{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"13","points":3,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-3)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) wykres funkcji kwadratowej 𝑓 przechodzi\nprzez punkt (2, 15). Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu 𝑥= -1.\nJednym z miejsc zerowych funkcji 𝑓 jest liczba 1.\nWyznacz wzór funkcji 𝒇 w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykres funkcji kwadratowej f przechodzi przez punkt (2,15). Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu x=-1. Jednym z miejsc zerowych funkcji f jest liczba 1. Wyznacz wzór funkcji f w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 13. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nV.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na\npodstawie informacji o tej funkcji lub o jej\nwykresie.\nZasady oceniania\n3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑓(𝑥) = 3(𝑥+ 1)2 -12.\n2 pkt - obliczenie współczynnika 𝑎: 𝑎= 3\nALBO\n- obliczenie współczynnika 𝑞: 𝑞= -12.\n1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 1)2 + 𝑞\nALBO\n- zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥+ 3),\nALBO\n- zapisanie układu trzech niezależnych równań z trzema niewiadomymi 𝑎, 𝑏, 𝑐\nprowadzącego do obliczenia wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐, np.:\n4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐= 15 oraz -𝑏\n2𝑎= -1 oraz 𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nWykres funkcji 𝑓 jest symetryczny względem prostej o równaniu 𝑥= -1, zatem drugie\nmiejsce zerowe funkcji 𝑓 jest równe 𝑥2 = -3.\nKorzystamy ze wzoru na postać iloczynową funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥+ 3), gdzie 𝑎≠0\nPunkt (2, 15) leży na wykresie funkcji 𝑓, zatem dla argumentu 2 funkcja 𝑓 przyjmuje\nwartość 15. Stąd otrzymujemy:\n𝑓(2) = 15\n𝑎(2 -1)(2 + 3) = 15\n5𝑎= 15\n𝑎= 3\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci iloczynowej:\n𝑓(𝑥) = 3(𝑥-1)(𝑥+ 3)\nPrzekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci kanonicznej:\n𝑓(𝑥) = 3(𝑥-1)(𝑥+ 3) = 3(𝑥2 + 2𝑥-3) = 3(𝑥2 + 2𝑥+ 1 -4) =\n= 3[(𝑥+ 1)2 -4] = 3(𝑥+ 1)2 -12\nUwaga.\nPostać kanoniczną funkcji 𝑓 możemy też uzyskać, obliczając współrzędne wierzchołka\nparaboli będącej wykresem tej funkcji. Ponieważ osią symetrii tej paraboli jest prosta\no równaniu 𝑥= -1, więc pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli jest równa 𝑝= -1.\nDruga współrzędna wierzchołka paraboli jest równa\n𝑞= 𝑓(-1) = 3(-1 -1)(-1 + 3) = -12\nStąd otrzymujemy postać kanoniczną funkcji 𝑓: 𝑓(𝑥) = 3(𝑥+ 1)2 -12.\nSposób II\nPonieważ osią symetrii wykresu funkcji 𝑓 jest prosta o równaniu 𝑥= -1, więc pierwszą\nwspółrzędną wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji, jest 𝑝= -1.