{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nNa dziesięciokącie foremnym 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻𝐼𝐽 opisano okrąg o środku w punkcie 𝑆\n(zobacz rysunek).\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nMiara kąta wpisanego 𝐴𝐺𝐷 jest równa\nA. 18°\nB. 36°\nC. 54°\nD. 60°\n𝐵\n𝑆\n𝐴\n𝐶\n𝐷\n𝐹\n𝐸\n𝐺\n𝐻\n𝐼\n𝐽\n\nMMAP-P0_100\nNa dziesięciokącie foremnym ABCDEFGHIJ opisano okrąg o środku w punkcie S (zobacz rysunek). [rysunek] Miara kąta wpisanego AGD jest równa A. 18° B. 36° C. 54° D. 60°","answer":"C","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nVIII.5) stosuje własności kątów wpisanych\ni środkowych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Układ z polem kwadratu\n\n**Od czego zaczynamy:** skala podobieństwa \\(k = 5\\) oznacza, że każdy liniowy wymiar (w tym bok) jest 5 razy większy w \\(\\mathcal{K}_2\\) niż w \\(\\mathcal{K}_1\\).\n\nOznaczmy bok kwadratu \\(\\mathcal{K}_1\\) jako \\(a\\). Wtedy bok \\(\\mathcal{K}_2\\) wynosi \\(5a\\).\n\nPole \\(\\mathcal{K}_1\\):\n\\[P_1 = a^2\\]\n\nPole \\(\\mathcal{K}_2\\):\n\\[P_2 = (5a)^2 = 25a^2\\]\n\nSuma pól równa \\(78\\):\n\\[a^2 + 25a^2 = 78\\]\n\\[26a^2 = 78\\]\n\\[a^2 = \\frac{78}{26} = 3\\]\n\\[a = \\sqrt{3}\\]\n\n**Długość boku \\(\\mathcal{K}_1\\) wynosi \\(\\sqrt{3}\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy, czy \\(a = \\sqrt{3}\\) spełnia warunki zadania:\n\n- Bok \\(\\mathcal{K}_1\\): \\(\\sqrt{3}\\), pole: \\((\\sqrt{3})^2 = 3\\)\n- Bok \\(\\mathcal{K}_2\\): \\(5\\sqrt{3}\\), pole: \\((5\\sqrt{3})^2 = 25 \\cdot 3 = 75\\)\n- Suma pól: \\(3 + 75 = 78\\) ✓\n- Stosunek boków: \\(\\dfrac{5\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}} = 5\\) ✓\n\nWszystkie warunki spełnione.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - pole figur podobnych:\n\\[\\frac{P_{\\mathcal{K}_2}}{P_{\\mathcal{K}_1}} = k^2\\]\ngdzie \\(k\\) to skala podobieństwa. Skoro \\(k = 5\\), pole \\(\\mathcal{K}_2\\) jest \\(25\\) razy większe od pola \\(\\mathcal{K}_1\\). Tego wzoru użyliśmy w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B - \\(3\\) | Uczeń poprawnie liczy \\(a^2 = 3\\), ale podaje \\(a^2\\) zamiast \\(a = \\sqrt{3}\\) - zapomina wyciągnąć pierwiastek |\n| C - \\(\\sqrt{13}\\) | Uczeń myli skalę podobieństwa boków z skalą pól: zakłada błędnie, że pola mają się jak \\(5:1\\), więc \\(P_1 + P_2 = 6a^2 = 78\\), stąd \\(a^2 = 13\\), \\(a = \\sqrt{13}\\) |\n| D - \\(13\\) | Jak błąd w C (pomylona skala pól), a dodatkowo zapomniano wyciągnąć pierwiastek: \\(6a^2 = 78 \\Rightarrow a^2 = 13\\) i podaje \\(13\\) zamiast \\(\\sqrt{13}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Skala podobieństwa \\(k = 5\\) dotyczy **boków** (długości liniowych), nie pól! Pole rośnie z kwadratem skali - \\(k^2 = 25\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po uzyskaniu \\(a^2 = 3\\) nie zapomnij wyciągnąć pierwiastka - wynik to \\(a = \\sqrt{3}\\), nie \\(3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kwadrat podobny w skali \\(5\\) **do** \\(\\mathcal{K}_1\\) oznacza, że \\(\\mathcal{K}_2\\) jest \\(5\\times\\) **większy**, nie mniejszy. Upewnij się, który kwadrat jest wzorcem, a który obrazem.