{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nTrzywyrazowy ciąg (4, 𝑚, 𝑚-1) jest geometryczny, gdy liczba 𝑚 jest równa\nA. (-3)\nB. (-2)\nC. 2\nD. 3\nTrzywyrazowy ciąg (4,m,m-1) jest geometryczny, gdy liczba m jest równa A. (-3) B. (-2) C. 2 D. 3","answer":"C","answer_text":"Zadanie 16. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nVI.7) wykorzystuje własności ciągów […]\ngeometrycznych, do rozwiązywania zadań\n[…].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\operatorname{tg} 25°\\)\n\n## Sposób 1 - wyłączenie wspólnego czynnika\n\nPatrzymy na licznik ułamka i zauważamy, że oba składniki zawierają \\(\\sin 25°\\) - wyciągamy go przed nawias.\n\n\\[\n\\frac{\\sin^3 25° + \\sin 25° \\cdot \\cos^2 25°}{\\cos 25°}\n\\]\n\n**Krok 1.** Wyłączamy \\(\\sin 25°\\) z licznika:\n\n\\[\n= \\frac{\\sin 25°(\\sin^2 25° + \\cos^2 25°)}{\\cos 25°}\n\\]\n\n**Krok 2.** Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:\n\n\\[\n\\sin^2 25° + \\cos^2 25° = 1\n\\]\n\n\\[\n= \\frac{\\sin 25° \\cdot 1}{\\cos 25°}\n\\]\n\n**Krok 3.** To jest definicja tangensa:\n\n\\[\n= \\frac{\\sin 25°}{\\cos 25°} = \\operatorname{tg} 25°\n\\]\n\n**Odpowiedź: C**\n\n## Sposób 2 - weryfikacja liczbowa\n\nSprawdzamy, czy wynik zgadza się numerycznie. Wiemy, że:\n- \\(\\sin 25° \\approx 0{,}4226\\)\n- \\(\\cos 25° \\approx 0{,}9063\\)\n- \\(\\operatorname{tg} 25° \\approx 0{,}4663\\)\n\nPodstawiamy do wyrażenia:\n\n\\[\n\\frac{\\sin^3 25° + \\sin 25° \\cdot \\cos^2 25°}{\\cos 25°} = \\frac{(0{,}4226)^3 + 0{,}4226 \\cdot (0{,}9063)^2}{0{,}9063}\n\\]\n\n\\[\n= \\frac{0{,}0754 + 0{,}4226 \\cdot 0{,}8214}{0{,}9063} = \\frac{0{,}0754 + 0{,}3470}{0{,}9063} = \\frac{0{,}4224}{0{,}9063} \\approx 0{,}4660\n\\]\n\nRzeczywiście \\(\\approx \\operatorname{tg} 25° \\approx 0{,}4663\\) ✓ (drobna różnica to błąd zaokrągleń)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\n\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\n\\]\nTo kluczowy wzór - dzięki niemu wyrażenie w nawiasie zredukowało się do 1.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - definicja tangensa:\n\\[\n\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}\n\\]\nTo właśnie ten wzór rozpoznajemy w ostatnim kroku.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Uczeń \"skraca\" ułamek z \\(\\cos 25°\\) w liczniku i mianowniku, nie zauważając że w liczniku najpierw należy wyłączyć czynnik - zostawia \\(\\sin 25°\\) bez dalszego uproszczenia |\n| B | Uczeń myli jedynkę trygonometryczną: \"upraszcza\" \\(\\sin^2 + \\cos^2\\) do \\(\\cos\\), albo myśląc o wzorach redukcyjnych stosuje je błędnie |\n| D | Uczeń poprawnie stosuje jedynkę i wyłącza \\(\\sin 25°\\), ale następnie \"skraca\" \\(\\frac{\\sin 25°}{\\cos 25°}\\) do 1 zamiast do \\(\\operatorname{tg} 25°\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najważniejszy krok to wyłączenie \\(\\sin 25°\\) **przed** jakimikolwiek uproszczeniami. Bez tego kroku jedynka trygonometryczna jest niewidoczna.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jedynka trygonometryczna \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\) to jeden z najczęściej używanych wzorów w upraszczaniu wyrażeń trygonometrycznych - warto jej szukać zawsze gdy widzisz \\(\\sin^2 + \\cos^2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie skracaj pochopnie! \\(\\frac{\\sin 25°}{\\cos 25°} \\neq 1\\) - to jest \\(\\operatorname{tg} 25°\\), nie jedynka. Jedynką jest \\(\\sin^2 + \\cos^2\\), a nie \\(\\frac{\\sin}{\\cos}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wyłączenie przed nawias i jedynka trygonometryczna (karta wzorów)\nLicznik: \\(\\sin^{3} 25^{\\circ} + \\sin 25^{\\circ}\\cdot\\cos^{2} 25^{\\circ} = \\sin 25^{\\circ}\\left(\\sin^{2} 25^{\\circ} + \\cos^{2} 25^{\\circ}\\right) = \\sin 25^{\\circ}\\cdot 1 = \\sin 25^{\\circ}.\\)\nCały ułamek: \\(\\dfrac{\\sin 25^{\\circ}}{\\cos 25^{\\circ}} = \\text{tg}\\, 25^{\\circ}.\\)\n\n### Sposób 2 - Numerycznie\n\\(\\sin 25^{\\circ} \\approx 0{,}4226\\), \\(\\cos 25^{\\circ} \\approx 0{,}9063\\), \\(\\text{tg}\\,25^{\\circ} \\approx 0{,}4663.\\) Sprawdzenie: \\(\\dfrac{0{,}4226^3 + 0{,}4226\\cdot 0{,}9063^2}{0{,}9063} \\approx \\dfrac{0{,}0755 + 0{,}3471}{0{,}9063} \\approx 0{,}4663\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\sin 25^{\\circ}\\)** - zapomniano podzielić przez \\(\\cos 25^{\\circ}\\).\n- **B. \\(\\cos 25^{\\circ}\\)** - błędne uproszczenie.\n- **D. \\(1\\)** - pomylone z \\(\\sin^{2} + \\cos^{2}\\).\n\n**Trik:** \\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1\\) to klucz; wyłącz \\(\\sin\\alpha\\) jako wspólny czynnik.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-16.svg","topics":"Ciąg geometryczny, ciagi","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 16. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Trzywyrazowy ciąg (4, 𝑚, 𝑚-1) jest geometryczny, gdy liczba 𝑚 jest równa
A. (-3)
B. (-2)
C. 2
D. 3
Trzywyrazowy ciąg (4,m,m-1) jest geometryczny, gdy liczba m jest równa A. (-3) B. (-2) C. 2 D. 3