\nKorzystamy ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 1)2 + 𝑞, gdzie 𝑎≠0\nMiejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba 1, zatem punkt (1, 0) leży na wykresie tej funkcji.\nStąd i z tego, że wykres funkcji 𝑓 przechodzi przez punkt (2, 15), otrzymujemy układ\nrównań:\n{ 𝑓(1) = 0\n𝑓(2) = 15\n{ 𝑎(1 + 1)2 + 𝑞= 0\n𝑎(2 + 1)2 + 𝑞= 15\n{ 4𝑎+ 𝑞= 0\n9𝑎+ 𝑞= 15\nOdejmujemy równania stronami i otrzymujemy:\n-5𝑎= -15\n𝑎= 3\nStąd:\n𝑞= -4𝑎= -12\nZatem 𝑓(𝑥) = 3(𝑥+ 1)2 -12.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III\nKorzystamy ze wzoru na postać ogólną funkcji kwadratowej i zapisujemy:\n𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐, gdzie 𝑎≠0\nPonieważ osią symetrii wykresu funkcji 𝑓 jest prosta o równaniu 𝑥= -1, więc pierwszą\nwspółrzędną wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji, jest 𝑝= -1.\nStąd:\n-𝑏\n2𝑎= -1\n𝑏= 2𝑎\nMiejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba 1, zatem:\n𝑓(1) = 0\n𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0\nPodstawiamy do równania w miejsce 𝑏 wyrażenie 2𝑎 i otrzymujemy:\n𝑎+ 2𝑎+ 𝑐= 0\n𝑐= -3𝑎\nPunkt (2, 15) leży na wykresie funkcji 𝑓, zatem dla argumentu 2 funkcja 𝑓 przyjmuje\nwartość 15. Stąd otrzymujemy:\n𝑓(2) = 15\n4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐= 15\nPodstawiamy do równania w miejsce 𝑏 wyrażenie 2𝑎, natomiast w miejsce 𝑐 podstawiamy\nwyrażenie (-3𝑎) i otrzymujemy:\n4𝑎+ 2 ⋅(2𝑎) -3𝑎= 15\n5𝑎= 15\n𝑎= 3\nZatem:\n𝑏= 2𝑎= 6 oraz 𝑐= -3𝑎= -9\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej:\n𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥-9\nPrzekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci kanonicznej:\n𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥-9 = 3(𝑥2 + 2𝑥-3) = 3(𝑥2 + 2𝑥+ 1 -4) =\n= 3[(𝑥+ 1)2 -4] = 3(𝑥+ 1)2 -12","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(S_3 = 24\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie wprost\n\nObliczamy trzy pierwsze wyrazy ciągu, podstawiając \\(n = 1, 2, 3\\) do wzoru \\(a_n = 3n^2 - 3n\\).\n\n**Wyraz \\(a_1\\):**\n\\[a_1 = 3 \\cdot 1^2 - 3 \\cdot 1 = 3 - 3 = 0\\]\n\n**Wyraz \\(a_2\\):**\n\\[a_2 = 3 \\cdot 2^2 - 3 \\cdot 2 = 3 \\cdot 4 - 6 = 12 - 6 = 6\\]\n\n**Wyraz \\(a_3\\):**\n\\[a_3 = 3 \\cdot 3^2 - 3 \\cdot 3 = 3 \\cdot 9 - 9 = 27 - 9 = 18\\]\n\n**Suma trzech pierwszych wyrazów:**\n\\[S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = 0 + 6 + 18 = \\mathbf{24}\\]\n\n## Sposób 2 - Wyłączenie wspólnego czynnika i sumowanie algebraiczne\n\nMożemy zapisać wzór ogólny w postaci iloczynowej, co ułatwia rozumienie struktury ciągu:\n\n\\[a_n = 3n^2 - 3n = 3n(n-1)\\]\n\nZatem:\n\\[S_3 = 3 \\cdot 1 \\cdot 0 + 3 \\cdot 2 \\cdot 1 + 3 \\cdot 3 \\cdot 2 = 0 + 6 + 18 = \\mathbf{24}\\]\n\nPostać \\(3n(n-1)\\) jest też przydatna interpretacyjnie - wyraz \\(a_n\\) jest zawsze trzykrotnością iloczynu dwóch kolejnych liczb naturalnych, więc \\(a_1 = 0\\) wynika stąd, że \\(1 \\cdot 0 = 0\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawienie wartości \\(n = 1, 2, 3\\) do podanego wzoru i dodawanie wyników.