{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba 256 ⋅√82\n3\njest równa\nA. 28\nB. 210\nC. 216\nD. 236\n\nMMAP-P0_100\nLiczba 256⋅∛8² jest równa A. 2^8 B. 2^10 C. 2^16 D. 2^36","answer":"B","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nI.4) stosuje związek pierwiastkowania\nz potęgowaniem oraz prawa działań na\npotęgach i pierwiastkach.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(2^{10}\\)\n\n## Sposób 1 - Zamiana wszystkiego na potęgi dwójki\n\nZaczynamy od zapisania każdego czynnika jako potęga liczby \\(2\\).\n\n**Krok 1:** Zapisz \\(256\\) jako potęgę dwójki.\n\\[256 = 2^8\\]\n\n**Krok 2:** Zapisz \\(8\\) jako potęgę dwójki.\n\\[8 = 2^3\\]\n\n**Krok 3:** Oblicz \\(8^2\\).\n\\[8^2 = (2^3)^2 = 2^{3 \\cdot 2} = 2^6\\]\n\n**Krok 4:** Oblicz pierwiastek sześcienny z \\(8^2\\).\n\\[\\sqrt[3]{8^2} = \\sqrt[3]{2^6} = 2^{\\frac{6}{3}} = 2^2 = 4\\]\n\n**Krok 5:** Pomnóż obydwa czynniki.\n\\[256 \\cdot \\sqrt[3]{8^2} = 2^8 \\cdot 2^2 = 2^{8+2} = \\mathbf{2^{10}}\\]\n\n## Sposób 2 - Zapis przez wykładnik ułamkowy od razu\n\nMożna od razu zapisać całe wyrażenie jako jeden ułamkowy wykładnik.\n\n\\[256 \\cdot \\sqrt[3]{8^2} = 2^8 \\cdot (2^3)^{\\frac{2}{3}} = 2^8 \\cdot 2^{3 \\cdot \\frac{2}{3}} = 2^8 \\cdot 2^2 = 2^{8+2} = \\mathbf{2^{10}}\\]\n\nKluczowy wzór: \\(\\sqrt[n]{a^m} = a^{\\frac{m}{n}}\\), więc \\(\\sqrt[3]{8^2} = (2^3)^{\\frac{2}{3}} = 2^2\\).\n\nWynik identyczny - **B**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\nWzory użyte w rozwiązaniu:\n\n\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}\\]\nUżyliśmy tego do zamiany \\(\\sqrt[3]{8^2}\\) na \\(8^{\\frac{2}{3}} = 2^2\\).\n\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\nUżyliśmy tego przy \\((2^3)^2 = 2^6\\) i \\((2^3)^{\\frac{2}{3}} = 2^2\\).\n\n\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]\nUżyliśmy tego na końcu: \\(2^8 \\cdot 2^2 = 2^{10}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(2^8\\) | Uczeń ignoruje czynnik \\(\\sqrt[3]{8^2}\\) i przepisuje samo \\(256 = 2^8\\) |\n| C - \\(2^{16}\\) | Zamiast pierwiastka sześciennego liczy kwadrat: \\(256 \\cdot 8^2 = 2^8 \\cdot 2^6 = 2^{14}\\), lub myli wykładniki i dostaje \\(2^{16}\\) |\n| D - \\(2^{36}\\) | Mnoży wykładniki zamiast dodawać: \\(2^8 \\cdot 2^2 = 2^{8 \\cdot 2}\\) - klasyczny błąd przy mnożeniu potęg |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie **dodajemy** wykładniki: \\(2^8 \\cdot 2^2 = 2^{10}\\), NIE \\(2^{16}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt[3]{8^2} \\neq \\sqrt[3]{8} \\cdot 2\\) - najpierw zrób \\(8^2\\), a potem pierwiastek, albo zamień od razu na wykładnik ułamkowy \\(8^{\\frac{2}{3}}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warto znać potęgi dwójki na pamięć do \\(2^{10}\\): \\(2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024\\). Widzisz 256 → od razu myślisz \\(2^8\\). To oszczędza czas na maturze!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Rozkład na potęgę 2 (karta wzorów)\n\\(256 = 2^{8}\\), \\(8 = 2^{3}\\), więc \\(8^{2} = 2^{6}\\) i \\(\\sqrt[3]{2^{6}} = 2^{6/3} = 2^{2}.\\)\n\\[256 \\cdot \\sqrt[3]{8^{2}} = 2^{8} \\cdot 2^{2} = 2^{10}.\\]\n\n### Sposób 2 - Obliczenia numeryczne\n\\(\\sqrt[3]{8^{2}} = \\sqrt[3]{64} = 4 = 2^{2}.\\) Zatem \\(256\\cdot 4 = 1024 = 2^{10}.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2^{8}\\)** - pominięto czynnik \\(\\sqrt[3]{8^{2}}\\).\n- **C. \\(2^{16}\\)** - pomylono \\(\\sqrt[3]{8^{2}}\\) z \\(8^{2}\\).\n- **D. \\(2^{36}\\)** - błędnie pomnożono wykładniki.\n\n**Trik:** \\(\\sqrt[n]{a^{m}} = a^{m/n}\\); przy potęgowaniu dodajemy wykładniki.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-2.svg","topics":"Liczby rzeczywiste, algebra","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 2. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba 256 ⋅√82
3
jest równa
A. 28
B. 210
C. 216
D. 236

