{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nLiczby 𝑥1 i 𝑥2 są różnymi rozwiązaniami równania |𝑥-6| = 4.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nIloczyn 𝑥1 ⋅𝑥2 jest równy\nA. 4\nB. 20\nC. 24\nD. 100\nLiczby x_1 i x_2 są różnymi rozwiązaniami równania |x-6|=4. Iloczyn x_1⋅ x_2 jest równy A. 4 B. 20 C. 24 D. 100","answer":"B","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania określone w podstawie programowej1\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.7) stosuje interpretację geometryczną\ni algebraiczną wartości bezwzględnej,\nrozwiązuje równania typu: |𝑥+ 4| = 5.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji z dnia 28 czerwca 2024 r. zmieniające rozporządzenie w sprawie podstawy\nprogramowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopnia\n(Dz.U. z 2024 r. poz. 1019).\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(20\\%\\)\n\n## Sposób 1 - Definicja błędu względnego\n\n**Błąd względny** to stosunek błędu bezwzględnego do wartości dokładnej, wyrażony w procentach:\n\\[\\delta = \\frac{|x - x_0|}{|x_0|} \\cdot 100\\%\\]\ngdzie \\(x\\) to przybliżenie, a \\(x_0\\) to wartość dokładna.\n\n**Krok 1.** Obliczamy wartość dokładną:\n\\[\\frac{1}{8} = 0{,}125\\]\n\n**Krok 2.** Obliczamy błąd bezwzględny:\n\\[|0{,}1 - 0{,}125| = |-0{,}025| = 0{,}025\\]\n\n**Krok 3.** Obliczamy błąd względny:\n\\[\\delta = \\frac{0{,}025}{0{,}125} \\cdot 100\\%\\]\n\n**Krok 4.** Upraszczamy ułamek:\n\\[\\frac{0{,}025}{0{,}125} = \\frac{25}{125} = \\frac{1}{5} = 0{,}2\\]\n\n**Zatem:**\n\\[\\delta = 0{,}2 \\cdot 100\\% = \\mathbf{20\\%}\\]\n\n## Sposób 2 - Ułamki zamiast dziesiętnych\n\nZamiast przeliczać na liczby dziesiętne, pracujemy na ułamkach od początku.\n\nPrzybliżenie: \\(0{,}1 = \\frac{1}{10}\\), wartość dokładna: \\(\\frac{1}{8}\\).\n\nBłąd bezwzględny:\n\\[\\left|\\frac{1}{10} - \\frac{1}{8}\\right| = \\left|\\frac{4}{40} - \\frac{5}{40}\\right| = \\frac{1}{40}\\]\n\nBłąd względny:\n\\[\\delta = \\frac{\\dfrac{1}{40}}{\\dfrac{1}{8}} \\cdot 100\\% = \\frac{1}{40} \\cdot \\frac{8}{1} \\cdot 100\\% = \\frac{8}{40} \\cdot 100\\% = \\frac{1}{5} \\cdot 100\\% = \\mathbf{20\\%}\\]\n\nTen sam wynik - odpowiedź **C** potwierdzona.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu **nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE** - wystarczy definicja błędu względnego (temat rachunkowości/szacowania, który uczeń powinien znać z treści zadania) oraz działania na ułamkach i procentach z działu podstawowego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A (\\(0{,}2\\%\\)) | Uczeń oblicza błąd względny poprawnie (\\(0{,}2\\)), ale **zapomina pomnożyć przez 100%** - zostawia wynik jako \\(0{,}2\\) i wpisuje \\(0{,}2\\%\\) |\n| B (\\(0{,}25\\%\\)) | Uczeń dzieli odwrotnie: \\(\\frac{0{,}025}{0{,}1} = 0{,}25\\), czyli odnosi błąd do **przybliżenia** zamiast do wartości dokładnej, a potem nie mnoży przez 100 |\n| D (\\(25\\%\\)) | Uczeń dzieli błąd przez przybliżenie zamiast przez wartość dokładną: \\(\\frac{0{,}025}{0{,}1} \\cdot 100\\% = 25\\%\\) - to **błąd wyboru mianownika** |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Błąd względny odnosi się zawsze do **wartości dokładnej** (mianownik = \\(\\frac{1}{8}\\)), NIE do przybliżenia. To najczęstszy błąd w tym typie zadania - właśnie dlatego istnieje odpowiedź D jako pułapka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij pomnożyć przez \\(100\\%\\) na końcu. Wynik \\(0{,}2\\) to ułamek - odpowiedź A (\\(0{,}2\\%\\)) „czeka\" na tę pomyłkę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze najpierw przelicz \\(\\frac{1}{8} = 0{,}125\\) - to łatwe dzielenie, ale uczniowie często zakładają \\(\\frac{1}{8} \\approx 0{,}1\\) i nie widzą błędu.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Definicja błędu względnego (karta wzorów)\nBłąd bezwzględny: \\(|x - x_0| = \\left|\\dfrac{1}{8} - 0{,}1\\right| = |0{,}125 - 0{,}1| = 0{,}025.\\)\nBłąd względny: \\(\\dfrac{0{,}025}{0{,}125} = 0{,}2 = 20\\%.\\)\n\n### Sposób 2 - Zamiana na ułamek\n\\(\\dfrac{1/8 - 1/10}{1/8} = \\dfrac{5/40 - 4/40}{5/40} = \\dfrac{1/40}{5/40} = \\dfrac{1}{5} = 20\\%.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(0{,}2\\%\\)** - pomylone z wartością \\(0{,}2\\) jako ułamek zamiast procent.\n- **B. \\(0{,}25\\%\\)** - błędna interpretacja różnicy \\(0{,}025\\).\n- **D. \\(25\\%\\)** - przyjęto błędnie \\(\\dfrac{0{,}025}{0{,}1}\\) zamiast dzielić przez wartość dokładną.\n\n**Trik:** błąd względny dzielimy zawsze przez wartość **dokładną**, nie przez przybliżenie.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"Wartość bezwzględna, bezwgledna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1. (0-1)
Liczby 𝑥1 i 𝑥2 są różnymi rozwiązaniami równania |𝑥-6| = 4.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Iloczyn 𝑥1 ⋅𝑥2 jest równy
A. 4
B. 20
C. 24
D. 100
Liczby x_1 i x_2 są różnymi rozwiązaniami równania |x-6|=4. Iloczyn x_1⋅ x_2 jest równy A. 4 B. 20 C. 24 D. 100