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(18\\) | Pominięcie wyrazu \\(a_1 = 0\\) i zsumowanie tylko \\(a_2 + a_3 = 6 + 18\\)? Nie, to daje 24. Częściej: policzenie tylko \\(a_3 = 18\\) i wzięcie tego jako \"suma\" |\n| C. \\(60\\) | Pomylenie wzoru - np. użycie \\(a_n = 3n^2 + 3n\\) zamiast \\(3n^2 - 3n\\): daje \\(6 + 18 + 36 = 60\\) |\n| D. \\(90\\) | Obliczenie \\(S_3 = a_1 + a_2 + a_3\\) przy błędnym \\(n = 1, 2, 3\\) jako \\(3 \\cdot 1^3 = 3\\), \\(3 \\cdot 2^3 = 24\\), \\(3 \\cdot 3^3 = 81\\) lub pomylenie potęgi - użycie \\(a_n = 3n^3 - 3n\\) daje \\(0 + 18 + 72 = 90\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ciąg zaczyna się od \\(n \\geq 1\\), więc \\(a_1\\) to **pierwszy wyraz** - nie \\(a_0\\). Sprawdź zawsze, od jakiego \\(n\\) zdefiniowany jest ciąg!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(a_1 = 0\\) - zerowy pierwszy wyraz to **nie błąd**, to poprawna wartość. Nie pomijaj go przy liczeniu sumy!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy podstawianiu \\(n = 2\\): \\(3 \\cdot 2^2 = 3 \\cdot 4 = 12\\), a **nie** \\(6^2 = 36\\). Potęgowanie ma wyższy priorytet niż mnożenie - najpierw podnosimy do potęgi, potem mnożymy przez 3.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Obliczenie wyrazów\n\\(a_{1} = 3\\cdot 1 - 3\\cdot 1 = 0.\\)\n\\(a_{2} = 3\\cdot 4 - 3\\cdot 2 = 12 - 6 = 6.\\)\n\\(a_{3} = 3\\cdot 9 - 3\\cdot 3 = 27 - 9 = 18.\\)\n\\(S_{3} = 0 + 6 + 18 = 24.\\)\n\n### Sposób 2 - Faktoryzacja\n\\(a_{n} = 3n(n-1)\\). Zatem \\(a_{1}=0\\), \\(a_{2}=3\\cdot 2\\cdot 1=6\\), \\(a_{3}=3\\cdot 3\\cdot 2=18\\). Suma \\(= 24\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(18\\)** - to wartość \\(a_{3}\\), nie suma.\n- **C. \\(60\\)** - być może pomylono \\(a_{n} = 3n^{2} + 3n\\).\n- **D. \\(90\\)** - to suma \\(S_{4}\\).\n\n**Trik:** oblicz po kolei \\(a_{1}, a_{2}, a_{3}\\) i dodaj; \\(a_{1}\\) często wynosi \\(0\\).","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-13.svg","topics":"Funkcja kwadratowa, funkcje","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 13. (0-3)<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) wykres funkcji kwadratowej 𝑓 przechodzi<br>przez punkt (2, 15). Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu 𝑥= -1.<br>Jednym z miejsc zerowych funkcji 𝑓 jest liczba 1.<br>Wyznacz wzór funkcji 𝒇 w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykres funkcji kwadratowej f przechodzi przez punkt (2,15). Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu x=-1. Jednym z miejsc zerowych funkcji f jest liczba 1. Wyznacz wzór funkcji f w postaci kanonicznej. Zapisz obliczenia.