{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"10","points":4,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-4)\nFunkcja 𝑓 jest określona następująco:\n𝑓(𝑥) = {\n-𝑥-2\ndla 𝑥∈(-5, -2]\n0\ndla 𝑥∈(-2, 1]\n𝑥\ndla 𝑥∈(1, 3]\nWykres funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦)\nna rysunku poniżej.\nUzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby\nzdania były prawdziwe.\n1. Dziedziną funkcji 𝑓 jest przedział\n2. Zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział\n3. Zbiorem wszystkich miejsc zerowych funkcji 𝑓 jest przedział\n4. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 𝑓(𝑥) < 𝑓(-3) jest przedział\n1 2 3 4\n-1\n-2\n5\n0\n𝑥\n-5 -4 -3\n1\n2\n3\n4\n𝑦\n5\n-1\n-2\n-3\n-4\n-5\n𝑦= 𝑓(𝑥)\n\nMMAP-P0_100\nFunkcja f jest określona następująco: f(x) = {-x-2 dla x∈(-5,-2>, 0 dla x∈(-2,1>, x dla x∈(1,3>. Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej. [rysunek] Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Dziedziną funkcji f jest przedział ......... . 2. Zbiorem wartości funkcji f jest przedział ......... . 3. Zbiorem wszystkich miejsc zerowych funkcji f jest przedział ......... . 4. Zbiorem wszystkich rozwiązań równania f(x) < f(-3) jest przedział ......... .","answer":"A","answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nV.4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę,\nzbiór wartości, miejsca zerowe, […]\nprzedziały, w których funkcja przyjmuje\nwartości większe (nie mniejsze) lub\nmniejsze (nie większe) od danej liczby […].\nI.6) posługuje się pojęciem przedziału\nliczbowego […].\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawne uzupełnienie czterech zdań.\n3 pkt - poprawne uzupełnienie trzech zdań.\n2 pkt - poprawne uzupełnienie dwóch zdań.\n1 pkt - poprawne uzupełnienie jednego zdania.\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nRozwiązanie\n1. (-5, 3]\n2. [0, 3]\n3. [-2, 1]\n4. (-3, 1]\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej przy zachowaniu poprawnych krańców\nprzedziału, np. zapisze, że dziedziną funkcji 𝑓 jest przedział [3, -5), to otrzymuje 1 punkt\nza tak uzupełnione zdanie.","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(g(x) = 5x - 5\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na przesunięcie wykresu w prawo\n\nKluczowy fakt: **przesunięcie wykresu funkcji \\(f(x)\\) o \\(a\\) jednostek w prawo** daje wykres funkcji:\n\\[g(x) = f(x - a)\\]\n\nPrzesuwamy o **1 jednostkę w prawo**, więc \\(a = 1\\):\n\\[g(x) = f(x - 1)\\]\n\nPodstawiamy \\((x-1)\\) zamiast \\(x\\) do wzoru \\(f(x) = 5x\\):\n\\[g(x) = 5(x - 1) = 5x - 5\\]\n\n**Odpowiedź: \\(g(x) = 5x - 5\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez konkretny punkt\n\nSprawdzamy, czy wynik ma sens geometrycznie.\n\nNa wykresie \\(f(x) = 5x\\) leży punkt \\((0, 0)\\) - jest to punkt, przez który przechodzi prosta \\(f\\).