","answer_text_html":"

Zadanie 1. (0-1)
Wymagania określone w podstawie programowej1
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
I.7) stosuje interpretację geometryczną
i algebraiczną wartości bezwzględnej,
rozwiązuje równania typu: |𝑥+ 4| = 5.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
B
1 Rozporządzenie Ministra Edukacji z dnia 28 czerwca 2024 r. zmieniające rozporządzenie w sprawie podstawy
programowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopnia
(Dz.U. z 2024 r. poz. 1019).
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(20\\%\\)

\n

Sposób 1 - Definicja błędu względnego

\n

Błąd względny to stosunek błędu bezwzględnego do wartości dokładnej, wyrażony w procentach:
\\[\\delta = \\frac{|x - x_0|}{|x_0|} \\cdot 100\\%\\]
gdzie \\(x\\) to przybliżenie, a \\(x_0\\) to wartość dokładna.

\n

Krok 1. Obliczamy wartość dokładną:
\\[\\frac{1}{8} = 0{,}125\\]

\n

Krok 2. Obliczamy błąd bezwzględny:
\\[|0{,}1 - 0{,}125| = |-0{,}025| = 0{,}025\\]

\n

Krok 3. Obliczamy błąd względny:
\\[\\delta = \\frac{0{,}025}{0{,}125} \\cdot 100\\%\\]

\n

Krok 4. Upraszczamy ułamek:
\\[\\frac{0{,}025}{0{,}125} = \\frac{25}{125} = \\frac{1}{5} = 0{,}2\\]

\n

Zatem:
\\[\\delta = 0{,}2 \\cdot 100\\% = \\mathbf{20\\%}\\]

\n

Sposób 2 - Ułamki zamiast dziesiętnych

\n

Zamiast przeliczać na liczby dziesiętne, pracujemy na ułamkach od początku.

\n

Przybliżenie: \\(0{,}1 = \\frac{1}{10}\\), wartość dokładna: \\(\\frac{1}{8}\\).

