</li></ol>\n<p>może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności<br>kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej zdający</li></ol>\n<p>może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji kwadratowej,<br>istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych</li></ol>\n<p>lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie<br>takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na</li></ol>\n<p>płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu<br>rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur<br>geometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać</li></ol>\n<p>przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających<br>rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje prawidłową metodę<br>wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli</li></ol>\n<p>podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia<br>rozwiązania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub</li></ol>\n<p>geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która<br>wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać<br>1 punkt.<br>II. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób<br>ze stwierdzoną dyskalkulią<br>Zadanie 30.<br>1 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego<br>𝑥2 + 2𝑥-3, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego<br>i obliczenie tych pierwiastków<br>ALBO</p>\n<ul><li>konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze</li></ul>\n<p>dyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli,<br>ALBO</p>\n<ul><li>poprawne rozwiązanie nierówności 𝑥(𝑥+ 2) ≤0 (tzn. stosuje się punkt 6. ogólnych</li></ul>\n<p>zasad oceniania),<br>ALBO</p>\n<ul><li>konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego</li></ul>\n<p>trójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze</li></ol>\n<p>zbiór rozwiązań nierówności w postaci 〈1, -3〉, to może otrzymać 2 punkty za całe<br>rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.</li></ol>\n<p>Zadanie 31.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 32.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 33.<br>1 pkt - zapisanie równości 𝑎1 + 𝑎2 = 𝑎3 + 𝑎4 + 12.<br>Zadanie 34.<br>1 pkt - zapisanie, że trójkąty 𝐴𝐵𝐸 oraz 𝐷𝐶𝐸 są podobne<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równości |𝐵𝐸|2 = 122 + |𝐴𝐸|2.</li></ul>\n<p>Zadanie 35.<br>1 pkt - zapisanie jedynie liczby 15 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich<br>zdarzeń elementarnych).<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi ze</li></ol>\n<p>standardowych zasad oceniania.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające</li></ol>\n<p>zdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 5) i konsekwentnie zapisze<br>wynik (np. 5<br>15), to otrzymuje 2 punkty.<br>Zadanie 36.<br>1 pkt - poprawne narysowanie w kartezjańskim układzie współrzędnych prostej<br>o równaniu 𝑦= 1<br>2 𝑥-1<br>ALBO</p>\n<ul><li>poprawne narysowanie w kartezjańskim układzie współrzędnych prostej</li></ul>\n<p>o równaniu 𝑦= 2𝑥-4 .</p>","solutions":[]}