{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"19","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19.\nDany jest trójkąt prostokątny o bokach długości 10, 24, 26 (zobacz rysunek).\nDany jest trójkąt prostokątny o bokach długości 10, 24, 26 (zobacz rysunek). [rysunek] Długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa A. 10/3 B. 4 C. 5 D. 80/13","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(54°\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie o kącie wpisanym i łuku\n\n**Kluczowy fakt:** Kąt wpisany jest równy połowie łuku, który naprzeciwko niego leży (czyli łuku nie zawierającego wierzchołka kąta).\n\n**Krok 1 - Wyznaczyć miarę łuku między każdymi sąsiednimi wierzchołkami.**\n\nDziesięciokąt foremny to 10 wierzchołków równomiernie rozłożonych na okręgu. Każdy bok odpowiada łukowi:\n\\[\\frac{360°}{10} = 36°\\]\n\n**Krok 2 - Ustalić, ile łuków liczy odcinek \\(AD\\).**\n\nWierzchołki w kolejności: \\(A, B, C, D, E, F, G, H, I, J\\).\n\nOd \\(A\\) do \\(D\\) (idąc przez \\(B, C\\)) - to **3 kroki**:\n\\[\\overset{\\frown}{AD} = 3 \\times 36° = 108°\\]\n\n**Krok 3 - Sprawdzić, że \\(G\\) leży na przeciwnym łuku.**\n\nOd \\(D\\) do \\(G\\) idzie się przez \\(E, F\\) - to 3 kroki. Zatem \\(G\\) leży po drugiej stronie okręgu względem krótkiego łuku \\(AD\\). ✓\n\n**Krok 4 - Zastosować twierdzenie o kącie wpisanym.**\n\nKąt \\(\\angle AGD\\) ma wierzchołek w \\(G\\) i naprzeciwko niego leży łuk \\(\\overset{\\frown}{AD} = 108°\\):\n\\[\\angle AGD = \\frac{\\overset{\\frown}{AD}}{2} = \\frac{108°}{2} = \\mathbf{54°}\\]\n\n## Sposób 2 - Suma kątów w trójkącie \\(AGD\\)\n\nWyznaczamy wszystkie trzy kąty trójkąta wpisanego w okrąg.\n\n**Krok 1 - Łuki między wierzchołkami trójkąta.**\n\n| Łuk | Przez wierzchołki | Kroków | Miara |\n| \\(\\overset{\\frown}{AD}\\) | \\(B, C\\) | 3 | \\(108°\\) |\n| \\(\\overset{\\frown}{DG}\\) | \\(E, F\\) | 3 | \\(108°\\) |\n| \\(\\overset{\\frown}{GA}\\) | \\(H, I, J\\) | 4 | \\(144°\\) |\n\nSuma: \\(108° + 108° + 144° = 360°\\) ✓\n\n**Krok 2 - Kąty trójkąta (każdy = połowa naprzeciwległego łuku).**\n\n\\[\\angle DAG = \\frac{\\overset{\\frown}{DG}}{2} = \\frac{108°}{2} = 54°\\]\n\\[\\angle GDA = \\frac{\\overset{\\frown}{GA}}{2} = \\frac{144°}{2} = 72°\\]\n\n**Krok 3 - Kąt \\(\\angle AGD\\) z sumy kątów trójkąta.**\n\\[\\angle AGD = 180° - 54° - 72° = \\mathbf{54°}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - twierdzenie o kącie wpisanym:\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku:\n> \\[\\angle \\text{wpisany} = \\frac{1}{2} \\cdot \\overset{\\frown}{AD}\\]\n\nZastosowanie: w obu sposobach wyznaczamy kąt \\(\\angle AGD\\) jako połowę łuku \\(\\overset{\\frown}{AD} = 108°\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(18°\\)) | Policzono połowę jednego kroku: \\(\\frac{36°}{2} = 18°\\) - zapomniano, że \\(AD\\) obejmuje **3** koki, nie 1 |\n| B (\\(36°\\)) | Przyjęto łuk \\(AD = 72°\\) (2 kroki zamiast 3) - błąd o jedną krawędź w liczeniu |\n| D (\\(60°\\)) | Skojarzenie z trójkątem równobocznym lub sześciokątem foremnym (\\(\\frac{120°}{2}\\)) - pomylono wielokąt |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić, ile kroków (boków) liczy odcinek \\(AD\\) - to **3** boki (\\(AB, BC, CD\\)), nie 4. Licz wierzchołki: \\(A \\to B \\to C \\to D\\) = trzy „przeskoki\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt wpisany intercepts **łuk nie zawierający jego wierzchołka**. Sprawdź zawsze, po której stronie okręgu leży \\(G\\) - musi być po przeciwnej stronie niż krótki łuk \\(AD\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W dziesięciokącie foremnym kąt środkowy na każdy bok to \\(36°\\), nie \\(30°\\) (który byłby dla 12-kąta). Nie mylić z popularnym \\(30°\\)!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Kąt środkowy i wpisany (karta wzorów)\nDziesięciokąt foremny dzieli okrąg na \\(10\\) równych łuków po \\(36^{\\circ}\\) każdy.\nŁuk \\(AD\\) (nie zawierający \\(G\\)) obejmuje \\(3\\) łuki (od \\(A\\) przez \\(B, C\\) do \\(D\\)): \\(3\\cdot 36^{\\circ} = 108^{\\circ}.\\)\nKąt wpisany \\(\\angle AGD\\) oparty na łuku \\(AD\\): \\(\\angle AGD = \\dfrac{108^{\\circ}}{2} = 54^{\\circ}.\\)\n\n### Sposób 2 - Zliczanie boków\nWierzchołki od \\(A\\) do \\(D\\) (bez \\(G\\)): \\(A \\to B \\to C \\to D\\) - przeszliśmy \\(3\\) boki. Kąt wpisany na \\(k\\) bokach foremnego \\(n\\)-kąta: \\(\\dfrac{k\\cdot 180^{\\circ}}{n} = \\dfrac{3\\cdot 180^{\\circ}}{10} = 54^{\\circ}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(18^{\\circ}\\)** - kąt wpisany na \\(1\\) boku.\n- **B. \\(36^{\\circ}\\)** - kąt środkowy na \\(1\\) łuku.\n- **D. \\(60^{\\circ}\\)** - błąd zliczania.\n\n**Trik:** kąt wpisany = \\(\\dfrac{1}{2}\\) kąta środkowego opartego na tym samym łuku.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-19.svg","topics":null,"page_from":17,"source":"maturazai","answer_source":"maturazai","answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 19.
Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości 10, 24, 26 (zobacz rysunek).
Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości 10, 24, 26 (zobacz rysunek). [rysunek] Długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa A. 10/3 B. 4 C. 5 D. 80/13

