{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"14","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14.\nCiąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 3𝑛2 -3𝑛 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nCiąg (a_n) jest określony wzorem a_n = 3n² - 3n dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Suma S_3 trzech początkowych kolejnych wyrazów ciągu (a_n) jest równa A. 18 B. 24 C. 60 D. 90","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(m = 2\\)\n\n## Sposób 1 - Warunek stałego ilorazu\n\nW ciągu geometrycznym iloraz między kolejnymi wyrazami musi być **taki sam**. Oznacza to:\n\n\\[\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{a_3}{a_2}\\]\n\nPodstawiamy wyrazy \\((4,\\, m,\\, m-1)\\):\n\n\\[\\frac{m}{4} = \\frac{m-1}{m}\\]\n\nMnożymy obustronnie przez \\(4m\\) (przy założeniu \\(m \\neq 0\\)):\n\n\\[m^2 = 4(m-1)\\]\n\n\\[m^2 = 4m - 4\\]\n\n\\[m^2 - 4m + 4 = 0\\]\n\n\\[(m-2)^2 = 0\\]\n\n\\[\\boxed{m = 2}\\]\n\n**Sprawdzenie:** ciąg \\((4, 2, 1)\\) - iloraz \\(q = \\frac{2}{4} = \\frac{1}{2}\\) oraz \\(\\frac{1}{2} = \\frac{1}{2}\\) ✓\n\n## Sposób 2 - Własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego\n\nZ karty wzorów: w ciągu geometrycznym środkowy wyraz spełnia:\n\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]\n\nDla naszego ciągu \\(a_2 = m\\), \\(a_1 = 4\\), \\(a_3 = m-1\\):\n\n\\[m^2 = 4 \\cdot (m-1)\\]\n\n\\[m^2 - 4m + 4 = 0\\]\n\n\\[(m-2)^2 = 0 \\implies m = 2\\]\n\nTen sam wynik - szybciej, bez pisania ilorazów.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego:\n\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1} \\quad \\text{dla } n \\geq 2\\]\n\nUżyliśmy jej w Sposobie 2 jako bezpośredni warunek geometryczności. W Sposobie 1 wynikała ona z definicji stałego ilorazu - oba podejścia prowadzą do tego samego równania.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | \\(m\\) | Ciąg | Ilorazy | Błąd |\n| A | \\(-3\\) | \\((4,\\,-3,\\,-4)\\) | \\(\\frac{-3}{4}\\) vs \\(\\frac{-4}{-3} = \\frac{4}{3}\\) | Różne ilorazy - nie jest geometryczny |\n| B | \\(-2\\) | \\((4,\\,-2,\\,-3)\\) | \\(\\frac{-2}{4} = -\\frac{1}{2}\\) vs \\(\\frac{-3}{-2} = \\frac{3}{2}\\) | Różne ilorazy - nie jest geometryczny |\n| D | \\(3\\) | \\((4,\\,3,\\,2)\\) | \\(\\frac{3}{4}\\) vs \\(\\frac{2}{3}\\) | Różne ilorazy - ciąg arytmetyczny (różnica \\(-1\\)), nie geometryczny! |\n\nOdpowiedź D to klasyczna pułapka - ciąg \\((4, 3, 2)\\) jest **arytmetyczny** (różnica \\(r = -1\\)), a nie geometryczny.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić warunku ciągu geometrycznego z arytmetycznym! Dla geometrycznego: **ilorazy** muszą być równe. Dla arytmetycznego: **różnice**. Odpowiedź D (\\(m=3\\)) spełnia warunek arytmetyczny - to klasyczna pułapka w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po zapisaniu równania \\(\\frac{m}{4} = \\frac{m-1}{m}\\) mnożymy na krzyż - ale pamiętaj, że zakładamy \\(m \\neq 0\\) (iloraz ciągu geometrycznego musi być różny od zera). Dla \\(m = 2\\) warunek jest spełniony.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie \\((m-2)^2 = 0\\) ma dokładnie jedno rozwiązanie - tu nie ma wyboru między dwoma wartościami \\(m\\). Jeśli wyjdzie Ci delta ujemna lub dwa różne rozwiązania - sprawdź obliczenia.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Warunek ciągu geometrycznego (karta wzorów)\n\\(a_{2}^{2} = a_{1}\\cdot a_{3}\\), czyli \\(m^{2} = 4(m-1)\\).\n\\(m^{2} - 4m + 4 = 0 \\Rightarrow (m-2)^{2} = 0 \\Rightarrow m = 2.\\)\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nDla \\(m=2\\): ciąg \\((4, 2, 1)\\), iloraz \\(q = \\dfrac{2}{4} = \\dfrac{1}{2}\\), \\(\\dfrac{1}{2} = \\dfrac{1}{2}\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-3\\)** - daje \\((4,-3,-4)\\): \\((-3)^2 = 9 \\neq 4\\cdot(-4) = -16\\).\n- **B. \\(-2\\)** - daje \\((4,-2,-3)\\): \\(4 \\neq 4\\cdot(-3) = -12\\).\n- **D. \\(3\\)** - daje \\((4,3,2)\\): \\(9 \\neq 8\\).\n\n**Trik:** w ciągu geometrycznym środkowy wyraz to średnia geometryczna: \\(a_{2}^{2} = a_{1} a_{3}\\).","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-14.svg","topics":null,"page_from":13,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 14.<br>Ciąg (𝑎𝑛) jest określony wzorem 𝑎𝑛= 3𝑛2 -3𝑛 dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.