{"id":"matematyka-2025-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/20","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"20","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2025,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 20. (0-3)","answer":"60 cm²","answer_text":"Zadanie 20. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Stosowanie strategii wynikającej\nz treści zadania, tworzenie strategii\nrozwiązania problemu, również\nw rozwiązaniach wieloetapowych oraz\nw takich, które wymagają umiejętności\nłączenia wiedzy z różnych działów\nmatematyki.\nKlasy VII i VIII\nVIII. Własności figur geometrycznych na\npłaszczyźnie. Uczeń:\n6) wykonuje proste obliczenia geometryczne,\nwykorzystując sumę kątów wewnętrznych\ntrójkąta i własności trójkątów\nrównoramiennych;\n7) zna i stosuje w sytuacjach praktycznych\ntwierdzenie Pitagorasa (bez twierdzenia\nodwrotnego).\n3 punkty - pełne rozwiązanie\npoprawny sposób obliczenia pola trójkąta, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik\nliczbowy zgodny z zastosowaną jednostką (60 cm2).\n2 punkty\npoprawny sposób obliczenia długości boków trójkąta oraz poprawny sposób obliczenia\nwysokości trójkąta z zastosowaniem twierdzenia Pitagorasa, czyli zapisanie zgodnie\nz przyjętymi oznaczeniami poprawnej zależności między wysokością trójkąta, połową\ndługości jego podstawy a długością ramienia trójkąta, np.\n2(𝑥+ 3) + 𝑥= 36 oraz ℎ2 + (1\n2 𝑥)\n2\n= (𝑥+ 3)2\ngdzie: ℎ jest wysokością trójkąta,\n𝑥 jest długością podstawy trójkąta,\n𝑥+ 3 jest długością ramienia trójkąta (lub zapisy równoważne),\nLUB\nZasady oceniania rozwiązań zadań\npoprawny sposób obliczenia pola trójkąta z uwzględnieniem poprawnie obliczonej\ndługości podstawy (10), zgodnie z przyjętymi oznaczeniami, np. zapisanie\n𝑃∆= 10 ⋅ℎ\n2\n, gdzie: ℎ jest wysokością trójkąta (lub zapisy równoważne).\n1 punkt\n• zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia\ndługości podstawy trójkąta, np.\n2(𝑥+ 3) + 𝑥= 36 lub zapisy równoważne\nLUB\n• zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia\ndługości ramienia trójkąta, np.\n2𝑥+ 𝑥-3 = 36 lub zapisy równoważne,\nLUB\n• zapisanie poprawnych wyrażeń arytmetycznych prowadzących do obliczenia długości\njednego z boków trójkąta.\n0 punktów\nrozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.\nUwaga\nNie ocenia się stosowania jednostki.\nPrzykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty\nI sposób\nOznaczymy jako:\n𝑥 - długość podstawy trójkąta\n𝑥+ 3 - długość ramienia trójkąta\nObliczymy długości boków trójkąta:\n2(𝑥+ 3) + 𝑥= 36\n3𝑥= 36 -6\n𝑥= 10\n𝑥+ 3 = 13\nObliczymy wysokość trójkąta z twierdzenia Pitagorasa:\nℎ2 + 52 = 132\nℎ2 = 169 -25 = 144\nℎ= 12\nObliczymy pole trójkąta:\n𝑃∆= 10 ⋅12\n2\n= 60 (cm2)\nOdpowiedź: Pole trójkąta jest równe 60 cm2.\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin dodatkowy 2025 r.\nII sposób\nOznaczymy jako:\n𝑥 - długość ramienia trójkąta\n𝑥-3 - długość podstawy trójkąta\nObliczymy długości boków trójkąta:\n2𝑥+ 𝑥-3 = 36\n3𝑥= 36 + 3\n𝑥= 13\n𝑥-3 = 10\nObliczymy wysokość trójkąta z twierdzenia Pitagorasa:\nℎ2 + 52 = 132\nℎ2 = 169 -25 = 144\nℎ= 12\nObliczymy pole trójkąta:\n𝑃∆= 10 ⋅12\n2\n= 60 (cm2)\nOdpowiedź: Pole trójkąta jest równe 60 cm2.\nIII sposób\nObliczymy długości boków trójkąta:\n36 -6 = 30 (cm)\n30 ∶3 = 10\n10 - długość podstawy trójkąta\n13 - długość ramienia trójkąta\nObliczymy wysokość trójkąta z twierdzenia Pitagorasa:\nℎ2 + 52 = 132\nℎ2 = 169 -25 = 144\nℎ= 12\nObliczymy pole trójkąta:\n𝑃∆= 10 ⋅12\n2\n= 60 (cm2)\nOdpowiedź: Pole trójkąta jest równe 60 cm2.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Oznaczmy długość podstawy przez x . Każde ramię ma wtedy długość x+3 .\n\nx+2(x+3)=36\n\n3x+6=36 x=10\n\nPodstawa ma 10 cm, a każde ramię 13 cm. Wysokość dzieli podstawę na dwie części po 5 cm.\n\nh=√(13^2-5^2)=√(169-25)=√(144)=12 cm\n\nP=(10·12)/(2)=60 cm^2\n\nOdpowiedź: 60 cm^2 .","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":"Pola i obwody","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2025","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty","text_html":"