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 13. (0-3)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>V.9) wyznacza wzór funkcji kwadratowej na<br>podstawie informacji o tej funkcji lub o jej<br>wykresie.<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑓(𝑥) = 3(𝑥+ 1)2 -12.<br>2 pkt - obliczenie współczynnika 𝑎: 𝑎= 3<br>ALBO</p>\n<ul><li>obliczenie współczynnika 𝑞: 𝑞= -12.</li></ul>\n<p>1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 1)2 + 𝑞<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥+ 3),</li></ul>\n<p>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie układu trzech niezależnych równań z trzema niewiadomymi 𝑎, 𝑏, 𝑐</li></ul>\n<p>prowadzącego do obliczenia wartości współczynników 𝑎, 𝑏 oraz 𝑐, np.:<br>4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐= 15 oraz -𝑏<br>2𝑎= -1 oraz 𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Wykres funkcji 𝑓 jest symetryczny względem prostej o równaniu 𝑥= -1, zatem drugie<br>miejsce zerowe funkcji 𝑓 jest równe 𝑥2 = -3.<br>Korzystamy ze wzoru na postać iloczynową funkcji kwadratowej i zapisujemy:<br>𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-1)(𝑥+ 3), gdzie 𝑎≠0<br>Punkt (2, 15) leży na wykresie funkcji 𝑓, zatem dla argumentu 2 funkcja 𝑓 przyjmuje<br>wartość 15. Stąd otrzymujemy:<br>𝑓(2) = 15<br>𝑎(2 -1)(2 + 3) = 15<br>5𝑎= 15<br>𝑎= 3<br>Zapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci iloczynowej:<br>𝑓(𝑥) = 3(𝑥-1)(𝑥+ 3)<br>Przekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci kanonicznej:<br>𝑓(𝑥) = 3(𝑥-1)(𝑥+ 3) = 3(𝑥2 + 2𝑥-3) = 3(𝑥2 + 2𝑥+ 1 -4) =<br>= 3[(𝑥+ 1)2 -4] = 3(𝑥+ 1)2 -12<br>Uwaga.<br>Postać kanoniczną funkcji 𝑓 możemy też uzyskać, obliczając współrzędne wierzchołka<br>paraboli będącej wykresem tej funkcji. Ponieważ osią symetrii tej paraboli jest prosta<br>o równaniu 𝑥= -1, więc pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli jest równa 𝑝= -1.<br>Druga współrzędna wierzchołka paraboli jest równa<br>𝑞= 𝑓(-1) = 3(-1 -1)(-1 + 3) = -12<br>Stąd otrzymujemy postać kanoniczną funkcji 𝑓: 𝑓(𝑥) = 3(𝑥+ 1)2 -12.<br>Sposób II<br>Ponieważ osią symetrii wykresu funkcji 𝑓 jest prosta o równaniu 𝑥= -1, więc pierwszą<br>współrzędną wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji, jest 𝑝= -1.<br>Korzystamy ze wzoru na postać kanoniczną funkcji kwadratowej i zapisujemy:<br>𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥+ 1)2 + 𝑞, gdzie 𝑎≠0<br>Miejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba 1, zatem punkt (1, 0) leży na wykresie tej funkcji.<br>Stąd i z tego, że wykres funkcji 𝑓 przechodzi przez punkt (2, 15), otrzymujemy układ<br>równań:<br>{ 𝑓(1) = 0<br>𝑓(2) = 15<br>{ 𝑎(1 + 1)2 + 𝑞= 0<br>𝑎(2 + 1)2 + 𝑞= 15<br>{ 4𝑎+ 𝑞= 0<br>9𝑎+ 𝑞= 15<br>Odejmujemy równania stronami i otrzymujemy:<br>-5𝑎= -15<br>𝑎= 3<br>Stąd:<br>𝑞= -4𝑎= -12<br>Zatem 𝑓(𝑥) = 3(𝑥+ 1)2 -12.