{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba sin3 25° + sin 25° ⋅cos2 25°\ncos 25°\njest równa\nA. sin 25°\nB. cos 25°\nC. tg 25°\nD. 1\n\nMMAP-P0_100\nLiczba sin³25° + sin25° ⋅ cos²25° / cos 25 jest równa A. sin25° B. cos25° C. tg25° D. 1","answer":"C","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVII.2) korzysta z wzorów\nsin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼= sin𝛼\ncos𝛼 .\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(r = 4\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór dla trójkąta prostokątnego\n\nDla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \\(a\\), \\(b\\) i przeciwprostokątnej \\(c\\) istnieje elegancki wzór:\n\\[r = \\frac{a + b - c}{2}\\]\n\nSprawdzamy najpierw, że mamy trójkąt prostokątny:\n\\[10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 = 26^2 \\checkmark\\]\n\nPodstawiamy \\(a = 10\\), \\(b = 24\\), \\(c = 26\\):\n\\[r = \\frac{10 + 24 - 26}{2} = \\frac{8}{2} = \\mathbf{4}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór ogólny: pole = promień × półobwód\n\nDla **każdego** trójkąta zachodzi \\(P = r \\cdot p\\), gdzie \\(p\\) to półobwód. Stąd:\n\\[r = \\frac{P}{p}\\]\n\n**Krok 1 - oblicz pole trójkąta prostokątnego:**\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b = \\frac{1}{2} \\cdot 10 \\cdot 24 = 120\\]\n\n**Krok 2 - oblicz półobwód:**\n\\[p = \\frac{a + b + c}{2} = \\frac{10 + 24 + 26}{2} = \\frac{60}{2} = 30\\]\n\n**Krok 3 - oblicz promień:**\n\\[r = \\frac{P}{p} = \\frac{120}{30} = \\mathbf{4}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - wzory na promień okręgu wpisanego w trójkąt:\n\n\\[P = p \\cdot r \\quad \\Longrightarrow \\quad r = \\frac{P}{p}\\]\n\ngdzie \\(p = \\frac{a+b+c}{2}\\) to półobwód. Użyliśmy tego w Sposobie 2.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 16)** - wzór specjalny dla trójkąta prostokątnego:\n\n\\[r = \\frac{a + b - c}{2}\\]\n\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 (szybszy, gdy wiemy że trójkąt jest prostokątny).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - pole trójkąta:\n\\[P = \\frac{1}{2} a \\cdot h_a\\]\nDla trójkąta prostokątnego obie przyprostokątne są wzajemnymi wysokościami: \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot 10 \\cdot 24\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej wartości |\n| A: \\(\\dfrac{10}{3}\\) | Podzielenie krótszej przyprostokątnej przez 3 bez żadnego uzasadnienia; brak sensownej metody |\n| C: \\(5\\) | Wzięcie \\(r = \\dfrac{a}{2} = \\dfrac{10}{2} = 5\\) - mylenie promienia okręgu **wpisanego** \\(r\\) z promieniem okręgu **opisanego** \\(R = \\dfrac{c}{2} = 13\\), lub błędny podział krótszego boku |\n| D: \\(\\dfrac{80}{13}\\) | Użycie wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną \\(h = \\dfrac{10 \\cdot 24}{26} = \\dfrac{120}{13}\\) zamiast promienia okręgu wpisanego - mylenie dwóch różnych elementów trójkąta |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl promienia okręgu **wpisanego** \\(r\\) z promieniem okręgu **opisanego** \\(R\\). Dla trójkąta prostokątnego \\(R = \\dfrac{c}{2} = 13\\) - zupełnie inna wartość!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(r = \\dfrac{a+b-c}{2}\\) działa **tylko** dla trójkąta prostokątnego (gdzie \\(c\\) to przeciwprostokątna). Dla ogólnego trójkąta użyj \\(r = \\dfrac{P}{p}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zanim zastosujesz wzór, zawsze sprawdź warunek Pitagorasa - upewnij się, który bok jest przeciwprostokątną (tu: \\(26\\), bo \\(10^2 + 24^2 = 26^2\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór na promień wpisany w trójkąt prostokątny (karta wzorów)\n\\(r = \\dfrac{a + b - c}{2}\\), gdzie \\(a, b\\) - przyprostokątne, \\(c\\) - przeciwprostokątna.