\n

Błąd bezwzględny:
\\[\\left|\\frac{1}{10} - \\frac{1}{8}\\right| = \\left|\\frac{4}{40} - \\frac{5}{40}\\right| = \\frac{1}{40}\\]

\n

Błąd względny:
\\[\\delta = \\frac{\\dfrac{1}{40}}{\\dfrac{1}{8}} \\cdot 100\\% = \\frac{1}{40} \\cdot \\frac{8}{1} \\cdot 100\\% = \\frac{8}{40} \\cdot 100\\% = \\frac{1}{5} \\cdot 100\\% = \\mathbf{20\\%}\\]

\n

Ten sam wynik - odpowiedź C potwierdzona.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja błędu względnego (temat rachunkowości/szacowania, który uczeń powinien znać z treści zadania) oraz działania na ułamkach i procentach z działu podstawowego.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A (\\(0{,}2\\%\\)) | Uczeń oblicza błąd względny poprawnie (\\(0{,}2\\)), ale zapomina pomnożyć przez 100% - zostawia wynik jako \\(0{,}2\\) i wpisuje \\(0{,}2\\%\\) |
| B (\\(0{,}25\\%\\)) | Uczeń dzieli odwrotnie: \\(\\frac{0{,}025}{0{,}1} = 0{,}25\\), czyli odnosi błąd do przybliżenia zamiast do wartości dokładnej, a potem nie mnoży przez 100 |
| D (\\(25\\%\\)) | Uczeń dzieli błąd przez przybliżenie zamiast przez wartość dokładną: \\(\\frac{0{,}025}{0{,}1} \\cdot 100\\% = 25\\%\\) - to błąd wyboru mianownika |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Błąd względny odnosi się zawsze do wartości dokładnej (mianownik = \\(\\frac{1}{8}\\)), NIE do przybliżenia. To najczęstszy błąd w tym typie zadania - właśnie dlatego istnieje odpowiedź D jako pułapka.
\n
⚠️ Uwaga: Nie zapomnij pomnożyć przez \\(100\\%\\) na końcu. Wynik \\(0{,}2\\) to ułamek - odpowiedź A (\\(0{,}2\\%\\)) „czeka" na tę pomyłkę.
\n
⚠️ Uwaga: Zawsze najpierw przelicz \\(\\frac{1}{8} = 0{,}125\\) - to łatwe dzielenie, ale uczniowie często zakładają \\(\\frac{1}{8} \\approx 0{,}1\\) i nie widzą błędu.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Definicja błędu względnego (karta wzorów)
\n

Błąd bezwzględny: \\(|x - x_0| = \\left|\\dfrac{1}{8} - 0{,}1\\right| = |0{,}125 - 0{,}1| = 0{,}025.\\)
Błąd względny: \\(\\dfrac{0{,}025}{0{,}125} = 0{,}2 = 20\\%.\\)

\n
Sposób 2 - Zamiana na ułamek
\n

\\(\\dfrac{1/8 - 1/10}{1/8} = \\dfrac{5/40 - 4/40}{5/40} = \\dfrac{1/40}{5/40} = \\dfrac{1}{5} = 20\\%.\\)

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: błąd względny dzielimy zawsze przez wartość dokładną, nie przez przybliżenie.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zaczynamy od równania z wartością bezwzględną: $$|x - 6| = 4$$.
\n
  1. Rozwiązujemy równanie, pamiętając, że wartość bezwzględna daje dwa przypadki:
\n\n
  1. Analizujemy pierwszy przypadek: $$x - 6 = 4$$.
\n
  1. Przekształcamy pierwszy przypadek:
\n

$$x = 4 + 6$$
$$x = 10$$

\n
  1. Następnie analizujemy drugi przypadek: $$x - 6 = -4$$.
\n
  1. Przekształcamy drugi przypadek:
\n

$$x = -4 + 6$$
$$x = 2$$

\n
  1. Teraz mamy dwa różne rozwiązania równania: $x_1 = 10$ oraz $x_2 = 2$.
\n
  1. Obliczamy iloczyn $x_1 \\times x_2$: $$x_1 \\times x_2 = 10 \\times 2$$.
\n
  1. Wykonujemy mnożenie:
\n

$$x_1 \\times x_2 = 20$$.

\n
  1. Zapisujemy odpowiedź końcową: Iloczyn $x_1 \\times x_2$ jest równy $20$,
\n

co oznacza, że poprawną odpowiedzią jest opcja B.

\n

Odpowiedź: Iloczyn $x_1 \\times x_2$ jest równy 20.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Równanie ma postać:

\n

|x-6|=4

\n

Korzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

\n

x-6=4 lub x-6=-4

\n

x=10 lub x=2

\n

Iloczyn rozwiązań:

\n

x_1· x_2=10·2=20

\n

Odpowiedź: B. 20

"}]}