{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/14.1","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"14.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nSuma 𝑆3 trzech początkowych kolejnych wyrazów ciągu (𝑎𝑛) jest równa\nA. 18\nB. 24\nC. 60\nD. 90","answer":"B","answer_text":"Zadanie 14.1. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.1) oblicza wyrazy ciągu określonego\nwzorem ogólnym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"# Rozwiązanie zadania krok po kroku\n\n1. **Zapisujemy wzór ciągu**\nCiąg $(a_n)$ jest określony wzorem:\n$$\na_n = 3n^2 - 3n\n$$\ndla każdej liczby naturalnej $n \\geq 1$.\n\n2. **Obliczamy pierwsze trzy wyrazy ciągu**\nMusimy obliczyć wartości $a_1$, $a_2$ i $a_3$.\n- Dla $n=1$:\n$$\na_1 = 3(1)^2 - 3(1) = 3 \\cdot 1 - 3 \\cdot 1 = 3 - 3 = 0\n$$\n- Dla $n=2$:\n$$\na_2 = 3(2)^2 - 3(2) = 3 \\cdot 4 - 3 \\cdot 2 = 12 - 6 = 6\n$$\n- Dla $n=3$:\n$$\na_3 = 3(3)^2 - 3(3) = 3 \\cdot 9 - 3 \\cdot 3 = 27 - 9 = 18\n$$\nZatem pierwsze trzy wyrazy to: $a_1 = 0$, $a_2 = 6$, $a_3 = 18$.\n\n3. **Obliczamy sumę trzech początkowych wyrazów**\nSuma trzech początkowych wyrazów $S_3 = a_1 + a_2 + a_3$:\n$$\nS_3 = 0 + 6 + 18\n$$\nObliczamy:\n$$\nS_3 = 24\n$$\n\n4. **Podsumowujemy wyniki**\nSuma $S_3$ trzech początkowych kolejnych wyrazów ciągu $(a_n)$ wynosi 24.\n\n**Odpowiedź:** B","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-14.1.webp","solution_image":null,"topics":"Ciągi, ciagi","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 14.1. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Suma 𝑆3 trzech początkowych kolejnych wyrazów ciągu (𝑎𝑛) jest równa<br>A. 18<br>B. 24<br>C. 60<br>D. 90</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 14.1. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>VI.1) oblicza wyrazy ciągu określonego<br>wzorem ogólnym.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>B</p>","solutions":[{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<h3>Rozwiązanie zadania krok po kroku</h3>\n<ol><li><strong>Zapisujemy wzór ciągu</strong></li></ol>\n<p>Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem:<br>$$<br>a_n = 3n^2 - 3n<br>$$<br>dla każdej liczby naturalnej $n \\geq 1$.</p>\n<ol><li><strong>Obliczamy pierwsze trzy wyrazy ciągu</strong></li></ol>\n<p>Musimy obliczyć wartości $a_1$, $a_2$ i $a_3$.</p>\n<ul><li>Dla $n=1$:</li></ul>\n<p>$$<br>a_1 = 3(1)^2 - 3(1) = 3 \\cdot 1 - 3 \\cdot 1 = 3 - 3 = 0<br>$$</p>\n<ul><li>Dla $n=2$:</li></ul>\n<p>$$<br>a_2 = 3(2)^2 - 3(2) = 3 \\cdot 4 - 3 \\cdot 2 = 12 - 6 = 6<br>$$</p>\n<ul><li>Dla $n=3$:</li></ul>\n<p>$$<br>a_3 = 3(3)^2 - 3(3) = 3 \\cdot 9 - 3 \\cdot 3 = 27 - 9 = 18<br>$$<br>Zatem pierwsze trzy wyrazy to: $a_1 = 0$, $a_2 = 6$, $a_3 = 18$.</p>\n<ol><li><strong>Obliczamy sumę trzech początkowych wyrazów</strong></li></ol>\n<p>Suma trzech początkowych wyrazów $S_3 = a_1 + a_2 + a_3$:<br>$$<br>S_3 = 0 + 6 + 18<br>$$<br>Obliczamy:<br>$$<br>S_3 = 24<br>$$</p>\n<ol><li><strong>Podsumowujemy wyniki</strong></li></ol>\n<p>Suma $S_3$ trzech początkowych kolejnych wyrazów ciągu $(a_n)$ wynosi 24.</p>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> B</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Ciąg jest określony wzorem:</p>\n<p>a_n=3n^2-3n</p>\n<p>Obliczamy trzy pierwsze wyrazy:</p>\n<p>a_1=3·1^2-3·1=3-3=0</p>\n<p>a_2=3·2^2-3·2=12-6=6</p>\n<p>a_3=3·3^2-3·3=27-9=18</p>\n<p>Suma trzech początkowych kolejnych wyrazów:</p>\n<p>S_3=a_1+a_2+a_3=0+6+18=24</p>\n<p>Odpowiedź: B. 24</p>"}]}