Zadanie 20. (0-3)

","answer_text_html":"

Zadanie 20. (0-3)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Stosowanie strategii wynikającej
\n

z treści zadania, tworzenie strategii
rozwiązania problemu, również
w rozwiązaniach wieloetapowych oraz
w takich, które wymagają umiejętności
łączenia wiedzy z różnych działów
matematyki.
Klasy VII i VIII
VIII. Własności figur geometrycznych na
płaszczyźnie. Uczeń:

\n
  1. wykonuje proste obliczenia geometryczne,
\n

wykorzystując sumę kątów wewnętrznych
trójkąta i własności trójkątów
równoramiennych;

\n
  1. zna i stosuje w sytuacjach praktycznych
\n

twierdzenie Pitagorasa (bez twierdzenia
odwrotnego).
3 punkty - pełne rozwiązanie
poprawny sposób obliczenia pola trójkąta, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik
liczbowy zgodny z zastosowaną jednostką (60 cm2).
2 punkty
poprawny sposób obliczenia długości boków trójkąta oraz poprawny sposób obliczenia
wysokości trójkąta z zastosowaniem twierdzenia Pitagorasa, czyli zapisanie zgodnie
z przyjętymi oznaczeniami poprawnej zależności między wysokością trójkąta, połową
długości jego podstawy a długością ramienia trójkąta, np.
2(𝑥+ 3) + 𝑥= 36 oraz ℎ2 + (1
2 𝑥)
2
= (𝑥+ 3)2
gdzie: ℎ jest wysokością trójkąta,
𝑥 jest długością podstawy trójkąta,
𝑥+ 3 jest długością ramienia trójkąta (lub zapisy równoważne),
LUB
Zasady oceniania rozwiązań zadań
poprawny sposób obliczenia pola trójkąta z uwzględnieniem poprawnie obliczonej
długości podstawy (10), zgodnie z przyjętymi oznaczeniami, np. zapisanie
𝑃∆= 10 ⋅ℎ
2
, gdzie: ℎ jest wysokością trójkąta (lub zapisy równoważne).
1 punkt
• zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia
długości podstawy trójkąta, np.
2(𝑥+ 3) + 𝑥= 36 lub zapisy równoważne
LUB
• zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą prowadzącego do obliczenia
długości ramienia trójkąta, np.
2𝑥+ 𝑥-3 = 36 lub zapisy równoważne,
LUB
• zapisanie poprawnych wyrażeń arytmetycznych prowadzących do obliczenia długości
jednego z boków trójkąta.
0 punktów
rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania.
Uwaga
Nie ocenia się stosowania jednostki.
Przykładowe rozwiązania ocenione na 3 punkty
I sposób
Oznaczymy jako:
𝑥 - długość podstawy trójkąta
𝑥+ 3 - długość ramienia trójkąta
Obliczymy długości boków trójkąta:
2(𝑥+ 3) + 𝑥= 36
3𝑥= 36 -6
𝑥= 10
𝑥+ 3 = 13
Obliczymy wysokość trójkąta z twierdzenia Pitagorasa:
ℎ2 + 52 = 132
ℎ2 = 169 -25 = 144
ℎ= 12
Obliczymy pole trójkąta:
𝑃∆= 10 ⋅12
2
= 60 (cm2)
Odpowiedź: Pole trójkąta jest równe 60 cm2.
Egzamin ósmoklasisty z matematyki - termin dodatkowy 2025 r.
II sposób
Oznaczymy jako:
𝑥 - długość ramienia trójkąta
𝑥-3 - długość podstawy trójkąta
Obliczymy długości boków trójkąta:
2𝑥+ 𝑥-3 = 36
3𝑥= 36 + 3
𝑥= 13
𝑥-3 = 10
Obliczymy wysokość trójkąta z twierdzenia Pitagorasa:
ℎ2 + 52 = 132
ℎ2 = 169 -25 = 144
ℎ= 12
Obliczymy pole trójkąta:
𝑃∆= 10 ⋅12
2
= 60 (cm2)
Odpowiedź: Pole trójkąta jest równe 60 cm2.
III sposób
Obliczymy długości boków trójkąta:
36 -6 = 30 (cm)
30 ∶3 = 10
10 - długość podstawy trójkąta
13 - długość ramienia trójkąta
Obliczymy wysokość trójkąta z twierdzenia Pitagorasa:
ℎ2 + 52 = 132
ℎ2 = 169 -25 = 144
ℎ= 12
Obliczymy pole trójkąta:
𝑃∆= 10 ⋅12
2
= 60 (cm2)
Odpowiedź: Pole trójkąta jest równe 60 cm2.
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Oznaczmy długość podstawy przez x . Każde ramię ma wtedy długość x+3 .

\n

x+2(x+3)=36

\n

3x+6=36 x=10

\n

Podstawa ma 10 cm, a każde ramię 13 cm. Wysokość dzieli podstawę na dwie części po 5 cm.

\n

h=√(13^2-5^2)=√(169-25)=√(144)=12 cm

\n

P=(10·12)/(2)=60 cm^2

\n

Odpowiedź: 60 cm^2 .

"}]}