{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nKwadrat 𝒦2 jest podobny do kwadratu 𝒦1 w skali 5 (zobacz rysunek).\nSuma pól tych kwadratów jest równa 78.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDługość boku kwadratu 𝒦1 jest równa\nA. √3\nB. 3\nC. √13\nD. 13\n𝒦1\n𝒦2\n\nMMAP-P0_100\nKwadrat K_2 jest podobny do kwadratu K_1 w skali 5 (zobacz rysunek). Suma pól tych kwadratów jest równa 78. [rysunek] Długość boku kwadratu K_1 jest równa A. √3 B. 3 C. √13 D. 13","answer":"A","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n3. Dobieranie argumentów do uzasadnienia\npoprawności rozwiązywania problemów,\ntworzenie ciągu argumentów,\ngwarantujących poprawność rozwiązania\ni skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań\nzagadnienia.\nZdający:\nVIII.9) wykorzystuje zależności między\nobwodami oraz między polami figur\npodobnych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(y = -x - 4\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie odbicia punktu\n\nSymetria osiowa względem osi \\(Oy\\) zamienia każdy punkt \\((x, y)\\) na \\((-x, y)\\).\n\nŻeby znaleźć równanie obrazu prostej \\(k\\), weźmy dowolny punkt \\(P(x, y)\\) leżący na prostej \\(l\\). Jego obraz w symetrii względem \\(Oy\\) to punkt \\(P'(-x, y)\\), który **musi leżeć na prostej \\(k\\)**.\n\nProsta \\(k\\): \\(y = x - 4\\), więc \\(P'(-x, y)\\) spełnia:\n\\[y = (-x) - 4\\]\n\\[y = -x - 4\\]\n\n**To jest równanie prostej \\(l\\).**\n\nOdpowiedź: **C. \\(y = -x - 4\\)**\n\n## Sposób 2 - Transformacja współczynników kierunkowych\n\nSymetria względem osi \\(Oy\\) wykonuje przekształcenie \\(x \\mapsto -x\\). Podstawiamy \\(-x\\) w miejsce \\(x\\) w równaniu prostej \\(k\\):\n\nProsta \\(k\\): \\(y = x - 4\\)\n\nZastępujemy \\(x\\) przez \\(-x\\):\n\\[y = (-x) - 4 = -x - 4\\]\n\nSprawdzenie - prosta \\(k\\) ma współczynnik kierunkowy \\(a = 1\\) i przecina oś \\(Oy\\) w punkcie \\((0, -4)\\).\n\nPo odbiciu względem \\(Oy\\):\n- Współczynnik kierunkowy zmienia znak: \\(1 \\to -1\\) (prosta \"przechyla się\" na drugą stronę)\n- Punkt przecięcia z \\(Oy\\) zostaje ten sam \\((0, -4)\\), bo leży **na osi symetrii**\n\nZatem \\(l\\): \\(y = -1 \\cdot x + (-4) = -x - 4\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b\\]\ngdzie \\(a\\) to współczynnik kierunkowy (nachylenie prostej).\n\nKluczowa obserwacja: odbicie względem \\(Oy\\) zmienia znak współczynnika kierunkowego (\\(a \\to -a\\)), ale **wyraz wolny \\(b\\) pozostaje bez zmian**, gdy prosta przecina oś \\(Oy\\) (bo punkt na \\(Oy\\) odbija się na siebie).\n\nW tym zadaniu nie potrzebujemy żadnego specjalnego wzoru z karty - wystarczy definicja symetrii i podstawienie.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\((y = x - 4)\\) | Nie wykonano żadnego odbicia - prosta \\(l\\) jest identyczna jak \\(k\\). Tak byłoby przy symetrii względem osi \\(Ox\\) z zamianą znaku \\(y\\), ale tu nic się nie zmieniło. |\n| B \\((y = x + 4)\\) | Zmieniono znak wyrazu wolnego \\(b\\), zostawiając współczynnik kierunkowy - to błędne. Symetria względem \\(Oy\\) nie zmienia \\(b\\), zmienia \\(a\\). |\n| D \\((y = -x + 4)\\) | Zmieniono oba znaki jednocześnie (i \\(a\\), i \\(b\\)). To byłoby odbicie względem **początku układu współrzędnych** (symetria środkowa), nie względem osi \\(Oy\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetria względem \\(Oy\\) zmienia tylko znak \\(x\\) - czyli zamienia współczynnik kierunkowy \\(a\\) na \\(-a\\). Wyraz wolny \\(b\\) **zostaje bez zmian** (o ile prosta przecina \\(Oy\\), bo ten punkt leży na osi symetrii).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić symetrii względem \\(Oy\\) (\\(x \\mapsto -x\\), \\(y \\mapsto y\\)) z symetrią względem \\(Ox\\) (\\(x \\mapsto x\\), \\(y \\mapsto -y\\)) ani z symetrią środkową (\\(x \\mapsto -x\\), \\(y \\mapsto -y\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Szybki test - punkt \\((4, 0)\\) leży na prostej \\(k\\) (bo \\(0 = 4 - 4\\)). Jego obraz w symetrii względem \\(Oy\\) to \\((-4, 0)\\). Sprawdź, czy \\((-4, 0)\\) leży na prostej C: \\(0 = -(-4) - 4 = 4 - 4 = 0\\) ✓\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Symetria względem osi \\(Oy\\) (karta wzorów)\nPrzekształcenie: \\((x,y) \\to (-x, y).\\) Podmieniamy \\(x\\) na \\(-x\\) w równaniu: \\(y = -x - 4.\\)\n\n### Sposób 2 - Punkty kontrolne\nNa \\(k\\): \\((0,-4)\\) i \\((4,0)\\).\nOdbicia: \\((0,-4)\\) (zostaje) i \\((-4,0)\\).\nRównanie przez te punkty: \\(y - (-4) = \\dfrac{0-(-4)}{-4-0}(x - 0) = -1\\cdot x\\), czyli \\(y = -x - 4.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(y = x - 4\\)** - to sama prosta \\(k\\).\n- **B. \\(y = x + 4\\)** - symetria względem osi \\(Ox\\).\n- **D. \\(y = -x + 4\\)** - symetria względem początku układu.\n\n**Trik:** symetria wzgl. osi \\(Oy\\): \\(x \\to -x\\); wzgl. osi \\(Ox\\): \\(y \\to -y\\).","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-21.svg","topics":"Figury podobne, planimetria","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 21. (0-1)
Kwadrat 𝒦2 jest podobny do kwadratu 𝒦1 w skali 5 (zobacz rysunek).
Suma pól tych kwadratów jest równa 78.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Długość boku kwadratu 𝒦1 jest równa
A. √3
B. 3
C. √13
D. 13
𝒦1
𝒦2

