{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"15","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15.\nW ciągu arytmetycznym (𝑎𝑛), określonym dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, dane są\nwyrazy: 𝑎1 = 52 oraz 𝑎25 = 2.\nW ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla każdej liczby naturalnej n≥1, dane są wyrazy: a_1=52 oraz a_25=2. Różnica ciągu (a_n) jest równa A. (-25/12) B. (-2) C. 2 D. 25/12","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{4}{7}\\)\n\n## Sposób 1 - Kąty dopełniające w trójkącie prostokątnym\n\nW trójkącie prostokątnym suma kątów wynosi \\(180°\\), a kąt prosty ma \\(90°\\). Zatem oba kąty ostre są **dopełniające**:\n\n\\[\\alpha + \\beta = 90°\\]\n\nczyli \\(\\beta = 90° - \\alpha\\).\n\nKorzystamy ze wzoru redukcyjnego:\n\n\\[\\cos\\beta = \\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]\n\nSkoro \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{4}{7}\\), to:\n\n\\[\\cos\\beta = \\dfrac{4}{7}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez bok trójkąta (interpretacja geometryczna)\n\nOznaczmy boki trójkąta prostokątnego: przeciwprostokątną \\(c\\), oraz przyprostokątne \\(a\\) i \\(b\\), gdzie kąt \\(\\alpha\\) leży przy boku \\(b\\), a kąt \\(\\beta\\) leży przy boku \\(a\\).\n\nZ definicji sinusa kąta \\(\\alpha\\):\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{a}{c} = \\frac{4}{7}\\]\n\nPrzyjmijmy \\(a = 4\\), \\(c = 7\\). Z twierdzenia Pitagorasa:\n\\[b = \\sqrt{c^2 - a^2} = \\sqrt{49 - 16} = \\sqrt{33}\\]\n\nCosinus kąta \\(\\beta\\): kąt \\(\\beta\\) leży przy boku \\(a\\), więc przyprostokątna do niego przyległa to właśnie \\(a = 4\\):\n\\[\\cos\\beta = \\frac{\\text{przyległa do }\\beta}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{a}{c} = \\frac{4}{7}\\]\n\n\\[\\boxed{\\cos\\beta = \\frac{4}{7}}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wzory redukcyjne:\n\\[\\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]\nTo kluczowy wzór w Sposobie 1. Wynika z definicji: w trójkącie prostokątnym sinus jednego kąta ostrego = cosinus drugiego.\n\n**Dział 10 (Planimetria - Trójkąt prostokątny, s. 16)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia brakującego boku.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(\\frac{3}{7}\\) | Brak uzasadnienia matematycznego; typowy błąd przy \"dopasowywaniu\" liczb (np. mylne wyobrażenie, że \\(3^2 + 4^2 = 5^2\\), ale tu przeciwprostokątna = 7, nie 5) |\n| C - \\(\\frac{\\sqrt{33}}{7}\\) | To jest \\(\\cos\\alpha\\) (lub równoważnie \\(\\sin\\beta\\)), nie \\(\\cos\\beta\\). Klasyczna zamiana kąta |\n| D - \\(\\frac{4}{\\sqrt{33}}\\) | To jest \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{4/7}{\\sqrt{33}/7} = \\frac{4}{\\sqrt{33}}\\). Zamiana cosinusa z tangensem |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to wybór odpowiedzi C - czyli podanie \\(\\cos\\alpha\\) zamiast \\(\\cos\\beta\\). Pamiętaj: \\(\\sin\\alpha = \\cos\\beta\\) (kąty dopełniające!), a **nie** \\(\\cos\\alpha = \\cos\\beta\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W trójkącie prostokątnym zawsze \\(\\alpha + \\beta = 90°\\) - to skrót do szybkiego rozwiązania. Natychmiast stosuj wzór \\(\\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź D (\\(\\frac{4}{\\sqrt{33}}\\)) to tangens, nie cosinus. Uważaj na mylenie funkcji trygonometrycznych pod presją czasu.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Zależność kątów ostrych trójkąta (karta wzorów)\nW trójkącie prostokątnym \\(\\alpha + \\beta = 90^{\\circ}\\), więc \\(\\beta = 90^{\\circ} - \\alpha\\).\nWłasność: \\(\\cos(90^{\\circ} - \\alpha) = \\sin\\alpha.\\)\nZatem \\(\\cos\\beta = \\sin\\alpha = \\dfrac{4}{7}.\\)\n\n### Sposób 2 - Definicja z boków trójkąta\nPrzyjmijmy przeciwprostokątną \\(c = 7\\), bok naprzeciw \\(\\alpha\\) to \\(4\\). Ten sam bok jest **przyległy** do kąta \\(\\beta\\). Zatem \\(\\cos\\beta = \\dfrac{\\text{przyprostokątna przyległa do }\\beta}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\dfrac{4}{7}.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\dfrac{3}{7}\\)** - błędnie policzona przyprostokątna.\n- **C. \\(\\dfrac{\\sqrt{33}}{7}\\)** - to \\(\\cos\\alpha\\).\n- **D. \\(\\dfrac{4}{\\sqrt{33}}\\)** - to \\(\\text{tg}\\alpha\\).\n\n**Trik:** w trójkącie prostokątnym \\(\\sin\\alpha = \\cos(90^{\\circ}-\\alpha) = \\cos\\beta\\).","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-15.svg","topics":null,"page_from":14,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 15.<br>W ciągu arytmetycznym (𝑎𝑛), określonym dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1, dane są<br>wyrazy: 𝑎1 = 52 oraz 𝑎25 = 2.