{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nDany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych 𝛼 oraz 𝛽 (zobacz rysunek).\nSinus kąta 𝛼 jest równy 4\n7\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nCosinus kąta 𝛼 jest równy 3\n7\nP\nF\nCosinus kąta 𝛽 jest równy 4\n7\nP\nF\n𝛼\n𝛽\n\nMMAP-P0_100\nDany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych α oraz β (zobacz rysunek). Sinus kąta α jest równy 4/7. [rysunek] Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Cosinus kąta α jest równy 3/7. | P | F | Cosinus kąta β jest równy 4/7. | P | F |","answer":"FP","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nVII.1) wykorzystuje definicje funkcji sinus,\ncosinus […] dla kątów od 0° do 180° […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nFP","solution":"Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych α oraz β .\n\nWiemy, że:\n\nsinα=(4)/(7)\n\nSprawdzamy pierwsze stwierdzenie.\n\nZ jedynki trygonometrycznej:\n\nsin^2α+cos^2α=1\n\n((4)/(7) )^2+cos^2α=1\n\n(16)/(49)+cos^2α=1\n\ncos^2α=(33)/(49)\n\ncosα=frac √(33) 7\n\nZatem cosα≠ (3)/(7) , więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe.\n\nPierwsze stwierdzenie: fałsz.\n\nW trójkącie prostokątnym kąty ostre są dopełniające:\n\nα+β=90^°\n\nDlatego:\n\ncosβ=sinα\n\ncosβ=(4)/(7)\n\nDrugie stwierdzenie jest prawdziwe.\n\nOdpowiedź: F, P","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-18.svg","topics":"Trygonometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 18. (0-1)<br>Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych 𝛼 oraz 𝛽 (zobacz rysunek).<br>Sinus kąta 𝛼 jest równy 4<br>7<br>Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest<br>prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.<br>Cosinus kąta 𝛼 jest równy 3<br>7<br>P<br>F<br>Cosinus kąta 𝛽 jest równy 4<br>7<br>P<br>F<br>𝛼<br>𝛽</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych α oraz β (zobacz rysunek). Sinus kąta α jest równy 4/7. [rysunek] Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe. Cosinus kąta α jest równy 3/7. | P | F | Cosinus kąta β jest równy 4/7. | P | F |</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 18. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>VII.1) wykorzystuje definicje funkcji sinus,<br>cosinus […] dla kątów od 0° do 180° […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>FP</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-18.svg"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych α oraz β .</p>\n<p>Wiemy, że:</p>\n<p>sinα=(4)/(7)</p>\n<p>Sprawdzamy pierwsze stwierdzenie.</p>\n<p>Z jedynki trygonometrycznej:</p>\n<p>sin^2α+cos^2α=1</p>\n<p>((4)/(7) )^2+cos^2α=1</p>\n<p>(16)/(49)+cos^2α=1</p>\n<p>cos^2α=(33)/(49)</p>\n<p>cosα=frac √(33) 7</p>\n<p>Zatem cosα≠ (3)/(7) , więc pierwsze stwierdzenie jest fałszywe.</p>\n<p>Pierwsze stwierdzenie: fałsz.</p>\n<p>W trójkącie prostokątnym kąty ostre są dopełniające:</p>\n<p>α+β=90^°</p>\n<p>Dlatego:</p>\n<p>cosβ=sinα</p>\n<p>cosβ=(4)/(7)</p>\n<p>Drugie stwierdzenie jest prawdziwe.</p>\n<p>Odpowiedź: F, P</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>FP</p>"}]}