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Sposób III<br>Korzystamy ze wzoru na postać ogólną funkcji kwadratowej i zapisujemy:<br>𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐, gdzie 𝑎≠0<br>Ponieważ osią symetrii wykresu funkcji 𝑓 jest prosta o równaniu 𝑥= -1, więc pierwszą<br>współrzędną wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji, jest 𝑝= -1.<br>Stąd:<br>-𝑏<br>2𝑎= -1<br>𝑏= 2𝑎<br>Miejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba 1, zatem:<br>𝑓(1) = 0<br>𝑎+ 𝑏+ 𝑐= 0<br>Podstawiamy do równania w miejsce 𝑏 wyrażenie 2𝑎 i otrzymujemy:<br>𝑎+ 2𝑎+ 𝑐= 0<br>𝑐= -3𝑎<br>Punkt (2, 15) leży na wykresie funkcji 𝑓, zatem dla argumentu 2 funkcja 𝑓 przyjmuje<br>wartość 15. Stąd otrzymujemy:<br>𝑓(2) = 15<br>4𝑎+ 2𝑏+ 𝑐= 15<br>Podstawiamy do równania w miejsce 𝑏 wyrażenie 2𝑎, natomiast w miejsce 𝑐 podstawiamy<br>wyrażenie (-3𝑎) i otrzymujemy:<br>4𝑎+ 2 ⋅(2𝑎) -3𝑎= 15<br>5𝑎= 15<br>𝑎= 3<br>Zatem:<br>𝑏= 2𝑎= 6 oraz 𝑐= -3𝑎= -9<br>Zapisujemy wzór funkcji 𝑓 w postaci ogólnej:<br>𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥-9<br>Przekształcamy wzór funkcji 𝑓 do postaci kanonicznej:<br>𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 6𝑥-9 = 3(𝑥2 + 2𝑥-3) = 3(𝑥2 + 2𝑥+ 1 -4) =<br>= 3[(𝑥+ 1)2 -4] = 3(𝑥+ 1)2 -12</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-13.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(S_3 = 24\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Podstawienie wprost</h4>\n<p>Obliczamy trzy pierwsze wyrazy ciągu, podstawiając \\(n = 1, 2, 3\\) do wzoru \\(a_n = 3n^2 - 3n\\).</p>\n<p><strong>Wyraz \\(a_1\\):</strong><br>\\[a_1 = 3 \\cdot 1^2 - 3 \\cdot 1 = 3 - 3 = 0\\]</p>\n<p><strong>Wyraz \\(a_2\\):</strong><br>\\[a_2 = 3 \\cdot 2^2 - 3 \\cdot 2 = 3 \\cdot 4 - 6 = 12 - 6 = 6\\]</p>\n<p><strong>Wyraz \\(a_3\\):</strong><br>\\[a_3 = 3 \\cdot 3^2 - 3 \\cdot 3 = 3 \\cdot 9 - 9 = 27 - 9 = 18\\]</p>\n<p><strong>Suma trzech pierwszych wyrazów:</strong><br>\\[S_3 = a_1 + a_2 + a_3 = 0 + 6 + 18 = \\mathbf{24}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Wyłączenie wspólnego czynnika i sumowanie algebraiczne</h4>\n<p>Możemy zapisać wzór ogólny w postaci iloczynowej, co ułatwia rozumienie struktury ciągu:</p>\n<p>\\[a_n = 3n^2 - 3n = 3n(n-1)\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\[S_3 = 3 \\cdot 1 \\cdot 0 + 3 \\cdot 2 \\cdot 1 + 3 \\cdot 3 \\cdot 2 = 0 + 6 + 18 = \\mathbf{24}\\]</p>\n<p>Postać \\(3n(n-1)\\) jest też przydatna interpretacyjnie - wyraz \\(a_n\\) jest zawsze trzykrotnością iloczynu dwóch kolejnych liczb naturalnych, więc \\(a_1 = 0\\) wynika stąd, że \\(1 \\cdot 0 = 0\\).</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawienie wartości \\(n = 1, 2, 3\\) do podanego wzoru i dodawanie wyników.