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-19.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(54°\\)

\n

Sposób 1 - Twierdzenie o kącie wpisanym i łuku

\n

Kluczowy fakt: Kąt wpisany jest równy połowie łuku, który naprzeciwko niego leży (czyli łuku nie zawierającego wierzchołka kąta).

\n

Krok 1 - Wyznaczyć miarę łuku między każdymi sąsiednimi wierzchołkami.

\n

Dziesięciokąt foremny to 10 wierzchołków równomiernie rozłożonych na okręgu. Każdy bok odpowiada łukowi:
\\[\\frac{360°}{10} = 36°\\]

\n

Krok 2 - Ustalić, ile łuków liczy odcinek \\(AD\\).

\n

Wierzchołki w kolejności: \\(A, B, C, D, E, F, G, H, I, J\\).

\n

Od \\(A\\) do \\(D\\) (idąc przez \\(B, C\\)) - to 3 kroki:
\\[\\overset{\\frown}{AD} = 3 \\times 36° = 108°\\]

\n

Krok 3 - Sprawdzić, że \\(G\\) leży na przeciwnym łuku.

\n

Od \\(D\\) do \\(G\\) idzie się przez \\(E, F\\) - to 3 kroki. Zatem \\(G\\) leży po drugiej stronie okręgu względem krótkiego łuku \\(AD\\). ✓

\n

Krok 4 - Zastosować twierdzenie o kącie wpisanym.

\n

Kąt \\(\\angle AGD\\) ma wierzchołek w \\(G\\) i naprzeciwko niego leży łuk \\(\\overset{\\frown}{AD} = 108°\\):
\\[\\angle AGD = \\frac{\\overset{\\frown}{AD}}{2} = \\frac{108°}{2} = \\mathbf{54°}\\]

\n

Sposób 2 - Suma kątów w trójkącie \\(AGD\\)

\n

Wyznaczamy wszystkie trzy kąty trójkąta wpisanego w okrąg.