\n

MMAP-P0_100
Kwadrat K_2 jest podobny do kwadratu K_1 w skali 5 (zobacz rysunek). Suma pól tych kwadratów jest równa 78. [rysunek] Długość boku kwadratu K_1 jest równa A. √3 B. 3 C. √13 D. 13

","answer_text_html":"

Zadanie 21. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Dobieranie argumentów do uzasadnienia
\n

poprawności rozwiązywania problemów,
tworzenie ciągu argumentów,
gwarantujących poprawność rozwiązania
i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań
zagadnienia.
Zdający:
VIII.9) wykorzystuje zależności między
obwodami oraz między polami figur
podobnych.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
A

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-21.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(y = -x - 4\\)

\n

Sposób 1 - Podstawienie odbicia punktu

\n

Symetria osiowa względem osi \\(Oy\\) zamienia każdy punkt \\((x, y)\\) na \\((-x, y)\\).

\n

Żeby znaleźć równanie obrazu prostej \\(k\\), weźmy dowolny punkt \\(P(x, y)\\) leżący na prostej \\(l\\). Jego obraz w symetrii względem \\(Oy\\) to punkt \\(P'(-x, y)\\), który musi leżeć na prostej \\(k\\).

\n

Prosta \\(k\\): \\(y = x - 4\\), więc \\(P'(-x, y)\\) spełnia:
\\[y = (-x) - 4\\]
\\[y = -x - 4\\]

\n

To jest równanie prostej \\(l\\).

\n

Odpowiedź: C. \\(y = -x - 4\\)

\n

Sposób 2 - Transformacja współczynników kierunkowych

\n

Symetria względem osi \\(Oy\\) wykonuje przekształcenie \\(x \\mapsto -x\\). Podstawiamy \\(-x\\) w miejsce \\(x\\) w równaniu prostej \\(k\\):

\n

Prosta \\(k\\): \\(y = x - 4\\)

\n

Zastępujemy \\(x\\) przez \\(-x\\):
\\[y = (-x) - 4 = -x - 4\\]

\n

Sprawdzenie - prosta \\(k\\) ma współczynnik kierunkowy \\(a = 1\\) i przecina oś \\(Oy\\) w punkcie \\((0, -4)\\).

\n

Po odbiciu względem \\(Oy\\):

\n\n

Zatem \\(l\\): \\(y = -1 \\cdot x + (-4) = -x - 4\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - równanie kierunkowe prostej:
\\[y = ax + b\\]
gdzie \\(a\\) to współczynnik kierunkowy (nachylenie prostej).

\n

Kluczowa obserwacja: odbicie względem \\(Oy\\) zmienia znak współczynnika kierunkowego (\\(a \\to -a\\)), ale wyraz wolny \\(b\\) pozostaje bez zmian, gdy prosta przecina oś \\(Oy\\) (bo punkt na \\(Oy\\) odbija się na siebie).