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A. \\(18\\) | Pominięcie wyrazu \\(a_1 = 0\\) i zsumowanie tylko \\(a_2 + a_3 = 6 + 18\\)? Nie, to daje 24. Częściej: policzenie tylko \\(a_3 = 18\\) i wzięcie tego jako &quot;suma&quot; |<br>| C. \\(60\\) | Pomylenie wzoru - np. użycie \\(a_n = 3n^2 + 3n\\) zamiast \\(3n^2 - 3n\\): daje \\(6 + 18 + 36 = 60\\) |<br>| D. \\(90\\) | Obliczenie \\(S_3 = a_1 + a_2 + a_3\\) przy błędnym \\(n = 1, 2, 3\\) jako \\(3 \\cdot 1^3 = 3\\), \\(3 \\cdot 2^3 = 24\\), \\(3 \\cdot 3^3 = 81\\) lub pomylenie potęgi - użycie \\(a_n = 3n^3 - 3n\\) daje \\(0 + 18 + 72 = 90\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Ciąg zaczyna się od \\(n \\geq 1\\), więc \\(a_1\\) to <strong>pierwszy wyraz</strong> - nie \\(a_0\\). Sprawdź zawsze, od jakiego \\(n\\) zdefiniowany jest ciąg!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(a_1 = 0\\) - zerowy pierwszy wyraz to <strong>nie błąd</strong>, to poprawna wartość. Nie pomijaj go przy liczeniu sumy!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy podstawianiu \\(n = 2\\): \\(3 \\cdot 2^2 = 3 \\cdot 4 = 12\\), a <strong>nie</strong> \\(6^2 = 36\\). Potęgowanie ma wyższy priorytet niż mnożenie - najpierw podnosimy do potęgi, potem mnożymy przez 3.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Obliczenie wyrazów</h5>\n<p>\\(a_{1} = 3\\cdot 1 - 3\\cdot 1 = 0.\\)<br>\\(a_{2} = 3\\cdot 4 - 3\\cdot 2 = 12 - 6 = 6.\\)<br>\\(a_{3} = 3\\cdot 9 - 3\\cdot 3 = 27 - 9 = 18.\\)<br>\\(S_{3} = 0 + 6 + 18 = 24.\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Faktoryzacja</h5>\n<p>\\(a_{n} = 3n(n-1)\\). Zatem \\(a_{1}=0\\), \\(a_{2}=3\\cdot 2\\cdot 1=6\\), \\(a_{3}=3\\cdot 3\\cdot 2=18\\). Suma \\(= 24\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(18\\)</strong> - to wartość \\(a_{3}\\), nie suma.</li><li><strong>C. \\(60\\)</strong> - być może pomylono \\(a_{n} = 3n^{2} + 3n\\).</li><li><strong>D. \\(90\\)</strong> - to suma \\(S_{4}\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> oblicz po kolei \\(a_{1}, a_{2}, a_{3}\\) i dodaj; \\(a_{1}\\) często wynosi \\(0\\).</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej jest prosta:</p>\n<p>x=-1</p>\n<p>Jednym z miejsc zerowych jest liczba 1 . Drugie miejsce zerowe leży symetrycznie względem osi x=-1 .</p>\n<p>Odległość liczby 1 od -1 wynosi 2 , więc drugie miejsce zerowe to:</p>\n<p>-1-2=-3</p>\n<p>Funkcję możemy zapisać w postaci iloczynowej:</p>\n<p>f(x)=a(x-1)(x+3)</p>\n<p>Wykres przechodzi przez punkt (2,15) , więc podstawiamy x=2 oraz f(2)=15 :</p>\n<p>15=a(2-1)(2+3)</p>\n<p>15=5a</p>\n<p>a=3</p>\n<p>Zatem:</p>\n<p>f(x)=3(x-1)(x+3)</p>\n<p>Wierzchołek ma współrzędną x=-1 . Obliczamy jego drugą współrzędną:</p>\n<p>f(-1)=3(-1-1)(-1+3)</p>\n<p>f(-1)=3·(-2)·2=-12</p>\n<p>Wierzchołek ma więc współrzędne (-1,-12) , a postać kanoniczna to:</p>\n<p>f(x)=3(x+1)^2-12</p>\n<p>Odpowiedź: f(x)=3(x+1)^2-12</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$f(x) = 3(x + 1)^2 - 12$</p>"}]}