\n

Krok 1 - Łuki między wierzchołkami trójkąta.

\n

| Łuk | Przez wierzchołki | Kroków | Miara |
| \\(\\overset{\\frown}{AD}\\) | \\(B, C\\) | 3 | \\(108°\\) |
| \\(\\overset{\\frown}{DG}\\) | \\(E, F\\) | 3 | \\(108°\\) |
| \\(\\overset{\\frown}{GA}\\) | \\(H, I, J\\) | 4 | \\(144°\\) |

\n

Suma: \\(108° + 108° + 144° = 360°\\) ✓

\n

Krok 2 - Kąty trójkąta (każdy = połowa naprzeciwległego łuku).

\n

\\[\\angle DAG = \\frac{\\overset{\\frown}{DG}}{2} = \\frac{108°}{2} = 54°\\]
\\[\\angle GDA = \\frac{\\overset{\\frown}{GA}}{2} = \\frac{144°}{2} = 72°\\]

\n

Krok 3 - Kąt \\(\\angle AGD\\) z sumy kątów trójkąta.
\\[\\angle AGD = 180° - 54° - 72° = \\mathbf{54°}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 19) - twierdzenie o kącie wpisanym:

\n
Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku:
\\[\\angle \\text{wpisany} = \\frac{1}{2} \\cdot \\overset{\\frown}{AD}\\]
\n

Zastosowanie: w obu sposobach wyznaczamy kąt \\(\\angle AGD\\) jako połowę łuku \\(\\overset{\\frown}{AD} = 108°\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A (\\(18°\\)) | Policzono połowę jednego kroku: \\(\\frac{36°}{2} = 18°\\) - zapomniano, że \\(AD\\) obejmuje 3 koki, nie 1 |
| B (\\(36°\\)) | Przyjęto łuk \\(AD = 72°\\) (2 kroki zamiast 3) - błąd o jedną krawędź w liczeniu |
| D (\\(60°\\)) | Skojarzenie z trójkątem równobocznym lub sześciokątem foremnym (\\(\\frac{120°}{2}\\)) - pomylono wielokąt |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić, ile kroków (boków) liczy odcinek \\(AD\\) - to 3 boki (\\(AB, BC, CD\\)), nie 4. Licz wierzchołki: \\(A \\to B \\to C \\to D\\) = trzy „przeskoki".
\n
⚠️ Uwaga: Kąt wpisany intercepts łuk nie zawierający jego wierzchołka. Sprawdź zawsze, po której stronie okręgu leży \\(G\\) - musi być po przeciwnej stronie niż krótki łuk \\(AD\\).
\n
⚠️ Uwaga: W dziesięciokącie foremnym kąt środkowy na każdy bok to \\(36°\\), nie \\(30°\\) (który byłby dla 12-kąta). Nie mylić z popularnym \\(30°\\)!
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Kąt środkowy i wpisany (karta wzorów)
\n

Dziesięciokąt foremny dzieli okrąg na \\(10\\) równych łuków po \\(36^{\\circ}\\) każdy.
Łuk \\(AD\\) (nie zawierający \\(G\\)) obejmuje \\(3\\) łuki (od \\(A\\) przez \\(B, C\\) do \\(D\\)): \\(3\\cdot 36^{\\circ} = 108^{\\circ}.\\)
Kąt wpisany \\(\\angle AGD\\) oparty na łuku \\(AD\\): \\(\\angle AGD = \\dfrac{108^{\\circ}}{2} = 54^{\\circ}.\\)

\n
Sposób 2 - Zliczanie boków
\n

Wierzchołki od \\(A\\) do \\(D\\) (bez \\(G\\)): \\(A \\to B \\to C \\to D\\) - przeszliśmy \\(3\\) boki. Kąt wpisany na \\(k\\) bokach foremnego \\(n\\)-kąta: \\(\\dfrac{k\\cdot 180^{\\circ}}{n} = \\dfrac{3\\cdot 180^{\\circ}}{10} = 54^{\\circ}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: kąt wpisany = \\(\\dfrac{1}{2}\\) kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

"}]}