\n\nPo przesunięciu o 1 w prawo, ten punkt przejdzie do punktu \\((1, 0)\\). Sprawdzamy, czy \\(g(1) = 0\\):\n\\[g(1) = 5 \\cdot 1 - 5 = 5 - 5 = 0 \\checkmark\\]\n\nSprawdzamy jeszcze jeden punkt. Na \\(f\\) leży \\((1, 5)\\), po przesunięciu w prawo → \\((2, 5)\\):\n\\[g(2) = 5 \\cdot 2 - 5 = 10 - 5 = 5 \\checkmark\\]\n\n**Wynik zgadza się - \\(g(x) = 5x - 5\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji przesunięcia wykresu funkcji:\n\\[f(x) \\xrightarrow{\\text{przesunięcie o } a \\text{ w prawo}} g(x) = f(x - a)\\]\nJest to własność funkcji omawiana na lekcjach, nie ujęta w karcie wzorów jako osobny wzór.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Uczeń odjął 1 od \\(x\\), ale nie pomnożył przez 5: napisał \\(5x - 1\\) zamiast \\(5(x-1) = 5x - 5\\) |\n| C | Uczeń dodał 1 (zamiast odjąć) i nie rozwinął nawiasu: \\(5x + 1\\) - błąd znaku i brak mnożenia |\n| D | Uczeń przesunął w **lewo** zamiast w prawo: \\(f(x+1) = 5(x+1) = 5x + 5\\) - klasyczna pomyłka kierunku |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przesunięcie w **prawo** to \\(f(x - a)\\), a nie \\(f(x + a)\\). To myląca notacja - odejmujemy, choć przesuwamy w \"pozytywnym\" kierunku. Zapamiętaj: prawo → minus, lewo → plus.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po podstawieniu \\((x-1)\\) pamiętaj o rozwinięciu nawiasu! \\(5(x-1) = 5x - 5\\), nie \\(5x - 1\\). To bardzo częsty błąd rachunkowy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosta \\(g\\) ma **ten sam współczynnik kierunkowy** co \\(f\\) (bo przesunięcie poziome nie zmienia nachylenia). Jeśli w odpowiedzi widzisz inną niż \\(5\\) liczbę przy \\(x\\) - coś jest nie tak.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Przesunięcie poziome (karta wzorów)\nPrzesunięcie w prawo o \\(1\\): \\(g(x) = f(x-1) = 5(x-1) = 5x - 5.\\)\n\n### Sposób 2 - Punkt kontrolny\n\\(f(0) = 0\\), więc punkt \\((0,0)\\) przechodzi na \\((1,0)\\) po przesunięciu. Sprawdzamy: \\(g(1) = 5\\cdot 1 - 5 = 0\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(5x-1\\)** - błąd w mnożeniu, pominięto \\(5\\cdot(-1)\\).\n- **C. \\(5x+1\\)** - zły znak i niewłaściwe przesunięcie.\n- **D. \\(5x+5\\)** - przesunięcie **w lewo** zamiast w prawo.\n\n**Trik:** \\(y = f(x-a)\\) to przesunięcie w **prawo** o \\(a\\); podmień \\(x \\to x-a\\).","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"Funkcje","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 10. (0-4)<br>Funkcja 𝑓 jest określona następująco:<br>𝑓(𝑥) = {<br>-𝑥-2<br>dla 𝑥∈(-5, -2]<br>0<br>dla 𝑥∈(-2, 1]<br>𝑥<br>dla 𝑥∈(1, 3]<br>Wykres funkcji 𝑦= 𝑓(𝑥) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦)<br>na rysunku poniżej.<br>Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby<br>zdania były prawdziwe.</p>\n<ol><li>Dziedziną funkcji 𝑓 jest przedział</li><li>Zbiorem wartości funkcji 𝑓 jest przedział</li><li>Zbiorem wszystkich miejsc zerowych funkcji 𝑓 jest przedział</li><li>Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 𝑓(𝑥) &lt; 𝑓(-3) jest przedział</li></ol>\n<p>1 2 3 4<br>-1<br>-2<br>5<br>0<br>𝑥<br>-5 -4 -3<br>1<br>2<br>3<br>4<br>𝑦<br>5<br>-1<br>-2<br>-3<br>-4<br>-5<br>𝑦= 𝑓(𝑥)</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Funkcja f jest określona następująco: f(x) = {-x-2 dla x∈(-5,-2&gt;, 0 dla x∈(-2,1&gt;, x dla x∈(1,3&gt;. Wykres funkcji y=f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) na rysunku poniżej. [rysunek] Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. 