{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nFunkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 1\n2 𝑥-𝑘, gdzie 𝑘 jest liczbą rzeczywistą.\nMiejsce zerowe funkcji 𝑓 jest liczbą większą od 2.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 𝑘 należy do przedziału\nA. (-∞, -1)\nB. (-1, 0)\nC. (0, 1)\nD. (1, +∞)\nFunkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = 1/2x-k, gdzie k jest liczbą rzeczywistą. Miejsce zerowe funkcji f jest liczbą większą od 2. Liczba k należy do przedziału A. (-∞,1) B. (-1,0) C. (0,1) D. (1,∞)","answer":"D","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.5) interpretuje współczynniki występujące\nwe wzorze funkcji liniowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(f(3)\\)\n\nNajwiększa wartość funkcji \\(f\\) w przedziale \\(\\langle 0, 14\\rangle\\) wynosi \\(f(3)\\).\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie wierzchołka paraboli\n\n**Rozwijamy wzór funkcji:**\n\n\\[f(x) = (500 + 50x)(16 - x)\\]\n\\[= 500 \\cdot 16 - 500x + 50x \\cdot 16 - 50x^2\\]\n\\[= 8000 - 500x + 800x - 50x^2\\]\n\\[f(x) = -50x^2 + 300x + 8000\\]\n\nMamy więc trójmian kwadratowy z \\(a = -50\\), \\(b = 300\\), \\(c = 8000\\).\n\n**Ponieważ \\(a = -50 < 0\\), parabola jest skierowana ramionami w dół - funkcja osiąga maksimum w wierzchołku.**\n\nOdczytujemy współrzędną \\(x\\) wierzchołka:\n\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{300}{2 \\cdot (-50)} = -\\frac{300}{-100} = 3\\]\n\nSprawdzamy: \\(x = 3 \\in \\langle 0, 14\\rangle\\) ✓\n\nWierzchołek leży wewnątrz przedziału, więc **maksimum funkcji na \\(\\langle 0, 14\\rangle\\) jest osiągane właśnie w punkcie \\(x = 3\\).**\n\n**Odpowiedź: \\(f(3)\\)**\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednie obliczenie wartości i weryfikacja\n\nSprawdzamy wszystkie podane punkty:\n\n\\[f(3) = (500 + 50 \\cdot 3)(16 - 3) = 650 \\cdot 13 = \\mathbf{8450}\\]\n\\[f(4) = (500 + 50 \\cdot 4)(16 - 4) = 700 \\cdot 12 = 8400\\]\n\\[f(7) = (500 + 50 \\cdot 7)(16 - 7) = 850 \\cdot 9 = 7650\\]\n\\[f(14) = (500 + 50 \\cdot 14)(16 - 14) = 1200 \\cdot 2 = 2400\\]\n\nPorównując:\n\n\\[f(3) = 8450 > f(4) = 8400 > f(7) = 7650 > f(14) = 2400\\]\n\n**Największa wartość to \\(f(3) = 8450\\). ✓**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - współrzędna wierzchołka paraboli:\n\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 do wyznaczenia argumentu, dla którego parabola osiąga maksimum. Ponieważ \\(a < 0\\), wierzchołek jest maksimum globalnym funkcji - a skoro leży w przedziale \\(\\langle 0, 14\\rangle\\), jest też maksimum na tym przedziale.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **B** - \\(f(4)\\) | Uczeń poprawnie zauważa, że wierzchołek jest gdzieś w okolicach 3-4, ale zaokrągla do 4 lub myli wzór na \\(p\\), np. stosuje \\(p = \\frac{b}{2a}\\) bez minusa |\n| **C** - \\(f(7)\\) | Uczeń szuka maximum \"w środku przedziału\" \\(\\langle 0, 14\\rangle\\), czyli w punkcie \\(\\frac{0 + 14}{2} = 7\\) - to błąd; środek przedziału nie musi być wierzchołkiem |\n| **D** - \\(f(14)\\) | Uczeń myśli, że skoro \\((500 + 50x)\\) rośnie, to i funkcja rośnie - ignoruje czynnik \\((16 - x)\\), który maleje |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij o znaku minus w wzorze \\(p = -\\dfrac{b}{2a}\\). To jeden z najczęstszych błędów - bez minusa dostajesz \\(x = -3\\), co nie leży w przedziale!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie musisz rozwijać iloczynu w Sposobie 2 - możesz od razu podstawić \\(x = 3, 4, 7, 14\\) do oryginalnego wzoru \\((500 + 50x)(16 - x)\\). To szybsze i mniej podatne na błędy rachunkowe.