{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/15.1","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"15.1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15.1. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nRóżnica ciągu (𝑎𝑛) jest równa\nA. (-25\n12)\nB. (-2)\nC. 2\nD. 25\n12","answer":"A","answer_text":"Zadanie 15.1. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVI.5) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu\narytmetycznego.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"1. Rozpoczynamy od przypomnienia, że w ciągu arytmetycznym wyraz ogólny $a_n$ można wyrazić wzorem: $$a_n = a_1 + (n-1) \\cdot d,$$ gdzie $a_1$ to pierwszy wyraz, $d$ to różnica ciągu, a $n$ to numer wyrazu.\\\n\n2. Podstawiamy dane do wzoru dla wyrazu $a_{25}$: $$a_{25} = a_1 + (25-1) \\cdot d.$$\\\n\n3. Znamy $a_1 = 52$. Podstawiamy tę wartość do wzoru: $$a_{25} = 52 + (25-1) \\cdot d.$$\\\n\n4. Uproszczamy zapis: $$a_{25} = 52 + 24 \\cdot d.$$\\\n\n5. Zauważamy, że $a_{25} = 2$, zatem możemy zapisać równanie: $$2 = 52 + 24 \\cdot d.$$\\\n\n6. Przenieśmy $52$ na drugą stronę równania: $$2 - 52 = 24 \\cdot d.$$\\\n\n7. Obliczamy lewą stronę: $$-50 = 24 \\cdot d.$$\\\n\n8. Teraz, aby obliczyć różnicę $d$, dzielimy obie strony równania przez $24$: $$d = \\frac{-50}{24}.$$\\\n\n9. Uprościmy ten ułamek: $$d = \\frac{-25}{12}.$$\\\n\n10. Ostatecznie obliczamy, że różnica ciągu $(a_n)$ jest równa: $$d = -\\frac{25}{12}.$$\\\n\n**Odpowiedź:** Różnica ciągu $(a_n)$ jest równa $\\left(-\\frac{25}{12}\\right)$.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-15.1.webp","solution_image":null,"topics":"Ciąg arytmetyczny, ciagi","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"odrabiamy","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 15.1. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Różnica ciągu (𝑎𝑛) jest równa<br>A. (-25<br>12)<br>B. (-2)<br>C. 2<br>D. 25<br>12</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 15.1. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>VI.5) stosuje wzór na 𝑛-ty wyraz […] ciągu<br>arytmetycznego.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A</p>","solutions":[{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Rozpoczynamy od przypomnienia, że w ciągu arytmetycznym wyraz ogólny $a_n$ można wyrazić wzorem: $$a_n = a_1 + (n-1) \\cdot d,$$ gdzie $a_1$ to pierwszy wyraz, $d$ to różnica ciągu, a $n$ to numer wyrazu.\\</li></ol>\n<ol><li>Podstawiamy dane do wzoru dla wyrazu $a_{25}$: $$a_{25} = a_1 + (25-1) \\cdot d.$$\\</li></ol>\n<ol><li>Znamy $a_1 = 52$. Podstawiamy tę wartość do wzoru: $$a_{25} = 52 + (25-1) \\cdot d.$$\\</li></ol>\n<ol><li>Uproszczamy zapis: $$a_{25} = 52 + 24 \\cdot d.$$\\</li></ol>\n<ol><li>Zauważamy, że $a_{25} = 2$, zatem możemy zapisać równanie: $$2 = 52 + 24 \\cdot d.$$\\</li></ol>\n<ol><li>Przenieśmy $52$ na drugą stronę równania: $$2 - 52 = 24 \\cdot d.$$\\</li></ol>\n<ol><li>Obliczamy lewą stronę: $$-50 = 24 \\cdot d.$$\\</li></ol>\n<ol><li>Teraz, aby obliczyć różnicę $d$, dzielimy obie strony równania przez $24$: $$d = \\frac{-50}{24}.$$\\</li></ol>\n<ol><li>Uprościmy ten ułamek: $$d = \\frac{-25}{12}.$$\\</li></ol>\n<ol><li>Ostatecznie obliczamy, że różnica ciągu $(a_n)$ jest równa: $$d = -\\frac{25}{12}.$$\\</li></ol>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> Różnica ciągu $(a_n)$ jest równa $\\left(-\\frac{25}{12}\\right)$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>W ciągu arytmetycznym mamy:</p>\n<p>a_1=52, a_25=2</p>\n<p>Korzystamy ze wzoru na n -ty wyraz ciągu arytmetycznego:</p>\n<p>a_n=a_1+(n-1)r</p>\n<p>Dla n=25 :</p>\n<p>a_25=a_1+24r</p>\n<p>Podstawiamy dane:</p>\n<p>2=52+24r</p>\n<p>24r=-50</p>\n<p>r=-(50)/(24)=-(25)/(12)</p>\n<p>Odpowiedź: A. -(25)/(12)</p>"}]}