","answer_text_html":"

Zadanie 16. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Dobieranie i tworzenie modeli
\n

matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
VI.7) wykorzystuje własności ciągów […]
geometrycznych, do rozwiązywania zadań
[…].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-16.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(\\operatorname{tg} 25°\\)

\n

Sposób 1 - wyłączenie wspólnego czynnika

\n

Patrzymy na licznik ułamka i zauważamy, że oba składniki zawierają \\(\\sin 25°\\) - wyciągamy go przed nawias.

\n

\\[
\\frac{\\sin^3 25° + \\sin 25° \\cdot \\cos^2 25°}{\\cos 25°}
\\]

\n

Krok 1. Wyłączamy \\(\\sin 25°\\) z licznika:

\n

\\[
= \\frac{\\sin 25°(\\sin^2 25° + \\cos^2 25°)}{\\cos 25°}
\\]

\n

Krok 2. Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

\n

\\[
\\sin^2 25° + \\cos^2 25° = 1
\\]

\n

\\[
= \\frac{\\sin 25° \\cdot 1}{\\cos 25°}
\\]

\n

Krok 3. To jest definicja tangensa:

\n

\\[
= \\frac{\\sin 25°}{\\cos 25°} = \\operatorname{tg} 25°
\\]

\n

Odpowiedź: C

\n

Sposób 2 - weryfikacja liczbowa

\n

Sprawdzamy, czy wynik zgadza się numerycznie. Wiemy, że:

\n\n

Podstawiamy do wyrażenia:

\n

\\[
\\frac{\\sin^3 25° + \\sin 25° \\cdot \\cos^2 25°}{\\cos 25°} = \\frac{(0{,}4226)^3 + 0{,}4226 \\cdot (0{,}9063)^2}{0{,}9063}
\\]

\n

\\[
= \\frac{0{,}0754 + 0{,}4226 \\cdot 0{,}8214}{0{,}9063} = \\frac{0{,}0754 + 0{,}3470}{0{,}9063} = \\frac{0{,}4224}{0{,}9063} \\approx 0{,}4660
\\]

\n

Rzeczywiście \\(\\approx \\operatorname{tg} 25° \\approx 0{,}4663\\) ✓ (drobna różnica to błąd zaokrągleń)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12) - jedynka trygonometryczna:
\\[
\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1
\\]
To kluczowy wzór - dzięki niemu wyrażenie w nawiasie zredukowało się do 1.