\n

MMAP-P0_100
Liczba 256⋅∛8² jest równa A. 2^8 B. 2^10 C. 2^16 D. 2^36

","answer_text_html":"

Zadanie 2. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
I. Sprawność rachunkowa.
Wykonywanie obliczeń na liczbach
rzeczywistych, także przy użyciu
kalkulatora, stosowanie praw działań
matematycznych przy przekształcaniu
wyrażeń algebraicznych oraz
wykorzystywanie tych umiejętności przy
rozwiązywaniu problemów w kontekstach
rzeczywistych i teoretycznych.
Zdający:
I.4) stosuje związek pierwiastkowania
z potęgowaniem oraz prawa działań na
potęgach i pierwiastkach.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-2.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(2^{10}\\)

\n

Sposób 1 - Zamiana wszystkiego na potęgi dwójki

\n

Zaczynamy od zapisania każdego czynnika jako potęga liczby \\(2\\).

\n

Krok 1: Zapisz \\(256\\) jako potęgę dwójki.
\\[256 = 2^8\\]

\n

Krok 2: Zapisz \\(8\\) jako potęgę dwójki.
\\[8 = 2^3\\]

\n

Krok 3: Oblicz \\(8^2\\).
\\[8^2 = (2^3)^2 = 2^{3 \\cdot 2} = 2^6\\]

\n

Krok 4: Oblicz pierwiastek sześcienny z \\(8^2\\).
\\[\\sqrt[3]{8^2} = \\sqrt[3]{2^6} = 2^{\\frac{6}{3}} = 2^2 = 4\\]

\n

Krok 5: Pomnóż obydwa czynniki.
\\[256 \\cdot \\sqrt[3]{8^2} = 2^8 \\cdot 2^2 = 2^{8+2} = \\mathbf{2^{10}}\\]

\n

Sposób 2 - Zapis przez wykładnik ułamkowy od razu

\n

Można od razu zapisać całe wyrażenie jako jeden ułamkowy wykładnik.

\n

\\[256 \\cdot \\sqrt[3]{8^2} = 2^8 \\cdot (2^3)^{\\frac{2}{3}} = 2^8 \\cdot 2^{3 \\cdot \\frac{2}{3}} = 2^8 \\cdot 2^2 = 2^{8+2} = \\mathbf{2^{10}}\\]

\n

Kluczowy wzór: \\(\\sqrt[n]{a^m} = a^{\\frac{m}{n}}\\), więc \\(\\sqrt[3]{8^2} = (2^3)^{\\frac{2}{3}} = 2^2\\).

\n

Wynik identyczny - B.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)

\n

Wzory użyte w rozwiązaniu:

\n

\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m}\\]
Użyliśmy tego do zamiany \\(\\sqrt[3]{8^2}\\) na \\(8^{\\frac{2}{3}} = 2^2\\).

\n

\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]
Użyliśmy tego przy \\((2^3)^2 = 2^6\\) i \\((2^3)^{\\frac{2}{3}} = 2^2\\).

