{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nFunkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 5𝑥. W kartezjańskim układzie\nwspółrzędnych (𝑥, 𝑦) wykres funkcji 𝑓 przesunięto o jedną jednostkę w prawo wzdłuż\nosi 𝑂𝑥 i w wyniku tego przesunięcia otrzymano wykres funkcji liniowej 𝑔.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nFunkcja 𝑔 jest określona wzorem\nA. 𝑔(𝑥) = 5𝑥-5\nB. 𝑔(𝑥) = 5𝑥-1\nC. 𝑔(𝑥) = 5𝑥+ 1\nD. 𝑔(𝑥) = 5𝑥+ 5\n\nMMAP-P0_100\nFunkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=5x. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykres funkcji f przesunięto o jedną jednostkę w prawo wzdłuż osi Ox i w wyniku tego przesunięcia otrzymano wykres funkcji liniowej g. Funkcja g jest określona wzorem A. g(x)=5x-5 B. g(x)=5x-1 C. g(x)=5x+1 D. g(x)=5x+5","answer":"A","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nV.6) wyznacza wzór funkcji liniowej na\npodstawie informacji o jej wykresie lub o jej\nwłasnościach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{1}{16}\\)\n\n## Sposób 1 - Zamiana podstawy na potęgę 2\n\nKluczowa obserwacja: \\(64 = 2^6\\), więc możemy przepisać funkcję i skorzystać z reguły potęgowania potęgi.\n\n\\[f\\!\\left(-\\tfrac{2}{3}\\right) = 64^{-\\frac{2}{3}}\\]\n\nZamieniamy \\(64 = 2^6\\):\n\n\\[= \\left(2^6\\right)^{-\\frac{2}{3}}\\]\n\nKorzystamy z reguły \\((a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\):\n\n\\[= 2^{6 \\cdot \\left(-\\frac{2}{3}\\right)} = 2^{-4}\\]\n\nUjemny wykładnik oznacza odwrotność:\n\n\\[= \\frac{1}{2^4} = \\frac{1}{16}\\]\n\n**Wynik: \\(\\dfrac{1}{16}\\)**\n\n## Sposób 2 - Rozbicie na pierwiastek i potęgę\n\nWykładnik \\(-\\dfrac{2}{3}\\) możemy rozbić jako: pierwiastek trzeciego stopnia (mianownik) oraz potęga 2 (licznik), ze znakiem minus (odwrotność).\n\n\\[64^{-\\frac{2}{3}} = \\frac{1}{64^{\\frac{2}{3}}}\\]\n\nTeraz liczymy \\(64^{\\frac{2}{3}} = \\left(\\sqrt[3]{64}\\right)^2\\):\n\n\\[\\sqrt[3]{64} = 4, \\quad \\text{bo } 4^3 = 64\\]\n\n\\[\\left(\\sqrt[3]{64}\\right)^2 = 4^2 = 16\\]\n\nZatem:\n\n\\[64^{-\\frac{2}{3}} = \\frac{1}{16}\\]\n\n**Wynik: \\(\\dfrac{1}{16}\\) ✓**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\nWykładnik ujemny:\n\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]\nUżyto przy zamianie \\(2^{-4}\\) na \\(\\dfrac{1}{16}\\).\n\nPotęgowanie potęgi:\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\nUżyto w Sposobie 1 do obliczenia \\(\\left(2^6\\right)^{-\\frac{2}{3}}\\).\n\nWykładnik wymierny:\n\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}\\]\nUżyto w Sposobie 2 do rozbicia \\(64^{\\frac{2}{3}}\\) na \\(\\left(\\sqrt[3]{64}\\right)^2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(\\dfrac{1}{512}\\) | Obliczono \\(64^{-\\frac{3}{2}}\\) zamiast \\(64^{-\\frac{2}{3}}\\) - zamieniono licznik z mianownikiem wykładnika. Lub: policzono \\(\\frac{1}{8^3} = \\frac{1}{512}\\), biorąc \\(\\sqrt[3]{64}=4\\) ale podnosząc do złej potęgi |\n| C - \\(16\\) | Policzono poprawnie \\(64^{\\frac{2}{3}} = 16\\), ale zapomniano o znaku minus - pominięto odwrotność |\n| D - \\(512\\) | Potraktowano \\(64^{-\\frac{2}{3}}\\) jako \\(64 \\cdot \\frac{2}{3} \\cdot (-1)\\) albo obliczono \\(8^3 = 512\\) bez związku z zadaniem |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wykładnik \\(-\\dfrac{2}{3}\\) to **nie minus dwa trzecie**, to ułamek - licznik 2 to potęga, mianownik 3 to stopień pierwiastka, a minus daje odwrotność. Kolejność działań: najpierw pierwiastek, potem potęga, potem odwrotność.