\n\\(r = \\dfrac{10 + 24 - 26}{2} = \\dfrac{8}{2} = 4.\\)\n\n### Sposób 2 - Pole i obwód\nPole \\(P = \\dfrac{1}{2}\\cdot 10\\cdot 24 = 120.\\) Obwód \\(L = 10+24+26 = 60.\\) Promień wpisany: \\(r = \\dfrac{2P}{L} = \\dfrac{240}{60} = 4.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\dfrac{10}{3}\\)** - błąd obliczeniowy.\n- **C. \\(5\\)** - być może pomylone z innym parametrem.\n- **D. \\(\\dfrac{80}{13}\\)** - to wartość związana z inną formułą.\n\n**Trik:** trójkąt prostokątny (10, 24, 26) = skalowany (5, 12, 13). Prosty wzór \\(r = \\dfrac{a+b-c}{2}\\).","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-17.svg","topics":"Trygonometria","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 17. (0-1)<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Liczba sin3 25° + sin 25° ⋅cos2 25°<br>cos 25°<br>jest równa<br>A. sin 25°<br>B. cos 25°<br>C. tg 25°<br>D. 1</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Liczba sin³25° + sin25° ⋅ cos²25° / cos 25 jest równa A. sin25° B. cos25° C. tg25° D. 1</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 17. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>VII.2) korzysta z wzorów<br>sin2 𝛼+ cos2 𝛼= 1, tg 𝛼= sin𝛼<br>cos𝛼 .<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-17.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(r = 4\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór dla trójkąta prostokątnego</h4>\n<p>Dla trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \\(a\\), \\(b\\) i przeciwprostokątnej \\(c\\) istnieje elegancki wzór:<br>\\[r = \\frac{a + b - c}{2}\\]</p>\n<p>Sprawdzamy najpierw, że mamy trójkąt prostokątny:<br>\\[10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 = 26^2 \\checkmark\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(a = 10\\), \\(b = 24\\), \\(c = 26\\):<br>\\[r = \\frac{10 + 24 - 26}{2} = \\frac{8}{2} = \\mathbf{4}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Wzór ogólny: pole = promień × półobwód</h4>\n<p>Dla <strong>każdego</strong> trójkąta zachodzi \\(P = r \\cdot p\\), gdzie \\(p\\) to półobwód. Stąd:<br>\\[r = \\frac{P}{p}\\]</p>\n<p><strong>Krok 1 - oblicz pole trójkąta prostokątnego:</strong><br>\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot b = \\frac{1}{2} \\cdot 10 \\cdot 24 = 120\\]</p>\n<p><strong>Krok 2 - oblicz półobwód:</strong><br>\\[p = \\frac{a + b + c}{2} = \\frac{10 + 24 + 26}{2} = \\frac{60}{2} = 30\\]</p>\n<p><strong>Krok 3 - oblicz promień:</strong><br>\\[r = \\frac{P}{p} = \\frac{120}{30} = \\mathbf{4}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)</strong> - wzory na promień okręgu wpisanego w trójkąt:</p>\n<p>\\[P = p \\cdot r \\quad \\Longrightarrow \\quad r = \\frac{P}{p}\\]</p>\n<p>gdzie \\(p = \\frac{a+b+c}{2}\\) to półobwód. Użyliśmy tego w Sposobie 2.</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 16)</strong> - wzór specjalny dla trójkąta prostokątnego:</p>\n<p>\\[r = \\frac{a + b - c}{2}\\]</p>\n<p>Użyliśmy tego w Sposobie 1 (szybszy, gdy wiemy że trójkąt jest prostokątny).</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15)</strong> - pole trójkąta:<br>\\[P = \\frac{1}{2} a \\cdot h_a\\]<br>Dla trójkąta prostokątnego obie przyprostokątne są wzajemnymi wysokościami: \\(P = \\frac{1}{2} \\cdot 10 \\cdot 24\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej wartości |<br>| A: \\(\\dfrac{10}{3}\\) | Podzielenie krótszej przyprostokątnej przez 3 bez żadnego uzasadnienia; brak sensownej metody |<br>| C: \\(5\\) | Wzięcie \\(r = \\dfrac{a}{2} = \\dfrac{10}{2} = 5\\) - mylenie promienia okręgu <strong>wpisanego</strong> \\(r\\) z