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj, czy wierzchołek leży w podanym przedziale. Gdyby \\(p\\) było np. \\(-1\\) (poza przedziałem), wtedy maksimum byłoby na końcu przedziału, w którym funkcja jest największa - a nie w wierzchołku!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Miejsca zerowe i wierzchołek (karta wzorów)\nMiejsca zerowe: \\(500 + 50x = 0 \\Rightarrow x = -10\\); \\(16 - x = 0 \\Rightarrow x = 16.\\)\nWspółczynnik przy \\(x^{2}\\) po rozwinięciu: \\(50\\cdot(-1) = -50 < 0\\) (parabola otwarta w dół).\nWierzchołek: \\(x_{W} = \\dfrac{-10 + 16}{2} = 3\\).\nDla \\(a < 0\\) największa wartość w wierzchołku. \\(3 \\in \\langle 0, 14\\rangle\\), więc max w \\(x = 3\\), czyli \\(f(3)\\).\n\n### Sposób 2 - Postać ogólna\n\\(f(x) = -50x^{2} + 800x - 500\\cdot(-1)\\cdot \\) Lepiej: \\(-\\dfrac{b}{2a}\\); po rozwinięciu \\(f(x) = -50x^{2} + 300x + 8000\\), więc \\(x_{W} = \\dfrac{-300}{-100} = 3\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(f(4)\\)** - nie jest to wierzchołek.\n- **C. \\(f(7)\\)** - to środek przedziału \\(\\langle 0,14\\rangle\\), nie wierzchołek.\n- **D. \\(f(14)\\)** - prawy kraniec, po przekroczeniu wierzchołka wartości maleją.\n\n**Trik:** dla iloczynu \\((a+bx)(c+dx)\\) wierzchołek to średnia miejsc zerowych.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-11.svg","topics":"Funkcja liniowa, funkcje","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 11. (0-1)<br>Funkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 1<br>2 𝑥-𝑘, gdzie 𝑘 jest liczbą rzeczywistą.<br>Miejsce zerowe funkcji 𝑓 jest liczbą większą od 2.<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Liczba 𝑘 należy do przedziału<br>A. (-∞, -1)<br>B. (-1, 0)<br>C. (0, 1)<br>D. (1, +∞)<br>Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = 1/2x-k, gdzie k jest liczbą rzeczywistą. Miejsce zerowe funkcji f jest liczbą większą od 2. Liczba k należy do przedziału A. (-∞,1) B. (-1,0) C. (0,1) D. (1,∞)</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 11. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>V.5) interpretuje współczynniki występujące<br>we wzorze funkcji liniowej.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-11.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(f(3)\\)</h4>\n<p>Największa wartość funkcji \\(f\\) w przedziale \\(\\langle 0, 14\\rangle\\) wynosi \\(f(3)\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - Wyznaczenie wierzchołka paraboli</h4>\n<p><strong>Rozwijamy wzór funkcji:</strong></p>\n<p>\\[f(x) = (500 + 50x)(16 - x)\\]<br>\\[= 500 \\cdot 16 - 500x + 50x \\cdot 16 - 50x^2\\]<br>\\[= 8000 - 500x + 800x - 50x^2\\]<br>\\[f(x) = -50x^2 + 300x + 8000\\]</p>\n<p>Mamy więc trójmian kwadratowy z \\(a = -50\\), \\(b = 300\\), \\(c = 8000\\).</p>\n<p><strong>Ponieważ \\(a = -50 &lt; 0\\), parabola jest skierowana ramionami w dół - funkcja osiąga maksimum w wierzchołku.</strong></p>\n<p>Odczytujemy współrzędną \\(x\\) wierzchołka:</p>\n<p>\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{300}{2 \\cdot (-50)} = -\\frac{300}{-100} = 3\\]</p>\n<p>Sprawdzamy: \\(x = 3 \\in \\langle 0, 14\\rangle\\) ✓</p>\n<p>Wierzchołek leży wewnątrz przedziału, więc <strong>maksimum funkcji na \\(\\langle 0, 14\\rangle\\) jest osiągane właśnie w punkcie \\(x = 3\\).