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zamiana licznika z mianownikiem - zamiast \\(\\sqrt[3]{64}^2\\) uczeń liczy \\(\\sqrt[2]{64}^3\\), co daje \\(8^3 = 512\\) lub \\(\\frac{1}{512}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Znak minus przy wykładniku NIE oznacza ujemnego wyniku! \\(64^{-\\frac{2}{3}}\\) to dodatnia liczba \\(\\dfrac{1}{16}\\). Ujemna potęga to zawsze odwrotność, nigdy minus.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Własności potęg (karta wzorów)\n\\(64 = 2^{6}\\). Zatem \\(64^{-2/3} = (2^{6})^{-2/3} = 2^{-4} = \\dfrac{1}{16}.\\)\n\n### Sposób 2 - Pierwiastek i odwrotność\n\\(64^{-2/3} = \\dfrac{1}{64^{2/3}} = \\dfrac{1}{\\sqrt[3]{64^{2}}} = \\dfrac{1}{\\sqrt[3]{4096}} = \\dfrac{1}{16}.\\) Lub \\(\\dfrac{1}{(\\sqrt[3]{64})^{2}} = \\dfrac{1}{4^{2}} = \\dfrac{1}{16}.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\dfrac{1}{512}\\)** - błędne \\(64^{-3/2}\\).\n- **C. \\(16\\)** - pominięto minus w wykładniku.\n- **D. \\(512\\)** - \\(8^{3}\\), nie związane z zadaniem.\n\n**Trik:** \\(a^{-m/n} = \\dfrac{1}{\\sqrt[n]{a^{m}}}\\); rozłóż podstawę na potęgę.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-12.svg","topics":"Funkcja liniowa, funkcje","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 12. (0-1)<br>Funkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 5𝑥. W kartezjańskim układzie<br>współrzędnych (𝑥, 𝑦) wykres funkcji 𝑓 przesunięto o jedną jednostkę w prawo wzdłuż<br>osi 𝑂𝑥 i w wyniku tego przesunięcia otrzymano wykres funkcji liniowej 𝑔.<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Funkcja 𝑔 jest określona wzorem<br>A. 𝑔(𝑥) = 5𝑥-5<br>B. 𝑔(𝑥) = 5𝑥-1<br>C. 𝑔(𝑥) = 5𝑥+ 1<br>D. 𝑔(𝑥) = 5𝑥+ 5</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=5x. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykres funkcji f przesunięto o jedną jednostkę w prawo wzdłuż osi Ox i w wyniku tego przesunięcia otrzymano wykres funkcji liniowej g. Funkcja g jest określona wzorem A. g(x)=5x-5 B. g(x)=5x-1 C. g(x)=5x+1 D. g(x)=5x+5</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 12. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>V.6) wyznacza wzór funkcji liniowej na<br>podstawie informacji o jej wykresie lub o jej<br>własnościach.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-12.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{1}{16}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Zamiana podstawy na potęgę 2</h4>\n<p>Kluczowa obserwacja: \\(64 = 2^6\\), więc możemy przepisać funkcję i skorzystać z reguły potęgowania potęgi.</p>\n<p>\\[f\\!\\left(-\\tfrac{2}{3}\\right) = 64^{-\\frac{2}{3}}\\]</p>\n<p>Zamieniamy \\(64 = 2^6\\):</p>\n<p>\\[= \\left(2^6\\right)^{-\\frac{2}{3}}\\]</p>\n<p>Korzystamy z reguły \\((a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\):</p>\n<p>\\[= 2^{6 \\cdot \\left(-\\frac{2}{3}\\right)} = 2^{-4}\\]</p>\n<p>Ujemny wykładnik oznacza odwrotność:</p>\n<p>\\[= \\frac{1}{2^4} = \\frac{1}{16}\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(\\dfrac{1}{16}\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Rozbicie na pierwiastek i potęgę</h4>\n<p>Wykładnik \\(-\\dfrac{2}{3}\\) możemy rozbić jako: pierwiastek trzeciego stopnia (mianownik) oraz potęga 2 (licznik), ze znakiem minus (odwrotność).