\n

W tym zadaniu nie potrzebujemy żadnego specjalnego wzoru z karty - wystarczy definicja symetrii i podstawienie.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A \\((y = x - 4)\\) | Nie wykonano żadnego odbicia - prosta \\(l\\) jest identyczna jak \\(k\\). Tak byłoby przy symetrii względem osi \\(Ox\\) z zamianą znaku \\(y\\), ale tu nic się nie zmieniło. |
| B \\((y = x + 4)\\) | Zmieniono znak wyrazu wolnego \\(b\\), zostawiając współczynnik kierunkowy - to błędne. Symetria względem \\(Oy\\) nie zmienia \\(b\\), zmienia \\(a\\). |
| D \\((y = -x + 4)\\) | Zmieniono oba znaki jednocześnie (i \\(a\\), i \\(b\\)). To byłoby odbicie względem początku układu współrzędnych (symetria środkowa), nie względem osi \\(Oy\\). |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Symetria względem \\(Oy\\) zmienia tylko znak \\(x\\) - czyli zamienia współczynnik kierunkowy \\(a\\) na \\(-a\\). Wyraz wolny \\(b\\) zostaje bez zmian (o ile prosta przecina \\(Oy\\), bo ten punkt leży na osi symetrii).
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić symetrii względem \\(Oy\\) (\\(x \\mapsto -x\\), \\(y \\mapsto y\\)) z symetrią względem \\(Ox\\) (\\(x \\mapsto x\\), \\(y \\mapsto -y\\)) ani z symetrią środkową (\\(x \\mapsto -x\\), \\(y \\mapsto -y\\)).
\n
⚠️ Uwaga: Szybki test - punkt \\((4, 0)\\) leży na prostej \\(k\\) (bo \\(0 = 4 - 4\\)). Jego obraz w symetrii względem \\(Oy\\) to \\((-4, 0)\\). Sprawdź, czy \\((-4, 0)\\) leży na prostej C: \\(0 = -(-4) - 4 = 4 - 4 = 0\\) ✓
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Symetria względem osi \\(Oy\\) (karta wzorów)
\n

Przekształcenie: \\((x,y) \\to (-x, y).\\) Podmieniamy \\(x\\) na \\(-x\\) w równaniu: \\(y = -x - 4.\\)

\n
Sposób 2 - Punkty kontrolne
\n

Na \\(k\\): \\((0,-4)\\) i \\((4,0)\\).
Odbicia: \\((0,-4)\\) (zostaje) i \\((-4,0)\\).
Równanie przez te punkty: \\(y - (-4) = \\dfrac{0-(-4)}{-4-0}(x - 0) = -1\\cdot x\\), czyli \\(y = -x - 4.\\)

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: symetria wzgl. osi \\(Oy\\): \\(x \\to -x\\); wzgl. osi \\(Ox\\): \\(y \\to -y\\).

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zacznijmy od określenia długości boku kwadratu $K_1$. Oznaczmy długość boku kwadratu $K_1$ jako $a$. W takim razie pole kwadratu $K_1$ można zapisać jako:
\n

$$P_1 = a^2$$

\n
  1. Ponieważ kwadrat $K_2$ jest podobny do kwadratu $K_1$ w skali $5$, jego długość boku wynosi:
\n

$$b = 5a$$

\n
  1. Obliczamy pole kwadratu $K_2$, których bok wynosi $5a$:
\n

$$P_2 = (5a)^2 = 25a^2$$

\n
  1. Suma pól obu kwadratów jest równa 78, co zapisujemy jako:
\n

$$P_1 + P_2 = 78$$

\n
  1. Podstawiamy wyrażenia za pola kwadratów do równania:
\n

$$a^2 + 25a^2 = 78$$

\n
  1. Upraszczamy równanie przez dodanie wyrazów podobnych:
\n

$$26a^2 = 78$$

\n
  1. Dzielimy obie strony równania przez 26, aby znaleźć $a^2$:
\n

$$a^2 = \\frac{78}{26}$$

\n
  1. Obliczamy wartość $\\frac{78}{26}$:
\n

$$a^2 = 3$$

\n
  1. Aby otrzymać długość boku kwadratu $K_1$, bierzemy pierwiastek kwadratowy:
\n

$$a = \\sqrt{3}$$

\n

Odpowiedź: Długość boku kwadratu $K_1$ jest równa $\\sqrt{3}$.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Niech a oznacza długość boku kwadratu mathcal K_1 .

\n

Kwadrat mathcal K_2 jest podobny do kwadratu mathcal K_1 w skali 5 , więc jego bok ma długość:

\n

5a

\n

Pole kwadratu mathcal K_1 :

\n

a^2

\n

Pole kwadratu mathcal K_2 :

\n

(5a)^2=25a^2

\n

Suma pól tych kwadratów jest równa 78 , więc:

\n

a^2+25a^2=78

\n

26a^2=78

\n

a^2=3

\n

a=√(3)

\n

Odpowiedź: A. √(3)

"}]}