\n

\\[a^r \\cdot a^s = a^{r+s}\\]
Użyliśmy tego na końcu: \\(2^8 \\cdot 2^2 = 2^{10}\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A - \\(2^8\\) | Uczeń ignoruje czynnik \\(\\sqrt[3]{8^2}\\) i przepisuje samo \\(256 = 2^8\\) |
| C - \\(2^{16}\\) | Zamiast pierwiastka sześciennego liczy kwadrat: \\(256 \\cdot 8^2 = 2^8 \\cdot 2^6 = 2^{14}\\), lub myli wykładniki i dostaje \\(2^{16}\\) |
| D - \\(2^{36}\\) | Mnoży wykładniki zamiast dodawać: \\(2^8 \\cdot 2^2 = 2^{8 \\cdot 2}\\) - klasyczny błąd przy mnożeniu potęg |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki: \\(2^8 \\cdot 2^2 = 2^{10}\\), NIE \\(2^{16}\\).
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\sqrt[3]{8^2} \\neq \\sqrt[3]{8} \\cdot 2\\) - najpierw zrób \\(8^2\\), a potem pierwiastek, albo zamień od razu na wykładnik ułamkowy \\(8^{\\frac{2}{3}}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Warto znać potęgi dwójki na pamięć do \\(2^{10}\\): \\(2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024\\). Widzisz 256 → od razu myślisz \\(2^8\\). To oszczędza czas na maturze!
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Rozkład na potęgę 2 (karta wzorów)
\n

\\(256 = 2^{8}\\), \\(8 = 2^{3}\\), więc \\(8^{2} = 2^{6}\\) i \\(\\sqrt[3]{2^{6}} = 2^{6/3} = 2^{2}.\\)
\\[256 \\cdot \\sqrt[3]{8^{2}} = 2^{8} \\cdot 2^{2} = 2^{10}.\\]

\n
Sposób 2 - Obliczenia numeryczne
\n

\\(\\sqrt[3]{8^{2}} = \\sqrt[3]{64} = 4 = 2^{2}.\\) Zatem \\(256\\cdot 4 = 1024 = 2^{10}.\\)

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: \\(\\sqrt[n]{a^{m}} = a^{m/n}\\); przy potęgowaniu dodajemy wykładniki.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zaczniemy od zapisania liczby, którą mamy do obliczenia: $$256 \\times \\sqrt[3]{64}$$.
\n
  1. Zauważmy, że zarówno $256$, jak i $64$ można zapisać w postaci potęgi liczby $2$. Zapiszmy to: $256 = 2^8$ oraz $64 = 2^6$.
\n
  1. Podstawiamy te wartości do naszego wyrażenia:
\n

$$2^8 \\times \\sqrt[3]{2^6}$$.

\n
  1. Obliczmy teraz $\\sqrt[3]{2^6}$. Wykorzystujemy wzór na pierwiastek: $$\\sqrt[3]{a^b} = a^{\\frac{b}{n}}$$. W naszym przypadku:
\n

$$\\sqrt[3]{2^6} = 2^{\\frac{6}{3}} = 2^2$$.

\n
  1. Teraz możemy zapisać nasze wyrażenie z wykorzystaniem tej wartości:
\n

$$2^8 \\times 2^2$$.

\n
  1. Użyjemy zasady mnożenia potęg o tej samej podstawie, która mówi, że $$a^m \\times a^n = a^{m+n}$$. Zatem:
\n

$$2^8 \\times 2^2 = 2^{8+2} = 2^{10}$$.

\n
  1. Ostatecznie zatem mamy:
\n

$$256 \\times \\sqrt[3]{64} = 2^{10}$$.

\n
  1. Przyjrzyjmy się teraz opcjom odpowiedzi. Prawidłowa odpowiedź to: $2^{10}$, co odpowiada opcji B.
\n

Odpowiedź: Prawidłowa odpowiedź to $2^{10}$.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Obliczamy wartość wyrażenia:

\n

256·√3

\n

Sprowadzamy liczby do potęg liczby 2 :

\n

256=2^8, 8=2^3

\n

Najpierw upraszczamy wyrażenie pod pierwiastkiem:

\n

8^2=(2^3)^2

\n

Korzystamy ze wzoru (a^m)^n=a^mn :

\n

(2^3)^2=2^6

\n

Zatem:

\n

√3=√3

\n

Pierwiastek sześcienny to potęga o wykładniku (1)/(3) :

\n

√3=(2^6)^(1)/(3)=2^6·(1)/(3)=2^2

\n

Teraz podstawiamy do całego wyrażenia:

\n

256·√3
2^8·2^2

\n

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki:

\n

2^8·2^2=2^10

\n

Odpowiedź: B. 2^10

"}]}