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Stosunek pól figur podobnych (karta wzorów)\nNiech \\(a\\) - bok \\(\\mathcal{K}_{1}\\), wtedy bok \\(\\mathcal{K}_{2}\\) to \\(5a.\\) Pola: \\(a^{2}\\) i \\(25a^{2}\\).\nSuma: \\(a^{2} + 25a^{2} = 26a^{2} = 78 \\Rightarrow a^{2} = 3 \\Rightarrow a = \\sqrt{3}.\\)\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nDla \\(a = \\sqrt{3}\\): pole \\(\\mathcal{K}_{1} = 3\\); bok \\(\\mathcal{K}_{2} = 5\\sqrt{3}\\); pole \\(\\mathcal{K}_{2} = 75\\). Suma \\(3+75 = 78\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(3\\)** - to pole \\(\\mathcal{K}_{1}\\), nie bok.\n- **C. \\(\\sqrt{13}\\)** - ktoś pomylił skalę z \\(\\sqrt{2}\\).\n- **D. \\(13\\)** - błędne podzielenie \\(78/6\\).\n\n**Trik:** w podobieństwie w skali \\(k\\) pola mają stosunek \\(k^{2}\\).","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-20.svg","topics":"Kąty w okręgu, planimetria","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 20. (0-1)<br>Na dziesięciokącie foremnym 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻𝐼𝐽 opisano okrąg o środku w punkcie 𝑆<br>(zobacz rysunek).<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Miara kąta wpisanego 𝐴𝐺𝐷 jest równa<br>A. 18°<br>B. 36°<br>C. 54°<br>D. 60°<br>𝐵<br>𝑆<br>𝐴<br>𝐶<br>𝐷<br>𝐹<br>𝐸<br>𝐺<br>𝐻<br>𝐼<br>𝐽</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Na dziesięciokącie foremnym ABCDEFGHIJ opisano okrąg o środku w punkcie S (zobacz rysunek). [rysunek] Miara kąta wpisanego AGD jest równa A. 18° B. 36° C. 54° D. 60°</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 20. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>VIII.5) stosuje własności kątów wpisanych<br>i środkowych.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-20.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(\\sqrt{3}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Układ z polem kwadratu</h4>\n<p><strong>Od czego zaczynamy:</strong> skala podobieństwa \\(k = 5\\) oznacza, że każdy liniowy wymiar (w tym bok) jest 5 razy większy w \\(\\mathcal{K}_2\\) niż w \\(\\mathcal{K}_1\\).</p>\n<p>Oznaczmy bok kwadratu \\(\\mathcal{K}_1\\) jako \\(a\\). Wtedy bok \\(\\mathcal{K}_2\\) wynosi \\(5a\\).</p>\n<p>Pole \\(\\mathcal{K}_1\\):<br>\\[P_1 = a^2\\]</p>\n<p>Pole \\(\\mathcal{K}_2\\):<br>\\[P_2 = (5a)^2 = 25a^2\\]</p>\n<p>Suma pól równa \\(78\\):<br>\\[a^2 + 25a^2 = 78\\]<br>\\[26a^2 = 78\\]<br>\\[a^2 = \\frac{78}{26} = 3\\]<br>\\[a = \\sqrt{3}\\]</p>\n<p><strong>Długość boku \\(\\mathcal{K}_1\\) wynosi \\(\\sqrt{3}\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy \\(a = \\sqrt{3}\\) spełnia warunki zadania:</p>\n<ul><li>Bok \\(\\mathcal{K}_1\\): \\(\\sqrt{3}\\), pole: \\((\\sqrt{3})^2 = 3\\)</li><li>Bok \\(\\mathcal{K}_2\\): \\(5\\sqrt{3}\\), pole: \\((5\\sqrt{3})^2 = 25 \\cdot 3 = 75\\)</li><li>Suma pól: \\(3 + 75 = 78\\) ✓</li><li>Stosunek boków: \\(\\dfrac{5\\sqrt{3}}{\\sqrt{3}} = 5\\) ✓</li></ul>\n<p>Wszystkie warunki spełnione.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)</strong> - pole figur podobnych:<br>\\[\\frac{P_{\\mathcal{K}<em>2}}{P</em>{\\mathcal{K}_1}} = k^2\\]<br>gdzie \\(k\\) to skala podobieństwa. Skoro \\(k = 5\\), pole \\(\\mathcal{K}_2\\) jest \\(25\\) razy większe od pola \\(\\mathcal{K}_1\\). Tego wzoru użyliśmy w Sposobie 1.