</strong></p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(f(3)\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Bezpośrednie obliczenie wartości i weryfikacja</h4>\n<p>Sprawdzamy wszystkie podane punkty:</p>\n<p>\\[f(3) = (500 + 50 \\cdot 3)(16 - 3) = 650 \\cdot 13 = \\mathbf{8450}\\]<br>\\[f(4) = (500 + 50 \\cdot 4)(16 - 4) = 700 \\cdot 12 = 8400\\]<br>\\[f(7) = (500 + 50 \\cdot 7)(16 - 7) = 850 \\cdot 9 = 7650\\]<br>\\[f(14) = (500 + 50 \\cdot 14)(16 - 14) = 1200 \\cdot 2 = 2400\\]</p>\n<p>Porównując:</p>\n<p>\\[f(3) = 8450 &gt; f(4) = 8400 &gt; f(7) = 7650 &gt; f(14) = 2400\\]</p>\n<p><strong>Największa wartość to \\(f(3) = 8450\\). ✓</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - współrzędna wierzchołka paraboli:</p>\n<p>\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]</p>\n<p>Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 do wyznaczenia argumentu, dla którego parabola osiąga maksimum. Ponieważ \\(a &lt; 0\\), wierzchołek jest maksimum globalnym funkcji - a skoro leży w przedziale \\(\\langle 0, 14\\rangle\\), jest też maksimum na tym przedziale.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| <strong>B</strong> - \\(f(4)\\) | Uczeń poprawnie zauważa, że wierzchołek jest gdzieś w okolicach 3-4, ale zaokrągla do 4 lub myli wzór na \\(p\\), np. stosuje \\(p = \\frac{b}{2a}\\) bez minusa |<br>| <strong>C</strong> - \\(f(7)\\) | Uczeń szuka maximum &quot;w środku przedziału&quot; \\(\\langle 0, 14\\rangle\\), czyli w punkcie \\(\\frac{0 + 14}{2} = 7\\) - to błąd; środek przedziału nie musi być wierzchołkiem |<br>| <strong>D</strong> - \\(f(14)\\) | Uczeń myśli, że skoro \\((500 + 50x)\\) rośnie, to i funkcja rośnie - ignoruje czynnik \\((16 - x)\\), który maleje |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie zapomnij o znaku minus w wzorze \\(p = -\\dfrac{b}{2a}\\). To jeden z najczęstszych błędów - bez minusa dostajesz \\(x = -3\\), co nie leży w przedziale!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie musisz rozwijać iloczynu w Sposobie 2 - możesz od razu podstawić \\(x = 3, 4, 7, 14\\) do oryginalnego wzoru \\((500 + 50x)(16 - x)\\). To szybsze i mniej podatne na błędy rachunkowe.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zawsze sprawdzaj, czy wierzchołek leży w podanym przedziale. Gdyby \\(p\\) było np. \\(-1\\) (poza przedziałem), wtedy maksimum byłoby na końcu przedziału, w którym funkcja jest największa - a nie w wierzchołku!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Miejsca zerowe i wierzchołek (karta wzorów)</h5>\n<p>Miejsca zerowe: \\(500 + 50x = 0 \\Rightarrow x = -10\\); \\(16 - x = 0 \\Rightarrow x = 16.\\)<br>Współczynnik przy \\(x^{2}\\) po rozwinięciu: \\(50\\cdot(-1) = -50 &lt; 0\\) (parabola otwarta w dół).<br>Wierzchołek: \\(x_{W} = \\dfrac{-10 + 16}{2} = 3\\).<br>Dla \\(a &lt; 0\\) największa wartość w wierzchołku. \\(3 \\in \\langle 0, 14\\rangle\\), więc max w \\(x = 3\\), czyli \\(f(3)\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Postać ogólna</h5>\n<p>\\(f(x) = -50x^{2} + 800x - 500\\cdot(-1)\\cdot \\) Lepiej: \\(-\\dfrac{b}{2a}\\); po rozwinięciu \\(f(x) = -50x^{2} + 300x + 8000\\), więc \\(x_{W} = \\dfrac{-300}{-100} = 3\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(f(4)\\)</strong> - nie jest to wierzchołek.</li><li><strong>C. \\(f(7)\\)</strong> - to środek przedziału \\(\\langle 0,14\\rangle\\), nie wierzchołek.</li><li><strong>D. \\(f(14)\\)</strong> - prawy kraniec, po przekroczeniu wierzchołka wartości maleją.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> dla iloczynu \\((a+bx)(c+dx)\\) wierzchołek to średnia miejsc zerowych.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, miejsce zerowe wyznaczamy rozwiązując równanie: $\\displaystyle \\small 0=\\frac12x-k$, czyli $x=2k$. Wiemy, że miejsce zerowe jest większe od $2$, a więc $2k&gt;2$, czyli $k&gt;1$. Tę nierówność spełnia zbiór $(1,+\\infin)$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Funkcja liniowa jest określona wzorem:</p>\n<p>f(x)=(1)/(2)x-k</p>\n<p>Miejsce zerowe funkcji spełnia równanie:</p>\n<p>(1)/(2)x-k=0</p>\n<p>(1)/(2)x=k</p>\n<p>x=2k</p>\n<p>Z treści zadania wiemy, że miejsce zerowe jest większe od 2 , więc:</p>\n<p>2k&gt;2</p>\n<p>k&gt;1</p>\n<p>Odpowiedź: D. (1,+∞)</p>"}]}