<br>W ciągu arytmetycznym (a_n), określonym dla każdej liczby naturalnej n≥1, dane są wyrazy: a_1=52 oraz a_25=2. Różnica ciągu (a_n) jest równa A. (-25/12) B. (-2) C. 2 D. 25/12</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-15.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(\\dfrac{4}{7}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Kąty dopełniające w trójkącie prostokątnym</h4>\n<p>W trójkącie prostokątnym suma kątów wynosi \\(180°\\), a kąt prosty ma \\(90°\\). Zatem oba kąty ostre są <strong>dopełniające</strong>:</p>\n<p>\\[\\alpha + \\beta = 90°\\]</p>\n<p>czyli \\(\\beta = 90° - \\alpha\\).</p>\n<p>Korzystamy ze wzoru redukcyjnego:</p>\n<p>\\[\\cos\\beta = \\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]</p>\n<p>Skoro \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{4}{7}\\), to:</p>\n<p>\\[\\cos\\beta = \\dfrac{4}{7}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Przez bok trójkąta (interpretacja geometryczna)</h4>\n<p>Oznaczmy boki trójkąta prostokątnego: przeciwprostokątną \\(c\\), oraz przyprostokątne \\(a\\) i \\(b\\), gdzie kąt \\(\\alpha\\) leży przy boku \\(b\\), a kąt \\(\\beta\\) leży przy boku \\(a\\).</p>\n<p>Z definicji sinusa kąta \\(\\alpha\\):<br>\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{a}{c} = \\frac{4}{7}\\]</p>\n<p>Przyjmijmy \\(a = 4\\), \\(c = 7\\). Z twierdzenia Pitagorasa:<br>\\[b = \\sqrt{c^2 - a^2} = \\sqrt{49 - 16} = \\sqrt{33}\\]</p>\n<p>Cosinus kąta \\(\\beta\\): kąt \\(\\beta\\) leży przy boku \\(a\\), więc przyprostokątna do niego przyległa to właśnie \\(a = 4\\):<br>\\[\\cos\\beta = \\frac{\\text{przyległa do }\\beta}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{a}{c} = \\frac{4}{7}\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{\\cos\\beta = \\frac{4}{7}}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)</strong> - wzory redukcyjne:<br>\\[\\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]<br>To kluczowy wzór w Sposobie 1. Wynika z definicji: w trójkącie prostokątnym sinus jednego kąta ostrego = cosinus drugiego.</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria - Trójkąt prostokątny, s. 16)</strong> - twierdzenie Pitagorasa:<br>\\[a^2 + b^2 = c^2\\]<br>Użyte w Sposobie 2 do wyznaczenia brakującego boku.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A - \\(\\frac{3}{7}\\) | Brak uzasadnienia matematycznego; typowy błąd przy &quot;dopasowywaniu&quot; liczb (np. mylne wyobrażenie, że \\(3^2 + 4^2 = 5^2\\), ale tu przeciwprostokątna = 7, nie 5) |<br>| C - \\(\\frac{\\sqrt{33}}{7}\\) | To jest \\(\\cos\\alpha\\) (lub równoważnie \\(\\sin\\beta\\)), nie \\(\\cos\\beta\\). Klasyczna zamiana kąta |<br>| D - \\(\\frac{4}{\\sqrt{33}}\\) | To jest \\(\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{4/7}{\\sqrt{33}/7} = \\frac{4}{\\sqrt{33}}\\). Zamiana cosinusa z tangensem |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to wybór odpowiedzi C - czyli podanie \\(\\cos\\alpha\\) zamiast \\(\\cos\\beta\\). Pamiętaj: \\(\\sin\\alpha = \\cos\\beta\\) (kąty dopełniające!), a <strong>nie</strong> \\(\\cos\\alpha = \\cos\\beta\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W trójkącie prostokątnym zawsze \\(\\alpha + \\beta = 90°\\) - to skrót do szybkiego rozwiązania. Natychmiast stosuj wzór \\(\\cos(90° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Odpowiedź D (\\(\\frac{4}{\\sqrt{33}}\\)) to tangens, nie cosinus. Uważaj na mylenie funkcji trygonometrycznych pod presją czasu.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Zależność kątów ostrych trójkąta (karta wzorów)</h5>\n<p>W trójkącie prostokątnym \\(\\alpha + \\beta = 90^{\\circ}\\), więc \\(\\beta = 90^{\\circ} - \\alpha\\).<br>Własność: \\(\\cos(90^{\\circ} - \\alpha) = \\sin\\alpha.\\)<br>Zatem \\(\\cos\\beta = \\sin\\alpha = \\dfrac{4}{7}.\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Definicja z boków trójkąta</h5>\n<p>Przyjmijmy przeciwprostokątną \\(c = 7\\), bok naprzeciw \\(\\alpha\\) to \\(4\\). Ten sam bok jest <strong>przyległy</strong> do kąta \\(\\beta\\). Zatem \\(\\cos\\beta = \\dfrac{\\text{przyprostokątna przyległa do }\\beta}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\dfrac{4}{7}.\\)</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(\\dfrac{3}{7}\\)</strong> - błędnie policzona przyprostokątna.</li><li><strong>C. \\(\\dfrac{\\sqrt{33}}{7}\\)</strong> - to \\(\\cos\\alpha\\).</li><li><strong>D. \\(\\dfrac{4}{\\sqrt{33}}\\)</strong> - to \\(\\text{tg}\\alpha\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> w trójkącie prostokątnym \\(\\sin\\alpha = \\cos(90^{\\circ}-\\alpha) = \\cos\\beta\\).</p>"}]}