</p>\n<p>\\[64^{-\\frac{2}{3}} = \\frac{1}{64^{\\frac{2}{3}}}\\]</p>\n<p>Teraz liczymy \\(64^{\\frac{2}{3}} = \\left(\\sqrt[3]{64}\\right)^2\\):</p>\n<p>\\[\\sqrt[3]{64} = 4, \\quad \\text{bo } 4^3 = 64\\]</p>\n<p>\\[\\left(\\sqrt[3]{64}\\right)^2 = 4^2 = 16\\]</p>\n<p>Zatem:</p>\n<p>\\[64^{-\\frac{2}{3}} = \\frac{1}{16}\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(\\dfrac{1}{16}\\) ✓</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)</strong></p>\n<p>Wykładnik ujemny:<br>\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]<br>Użyto przy zamianie \\(2^{-4}\\) na \\(\\dfrac{1}{16}\\).</p>\n<p>Potęgowanie potęgi:<br>\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]<br>Użyto w Sposobie 1 do obliczenia \\(\\left(2^6\\right)^{-\\frac{2}{3}}\\).</p>\n<p>Wykładnik wymierny:<br>\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}\\]<br>Użyto w Sposobie 2 do rozbicia \\(64^{\\frac{2}{3}}\\) na \\(\\left(\\sqrt[3]{64}\\right)^2\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A - \\(\\dfrac{1}{512}\\) | Obliczono \\(64^{-\\frac{3}{2}}\\) zamiast \\(64^{-\\frac{2}{3}}\\) - zamieniono licznik z mianownikiem wykładnika. Lub: policzono \\(\\frac{1}{8^3} = \\frac{1}{512}\\), biorąc \\(\\sqrt[3]{64}=4\\) ale podnosząc do złej potęgi |<br>| C - \\(16\\) | Policzono poprawnie \\(64^{\\frac{2}{3}} = 16\\), ale zapomniano o znaku minus - pominięto odwrotność |<br>| D - \\(512\\) | Potraktowano \\(64^{-\\frac{2}{3}}\\) jako \\(64 \\cdot \\frac{2}{3} \\cdot (-1)\\) albo obliczono \\(8^3 = 512\\) bez związku z zadaniem |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wykładnik \\(-\\dfrac{2}{3}\\) to <strong>nie minus dwa trzecie</strong>, to ułamek - licznik 2 to potęga, mianownik 3 to stopień pierwiastka, a minus daje odwrotność. Kolejność działań: najpierw pierwiastek, potem potęga, potem odwrotność.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to zamiana licznika z mianownikiem - zamiast \\(\\sqrt[3]{64}^2\\) uczeń liczy \\(\\sqrt[2]{64}^3\\), co daje \\(8^3 = 512\\) lub \\(\\frac{1}{512}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Znak minus przy wykładniku NIE oznacza ujemnego wyniku! \\(64^{-\\frac{2}{3}}\\) to dodatnia liczba \\(\\dfrac{1}{16}\\). Ujemna potęga to zawsze odwrotność, nigdy minus.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Własności potęg (karta wzorów)</h5>\n<p>\\(64 = 2^{6}\\). Zatem \\(64^{-2/3} = (2^{6})^{-2/3} = 2^{-4} = \\dfrac{1}{16}.\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Pierwiastek i odwrotność</h5>\n<p>\\(64^{-2/3} = \\dfrac{1}{64^{2/3}} = \\dfrac{1}{\\sqrt[3]{64^{2}}} = \\dfrac{1}{\\sqrt[3]{4096}} = \\dfrac{1}{16}.\\) Lub \\(\\dfrac{1}{(\\sqrt[3]{64})^{2}} = \\dfrac{1}{4^{2}} = \\dfrac{1}{16}.\\)</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(\\dfrac{1}{512}\\)</strong> - błędne \\(64^{-3/2}\\).</li><li><strong>C. \\(16\\)</strong> - pominięto minus w wykładniku.</li><li><strong>D. \\(512\\)</strong> - \\(8^{3}\\), nie związane z zadaniem.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(a^{-m/n} = \\dfrac{1}{\\sqrt[n]{a^{m}}}\\); rozłóż podstawę na potęgę.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, przesunięcie wykresu funkcji $f(x) = 5x$ o jedną jednostkę w prawo oznacza, że musimy zastąpić $x$ przez $x - 1$. W rezultacie otrzymujemy $g(x) = 5(x - 1) = 5x - 5$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Funkcja f jest określona wzorem:</p>\n<p>f(x)=5x</p>\n<p>Przesunięcie wykresu o jedną jednostkę w prawo oznacza, że w miejsce x podstawiamy x-1 :</p>\n<p>g(x)=f(x-1)</p>\n<p>g(x)=5(x-1)</p>\n<p>g(x)=5x-5</p>\n<p>Odpowiedź: A. g(x)=5x-5</p>"}]}