1. Dziedziną funkcji f jest przedział ......... . 2. Zbiorem wartości funkcji f jest przedział ......... . 3. Zbiorem wszystkich miejsc zerowych funkcji f jest przedział ......... . 4. Zbiorem wszystkich rozwiązań równania f(x) &lt; f(-3) jest przedział ......... .</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 10. (0-4)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.</p>\n<ol><li>Interpretowanie i operowanie</li></ol>\n<p>informacjami przedstawionymi w tekście,<br>zarówno matematycznym, jak<br>i popularnonaukowym, a także w formie<br>wykresów, diagramów, tabel.<br>Zdający:<br>V.4) odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę,<br>zbiór wartości, miejsca zerowe, […]<br>przedziały, w których funkcja przyjmuje<br>wartości większe (nie mniejsze) lub<br>mniejsze (nie większe) od danej liczby […].<br>I.6) posługuje się pojęciem przedziału<br>liczbowego […].<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - poprawne uzupełnienie czterech zdań.<br>3 pkt - poprawne uzupełnienie trzech zdań.<br>2 pkt - poprawne uzupełnienie dwóch zdań.<br>1 pkt - poprawne uzupełnienie jednego zdania.<br>0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.<br>Rozwiązanie</p>\n<ol><li>(-5, 3]</li><li>[0, 3]</li><li>[-2, 1]</li><li>(-3, 1]</li></ol>\n<p>Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki<br>Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej przy zachowaniu poprawnych krańców<br>przedziału, np. zapisze, że dziedziną funkcji 𝑓 jest przedział [3, -5), to otrzymuje 1 punkt<br>za tak uzupełnione zdanie.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-10.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(g(x) = 5x - 5\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na przesunięcie wykresu w prawo</h4>\n<p>Kluczowy fakt: <strong>przesunięcie wykresu funkcji \\(f(x)\\) o \\(a\\) jednostek w prawo</strong> daje wykres funkcji:<br>\\[g(x) = f(x - a)\\]</p>\n<p>Przesuwamy o <strong>1 jednostkę w prawo</strong>, więc \\(a = 1\\):<br>\\[g(x) = f(x - 1)\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\((x-1)\\) zamiast \\(x\\) do wzoru \\(f(x) = 5x\\):<br>\\[g(x) = 5(x - 1) = 5x - 5\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(g(x) = 5x - 5\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez konkretny punkt</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy wynik ma sens geometrycznie.</p>\n<p>Na wykresie \\(f(x) = 5x\\) leży punkt \\((0, 0)\\) - jest to punkt, przez który przechodzi prosta \\(f\\).</p>\n<p>Po przesunięciu o 1 w prawo, ten punkt przejdzie do punktu \\((1, 0)\\). Sprawdzamy, czy \\(g(1) = 0\\):<br>\\[g(1) = 5 \\cdot 1 - 5 = 5 - 5 = 0 \\checkmark\\]</p>\n<p>Sprawdzamy jeszcze jeden punkt. Na \\(f\\) leży \\((1, 5)\\), po przesunięciu w prawo → \\((2, 5)\\):<br>\\[g(2) = 5 \\cdot 2 - 5 = 10 - 5 = 5 \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Wynik zgadza się - \\(g(x) = 5x - 5\\).</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji przesunięcia wykresu funkcji:<br>\\[f(x) \\xrightarrow{\\text{przesunięcie o } a \\text{ w prawo}} g(x) = f(x - a)\\]<br>Jest to własność funkcji omawiana na lekcjach, nie ujęta w karcie wzorów jako osobny wzór.