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| B - \\(3\\) | Uczeń poprawnie liczy \\(a^2 = 3\\), ale podaje \\(a^2\\) zamiast \\(a = \\sqrt{3}\\) - zapomina wyciągnąć pierwiastek |<br>| C - \\(\\sqrt{13}\\) | Uczeń myli skalę podobieństwa boków z skalą pól: zakłada błędnie, że pola mają się jak \\(5:1\\), więc \\(P_1 + P_2 = 6a^2 = 78\\), stąd \\(a^2 = 13\\), \\(a = \\sqrt{13}\\) |<br>| D - \\(13\\) | Jak błąd w C (pomylona skala pól), a dodatkowo zapomniano wyciągnąć pierwiastek: \\(6a^2 = 78 \\Rightarrow a^2 = 13\\) i podaje \\(13\\) zamiast \\(\\sqrt{13}\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Skala podobieństwa \\(k = 5\\) dotyczy <strong>boków</strong> (długości liniowych), nie pól! Pole rośnie z kwadratem skali - \\(k^2 = 25\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadania.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Po uzyskaniu \\(a^2 = 3\\) nie zapomnij wyciągnąć pierwiastka - wynik to \\(a = \\sqrt{3}\\), nie \\(3\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kwadrat podobny w skali \\(5\\) <strong>do</strong> \\(\\mathcal{K}_1\\) oznacza, że \\(\\mathcal{K}_2\\) jest \\(5\\times\\) <strong>większy</strong>, nie mniejszy. Upewnij się, który kwadrat jest wzorcem, a który obrazem.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Stosunek pól figur podobnych (karta wzorów)</h5>\n<p>Niech \\(a\\) - bok \\(\\mathcal{K}<em>{1}\\), wtedy bok \\(\\mathcal{K}</em>{2}\\) to \\(5a.\\) Pola: \\(a^{2}\\) i \\(25a^{2}\\).<br>Suma: \\(a^{2} + 25a^{2} = 26a^{2} = 78 \\Rightarrow a^{2} = 3 \\Rightarrow a = \\sqrt{3}.\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie</h5>\n<p>Dla \\(a = \\sqrt{3}\\): pole \\(\\mathcal{K}<em>{1} = 3\\); bok \\(\\mathcal{K}</em>{2} = 5\\sqrt{3}\\); pole \\(\\mathcal{K}_{2} = 75\\). Suma \\(3+75 = 78\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(3\\)</strong> - to pole \\(\\mathcal{K}_{1}\\), nie bok.</li><li><strong>C. \\(\\sqrt{13}\\)</strong> - ktoś pomylił skalę z \\(\\sqrt{2}\\).</li><li><strong>D. \\(13\\)</strong> - błędne podzielenie \\(78/6\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> w podobieństwie w skali \\(k\\) pola mają stosunek \\(k^{2}\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, miara kąta środkowego $ASD$ jest równa $\\small \\displaystyle 360^\\circ \\cdot \\frac{3}{10}=108^\\circ$. Kąt $AGD$ jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku - a więc jego miara jest dwa razy mniejsza: $108^\\circ:2=54^\\circ$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Dziesięciokąt foremny ma 10 równych łuków na okręgu opisanym.</p>\n<p>Miara jednego łuku, czyli jednego kąta środkowego, wynosi:</p>\n<p>(360^°)/(10)=36^°</p>\n<p>Kąt wpisany ∠ AGD jest oparty na łuku AD , który nie zawiera punktu G .</p>\n<p>Łuk od A do D przechodzi przez trzy kolejne odcinki:</p>\n<p>AB, BC, CD</p>\n<p>Jego miara jest więc równa:</p>\n<p>3·36^°=108^°</p>\n<p>Kąt wpisany jest równy połowie miary łuku, na którym jest oparty:</p>\n<p>|∠ AGD|=(108^°)/(2)=54^°</p>\n<p>Odpowiedź: C. 54^°</p>"}]}