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11) - definicja tangensa:
\\[
\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha}
\\]
To właśnie ten wzór rozpoznajemy w ostatnim kroku.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A | Uczeń "skraca" ułamek z \\(\\cos 25°\\) w liczniku i mianowniku, nie zauważając że w liczniku najpierw należy wyłączyć czynnik - zostawia \\(\\sin 25°\\) bez dalszego uproszczenia |
| B | Uczeń myli jedynkę trygonometryczną: "upraszcza" \\(\\sin^2 + \\cos^2\\) do \\(\\cos\\), albo myśląc o wzorach redukcyjnych stosuje je błędnie |
| D | Uczeń poprawnie stosuje jedynkę i wyłącza \\(\\sin 25°\\), ale następnie "skraca" \\(\\frac{\\sin 25°}{\\cos 25°}\\) do 1 zamiast do \\(\\operatorname{tg} 25°\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najważniejszy krok to wyłączenie \\(\\sin 25°\\) przed jakimikolwiek uproszczeniami. Bez tego kroku jedynka trygonometryczna jest niewidoczna.
\n
⚠️ Uwaga: Jedynka trygonometryczna \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\) to jeden z najczęściej używanych wzorów w upraszczaniu wyrażeń trygonometrycznych - warto jej szukać zawsze gdy widzisz \\(\\sin^2 + \\cos^2\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nie skracaj pochopnie! \\(\\frac{\\sin 25°}{\\cos 25°} \\neq 1\\) - to jest \\(\\operatorname{tg} 25°\\), nie jedynka. Jedynką jest \\(\\sin^2 + \\cos^2\\), a nie \\(\\frac{\\sin}{\\cos}\\).
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Wyłączenie przed nawias i jedynka trygonometryczna (karta wzorów)
\n

Licznik: \\(\\sin^{3} 25^{\\circ} + \\sin 25^{\\circ}\\cdot\\cos^{2} 25^{\\circ} = \\sin 25^{\\circ}\\left(\\sin^{2} 25^{\\circ} + \\cos^{2} 25^{\\circ}\\right) = \\sin 25^{\\circ}\\cdot 1 = \\sin 25^{\\circ}.\\)
Cały ułamek: \\(\\dfrac{\\sin 25^{\\circ}}{\\cos 25^{\\circ}} = \\text{tg}\\, 25^{\\circ}.\\)

\n
Sposób 2 - Numerycznie
\n

\\(\\sin 25^{\\circ} \\approx 0{,}4226\\), \\(\\cos 25^{\\circ} \\approx 0{,}9063\\), \\(\\text{tg}\\,25^{\\circ} \\approx 0{,}4663.\\) Sprawdzenie: \\(\\dfrac{0{,}4226^3 + 0{,}4226\\cdot 0{,}9063^2}{0{,}9063} \\approx \\dfrac{0{,}0755 + 0{,}3471}{0{,}9063} \\approx 0{,}4663\\) ✓.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: \\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1\\) to klucz; wyłącz \\(\\sin\\alpha\\) jako wspólny czynnik.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, dla $m = 2$ ciąg $(4, 2, 1)$ jest geometryczny, ponieważ ilorazy są równe: $\\displaystyle \\small\\frac{2}{4} = \\frac{1}{2}$.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Trzywyrazowy ciąg (4,m,m-1) jest geometryczny, gdy kwadrat środkowego wyrazu jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych:

\n

m^2=4(m-1)

\n

Rozwiązujemy równanie:

\n

m^2=4m-4

\n

m^2-4m+4=0

\n

Rozwiązujemy metodą delty:

\n

Δ=(-4)^2-4·1·4=16-16=0

\n

m=(-(-4))/(2·1)=2

\n

Odpowiedź: C. 2

"}]}