<br>Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n = 3n² - 3n dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Suma S_3 trzech początkowych kolejnych wyrazów ciągu (a_n) jest równa A. 18 B. 24 C. 60 D. 90</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-14.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(m = 2\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Warunek stałego ilorazu</h4>\n<p>W ciągu geometrycznym iloraz między kolejnymi wyrazami musi być <strong>taki sam</strong>. Oznacza to:</p>\n<p>\\[\\frac{a_2}{a_1} = \\frac{a_3}{a_2}\\]</p>\n<p>Podstawiamy wyrazy \\((4,\\, m,\\, m-1)\\):</p>\n<p>\\[\\frac{m}{4} = \\frac{m-1}{m}\\]</p>\n<p>Mnożymy obustronnie przez \\(4m\\) (przy założeniu \\(m \\neq 0\\)):</p>\n<p>\\[m^2 = 4(m-1)\\]</p>\n<p>\\[m^2 = 4m - 4\\]</p>\n<p>\\[m^2 - 4m + 4 = 0\\]</p>\n<p>\\[(m-2)^2 = 0\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{m = 2}\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzenie:</strong> ciąg \\((4, 2, 1)\\) - iloraz \\(q = \\frac{2}{4} = \\frac{1}{2}\\) oraz \\(\\frac{1}{2} = \\frac{1}{2}\\) ✓</p>\n<h4>Sposób 2 - Własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego</h4>\n<p>Z karty wzorów: w ciągu geometrycznym środkowy wyraz spełnia:</p>\n<p>\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1}\\]</p>\n<p>Dla naszego ciągu \\(a_2 = m\\), \\(a_1 = 4\\), \\(a_3 = m-1\\):</p>\n<p>\\[m^2 = 4 \\cdot (m-1)\\]</p>\n<p>\\[m^2 - 4m + 4 = 0\\]</p>\n<p>\\[(m-2)^2 = 0 \\implies m = 2\\]</p>\n<p>Ten sam wynik - szybciej, bez pisania ilorazów.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego:</p>\n<p>\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1} \\quad \\text{dla } n \\geq 2\\]</p>\n<p>Użyliśmy jej w Sposobie 2 jako bezpośredni warunek geometryczności. W Sposobie 1 wynikała ona z definicji stałego ilorazu - oba podejścia prowadzą do tego samego równania.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | \\(m\\) | Ciąg | Ilorazy | Błąd |<br>| A | \\(-3\\) | \\((4,\\,-3,\\,-4)\\) | \\(\\frac{-3}{4}\\) vs \\(\\frac{-4}{-3} = \\frac{4}{3}\\) | Różne ilorazy - nie jest geometryczny |<br>| B | \\(-2\\) | \\((4,\\,-2,\\,-3)\\) | \\(\\frac{-2}{4} = -\\frac{1}{2}\\) vs \\(\\frac{-3}{-2} = \\frac{3}{2}\\) | Różne ilorazy - nie jest geometryczny |<br>| D | \\(3\\) | \\((4,\\,3,\\,2)\\) | \\(\\frac{3}{4}\\) vs \\(\\frac{2}{3}\\) | Różne ilorazy - ciąg arytmetyczny (różnica \\(-1\\)), nie geometryczny! |</p>\n<p>Odpowiedź D to klasyczna pułapka - ciąg \\((4, 3, 2)\\) jest <strong>arytmetyczny</strong> (różnica \\(r = -1\\)), a nie geometryczny.</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić warunku ciągu geometrycznego z arytmetycznym! Dla geometrycznego: <strong>ilorazy</strong> muszą być równe. Dla arytmetycznego: <strong>różnice</strong>. Odpowiedź D (\\(m=3\\)) spełnia warunek arytmetyczny - to klasyczna pułapka w tym zadaniu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Po zapisaniu równania \\(\\frac{m}{4} = \\frac{m-1}{m}\\) mnożymy na krzyż - ale pamiętaj, że zakładamy \\(m \\neq 0\\) (iloraz ciągu geometrycznego musi być różny od zera). Dla \\(m = 2\\) warunek jest spełniony.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Równanie \\((m-2)^2 = 0\\) ma dokładnie jedno rozwiązanie - tu nie ma wyboru między dwoma wartościami \\(m\\). Jeśli wyjdzie Ci delta ujemna lub dwa różne rozwiązania - sprawdź obliczenia.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Warunek ciągu geometrycznego (karta wzorów)</h5>\n<p>\\(a_{2}^{2} = a_{1}\\cdot a_{3}\\), czyli \\(m^{2} = 4(m-1)\\).<br>\\(m^{2} - 4m + 4 = 0 \\Rightarrow (m-2)^{2} = 0 \\Rightarrow m = 2.\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie</h5>\n<p>Dla \\(m=2\\): ciąg \\((4, 2, 1)\\), iloraz \\(q = \\dfrac{2}{4} = \\dfrac{1}{2}\\), \\(\\dfrac{1}{2} = \\dfrac{1}{2}\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(-3\\)</strong> - daje \\((4,-3,-4)\\): \\((-3)^2 = 9 \\neq 4\\cdot(-4) = -16\\).</li><li><strong>B. \\(-2\\)</strong> - daje \\((4,-2,-3)\\): \\(4 \\neq 4\\cdot(-3) = -12\\).</li><li><strong>D. \\(3\\)</strong> - daje \\((4,3,2)\\): \\(9 \\neq 8\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> w ciągu geometrycznym środkowy wyraz to średnia geometryczna: \\(a_{2}^{2} = a_{1} a_{3}\\).</p>"}]}