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| B | Uczeń odjął 1 od \\(x\\), ale nie pomnożył przez 5: napisał \\(5x - 1\\) zamiast \\(5(x-1) = 5x - 5\\) |<br>| C | Uczeń dodał 1 (zamiast odjąć) i nie rozwinął nawiasu: \\(5x + 1\\) - błąd znaku i brak mnożenia |<br>| D | Uczeń przesunął w <strong>lewo</strong> zamiast w prawo: \\(f(x+1) = 5(x+1) = 5x + 5\\) - klasyczna pomyłka kierunku |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przesunięcie w <strong>prawo</strong> to \\(f(x - a)\\), a nie \\(f(x + a)\\). To myląca notacja - odejmujemy, choć przesuwamy w &quot;pozytywnym&quot; kierunku. Zapamiętaj: prawo → minus, lewo → plus.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Po podstawieniu \\((x-1)\\) pamiętaj o rozwinięciu nawiasu! \\(5(x-1) = 5x - 5\\), nie \\(5x - 1\\). To bardzo częsty błąd rachunkowy.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Prosta \\(g\\) ma <strong>ten sam współczynnik kierunkowy</strong> co \\(f\\) (bo przesunięcie poziome nie zmienia nachylenia). Jeśli w odpowiedzi widzisz inną niż \\(5\\) liczbę przy \\(x\\) - coś jest nie tak.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Przesunięcie poziome (karta wzorów)</h5>\n<p>Przesunięcie w prawo o \\(1\\): \\(g(x) = f(x-1) = 5(x-1) = 5x - 5.\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Punkt kontrolny</h5>\n<p>\\(f(0) = 0\\), więc punkt \\((0,0)\\) przechodzi na \\((1,0)\\) po przesunięciu. Sprawdzamy: \\(g(1) = 5\\cdot 1 - 5 = 0\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(5x-1\\)</strong> - błąd w mnożeniu, pominięto \\(5\\cdot(-1)\\).</li><li><strong>C. \\(5x+1\\)</strong> - zły znak i niewłaściwe przesunięcie.</li><li><strong>D. \\(5x+5\\)</strong> - przesunięcie <strong>w lewo</strong> zamiast w prawo.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(y = f(x-a)\\) to przesunięcie w <strong>prawo</strong> o \\(a\\); podmień \\(x \\to x-a\\).</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Funkcja jest określona wzorem:</p>\n<p>f(x)=</p>\n<p>-x-2 &amp; dla x∈(-5,-2]</p>\n<p>0 &amp; dla x∈(-2,1]</p>\n<p>x &amp; dla x∈(1,3]</p>\n<ol><li>Dziedzina funkcji</li></ol>\n<p>Łączymy wszystkie przedziały, na których funkcja jest określona:</p>\n<p>(-5,-2]∪(-2,1]∪(1,3]=(-5,3]</p>\n<ol><li>Zbiór wartości funkcji</li></ol>\n<p>Z wykresu i wzoru funkcji odczytujemy, że najmniejszą wartością jest 0 , a największą 3 .</p>\n<p>W_f=[0,3]</p>\n<ol><li>Miejsca zerowe</li></ol>\n<p>Miejsca zerowe to argumenty, dla których f(x)=0 . Funkcja przyjmuje wartość 0 dla:</p>\n<p>x∈[-2,1]</p>\n<ol><li>Rozwiązania nierówności f(x)</li></ol>\n<p>Najpierw obliczamy:</p>\n<p>f(-3)=-(-3)-2=3-2=1</p>\n<p>Szukamy więc tych argumentów, dla których:</p>\n<p>f(x)&lt;1</p>\n<p>Z wykresu oraz wzoru funkcji otrzymujemy:</p>\n<p>x∈(-3,1]</p>\n<p>Odpowiedź:</p>\n<ol><li>(-5,3]</li></ol>\n<ol><li>[0,3]</li></ol>\n<ol><li>[-2,1]</li></ol>\n<ol><li>(-3,1]</li></ol>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<ol><li>$(-5, 3]$</li><li>$[0, 3]$</li><li>$[-2, 1]$</li><li>$(-3, 1]$</li></ol>"}]}