promieniem okręgu <strong>opisanego</strong> \\(R = \\dfrac{c}{2} = 13\\), lub błędny podział krótszego boku |<br>| D: \\(\\dfrac{80}{13}\\) | Użycie wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną \\(h = \\dfrac{10 \\cdot 24}{26} = \\dfrac{120}{13}\\) zamiast promienia okręgu wpisanego - mylenie dwóch różnych elementów trójkąta |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie myl promienia okręgu <strong>wpisanego</strong> \\(r\\) z promieniem okręgu <strong>opisanego</strong> \\(R\\). Dla trójkąta prostokątnego \\(R = \\dfrac{c}{2} = 13\\) - zupełnie inna wartość!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór \\(r = \\dfrac{a+b-c}{2}\\) działa <strong>tylko</strong> dla trójkąta prostokątnego (gdzie \\(c\\) to przeciwprostokątna). Dla ogólnego trójkąta użyj \\(r = \\dfrac{P}{p}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zanim zastosujesz wzór, zawsze sprawdź warunek Pitagorasa - upewnij się, który bok jest przeciwprostokątną (tu: \\(26\\), bo \\(10^2 + 24^2 = 26^2\\)).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór na promień wpisany w trójkąt prostokątny (karta wzorów)</h5>\n<p>\\(r = \\dfrac{a + b - c}{2}\\), gdzie \\(a, b\\) - przyprostokątne, \\(c\\) - przeciwprostokątna.<br>\\(r = \\dfrac{10 + 24 - 26}{2} = \\dfrac{8}{2} = 4.\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Pole i obwód</h5>\n<p>Pole \\(P = \\dfrac{1}{2}\\cdot 10\\cdot 24 = 120.\\) Obwód \\(L = 10+24+26 = 60.\\) Promień wpisany: \\(r = \\dfrac{2P}{L} = \\dfrac{240}{60} = 4.\\)</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(\\dfrac{10}{3}\\)</strong> - błąd obliczeniowy.</li><li><strong>C. \\(5\\)</strong> - być może pomylone z innym parametrem.</li><li><strong>D. \\(\\dfrac{80}{13}\\)</strong> - to wartość związana z inną formułą.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> trójkąt prostokątny (10, 24, 26) = skalowany (5, 12, 13). Prosty wzór \\(r = \\dfrac{a+b-c}{2}\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Rozpoczynamy od podania wyrażenia, które musimy uprościć:</li></ol>\n<p>$$\\frac{\\text{sin}^3 25^\\text{o} + \\text{sin} 25^\\text{o} \\cdot \\text{cos}^2 25^\\text{o}}{\\text{cos} 25^\\text{o}}.$$</p>\n<ol><li>Możemy zauważyć, że wspólnym czynnikiem w liczniku jest $\\sin 25^\\text{o}$. Wyciągamy go na zewnątrz:</li></ol>\n<p>$$= \\frac{\\sin 25^\\text{o}(\\sin^2 25^\\text{o} + \\cos^2 25^\\text{o})}{\\cos 25^\\text{o}}.$$</p>\n<ol><li>Zgodnie z tożsamością trygonometryczną mamy:</li></ol>\n<p>$$\\sin^2 25^\\text{o} + \\cos^2 25^\\text{o} = 1.$$</p>\n<ol><li>Podstawiamy tę tożsamość do naszego wyrażenia:</li></ol>\n<p>$$= \\frac{\\sin 25^\\text{o} \\cdot 1}{\\cos 25^\\text{o}}.$$</p>\n<ol><li>Upraszczamy wyrażenie:</li></ol>\n<p>$$= \\frac{\\sin 25^\\text{o}}{\\cos 25^\\text{o}}.$$</p>\n<ol><li>Z definicji tangensa wynika, że:</li></ol>\n<p>$$\\frac{\\sin 25^\\text{o}}{\\cos 25^\\text{o}} = \\tan 25^\\text{o}.$$</p>\n<ol><li>Ostatecznie możemy zapisać wynik naszym wyrażeniu:</li></ol>\n<p>$$\\tan 25^\\text{o}.$$</p>\n<ol><li>Z wszystkich dostępnych odpowiedzi, jedyną, która odpowiada naszemu wynikowi, jest opcja C - $\\tan 25^\\text{o}$.</li></ol>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> C</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Upraszczamy wyrażenie:</p>\n<p>(sin^3 25^°+sin25^°· cos^2 25^°)/(cos25^°)</p>\n<p>W liczniku wyłączamy sin25^° przed nawias:</p>\n<p>(sin25^°(sin^2 25^°+cos^2 25^°))/(cos25^°)</p>\n<p>Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:</p>\n<p>sin^2 25^°+cos^2 25^°=1</p>\n<p>Otrzymujemy:</p>\n<p>(sin25^°)/(cos25^°)</p>\n<p>(sin25^°)/(cos25^°)=tg25^°</p>\n<p>Odpowiedź: C. tg25^°</p>"}]}