{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"22","points":2,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-2)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dana jest prosta 𝑘 o równaniu\n𝑦= 5𝑥+ 7. Prosta 𝑙 jest równoległa do prostej 𝑘 i przecina oś 𝑂𝑦 w punkcie (0, -4).\nPunkt o współrzędnych (𝑝, 2) należy do prostej 𝑙.\nOblicz 𝒑. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dana jest prosta k o równaniu y=5x+7. Prosta l jest równoległa do prostej k i przecina oś Oy w punkcie (0,-4). Punkt o współrzędnych (p,2) należy do prostej l. Oblicz p. Zapisz obliczenia.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 22. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nIX.2) posługuje się równaniami prostych na\npłaszczyźnie […].\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑝= 6\n5\n1 pkt - zapisanie równania prostej 𝑙: 𝑦= 5𝑥-4\nALBO\n- zapisanie równania z niewiadomą 𝑝, np.:\n2 + 4\n𝑝-0 = 5, |5 ⋅𝑝-2 + 7|\n√52 + (-1)2 = |5 ⋅0 -(-4) + 7|\n√52 + (-1)2\n,\nALBO\n- zapisanie układu dwóch równań liniowych prowadzącego do obliczenia 𝑝, np.\n-4 = 5 ⋅0 + 𝑏 oraz 2 = 5 ⋅𝑝+ 𝑏.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nProsta 𝑙 jest równoległa do prostej 𝑘, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑙 jest równy 5.\nPonadto prosta 𝑙 przecina oś 𝑂𝑦 w punkcie (0, -4), zatem równanie prostej 𝑙 ma\npostać: 𝑦= 5𝑥-4.\nPunkt o współrzędnych (𝑝, 2) należy do prostej 𝑙, stąd:\n2 = 5𝑝-4\n𝑝= 6\n5\nSposób II\nProsta 𝑙 jest równoległa do prostej 𝑘, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑙 jest równy 5.\nPonadto prosta 𝑙 przechodzi przez punkty (0, -4) oraz (𝑝, 2).\nZatem ze wzoru na współczynnik kierunkowy prostej otrzymujemy równanie:\n2 + 4\n𝑝-0 = 5\nStąd:\n5𝑝= 6\n𝑝= 6\n5","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(a = 2\\)\n\n## Sposób 1 - Układ warunków i bezpośrednie obliczenie\n\n**Oznaczenia:** niech \\(a\\) = długość krawędzi podstawy, \\(P_p\\) = pole podstawy, \\(P_b\\) = pole powierzchni bocznej.\n\n**Krok 1. Wyrażamy pola przez \\(a\\).**\n\nPodstawa to kwadrat o boku \\(a\\):\n\\[P_p = a^2\\]\n\n**Krok 2. Korzystamy z warunku: pole boczne jest cztery razy większe od pola podstawy.**\n\\[P_b = 4 \\cdot P_p = 4a^2\\]\n\n**Krok 3. Pole powierzchni całkowitej to suma pola podstawy i pola bocznego.**\n\\[P_c = P_p + P_b = a^2 + 4a^2 = 5a^2\\]\n\n**Krok 4. Podstawiamy warunek \\(P_c = 20\\).**\n\\[5a^2 = 20\\]\n\\[a^2 = 4\\]\n\\[a = 2\\]\n\n(Odrzucamy \\(a = -2\\), bo długość jest dodatnia.)\n\n**Odpowiedź: długość krawędzi podstawy wynosi \\(a = 2\\).**\n\n## Sposób 2 - Podstawienie przez pole podstawy (zmienna pomocnicza)\n\nZamiast od razu pisać \\(a^2\\), wprowadźmy zmienną pomocniczą \\(x = P_p\\).\n\nZ warunku o czterokrotności:\n\\[P_b = 4x\\]\n\nPole całkowite:\n\\[P_c = P_p + P_b = x + 4x = 5x = 20\\]\n\\[x = 4\\]\n\nZatem pole podstawy \\(P_p = 4\\), a ponieważ podstawa to kwadrat:\n\\[a^2 = 4 \\implies a = 2\\]\n\n**Weryfikacja:** Dla \\(a = 2\\): \\(P_p = 4\\), \\(P_b = 16\\), \\(P_c = 4 + 16 = 20\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28):**\n\nPole powierzchni całkowitej graniastosłupa / ostrosłupa:\n\\[P_c = P_b + P_p\\]\n\nW tym zadaniu nie potrzebujemy wzoru na pole boczne przez apotema (warunek jest podany wprost jako zależność \\(P_b = 4P_p\\)), wystarczy wzór na pole podstawy kwadratu \\(P_p = a^2\\) i definicja pola całkowitego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B. \\(\\sqrt{5}\\) | Uczeń oblicza \\(a^2 = 5\\) - zapomina podzielić przez 5 i mylnie przyjmuje \\(5a^2 = a^2 \\cdot 5\\), a potem bierze \\(a = \\sqrt{20/4}\\) mieszając pola |\n| C. \\(\\sqrt{10}\\) | Uczeń liczy \\(a^2 = \\frac{20}{2} = 10\\) - dzieli przez 2 zamiast przez 5 (np. biorąc tylko dwa „kawałki\" zamiast pięciu) |\n| D. \\(4\\) | Uczeń poprawnie dostaje \\(a^2 = 4\\), ale następnie **nie wyciąga pierwiastka** i podaje \\(a = a^2 = 4\\) |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole powierzchni **całkowitej** = pole **boczne** + pole **podstawy** (nie zapominaj o podstawie!). Częsty błąd to liczenie tylko pola bocznego jako pola całkowitego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma **jedną** podstawę (kwadrat), nie dwie. Gdyby to był graniastosłup, doliczylibyśmy dwie podstawy - tutaj tylko jedną.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z równania \\(a^2 = 4\\) wynika \\(a = 2\\), **nie** \\(a = 4\\). To klasyczny błąd: pomylenie \\(a^2\\) z \\(a\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Ułożenie równania (karta wzorów)\nNiech \\(P_{p}\\) - pole podstawy, \\(P_{b}\\) - pole powierzchni bocznej. Wtedy \\(P_{b} = 4P_{p}.\\)\nPole całkowite: \\(P_{c} = P_{p} + P_{b} = P_{p} + 4P_{p} = 5P_{p} = 20.\\)\nStąd \\(P_{p} = 4\\). Podstawą jest kwadrat o boku \\(a\\), więc \\(a^{2} = 4\\), czyli \\(a = 2.\\)\n\n### Sposób 2 - Podstawienie\nJeśli \\(a = 2\\): \\(P_{p} = 4\\), \\(P_{b} = 16\\), \\(P_{c} = 20\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\sqrt{5}\\)** - daje \\(P_{p} = 5\\), \\(P_{c} = 25 \\neq 20\\).\n- **C. \\(\\sqrt{10}\\)** - daje \\(P_{p} = 10\\), \\(P_{c} = 50\\).\n- **D. \\(4\\)** - \\(P_{p} = 16\\), \\(P_{c} = 80\\).\n\n**Trik:** pole całkowite = pole podstawy + pole boczne; zapisz przez jedną zmienną.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-22.svg","topics":"Funkcja liniowa, Geometria analityczna, analityczna","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 22. (0-2)<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dana jest prosta 𝑘 o równaniu<br>𝑦= 5𝑥+ 7. Prosta 𝑙 jest równoległa do prostej 𝑘 i przecina oś 𝑂𝑦 w punkcie (0, -4).<br>Punkt o współrzędnych (𝑝, 2) należy do prostej 𝑙.<br>Oblicz 𝒑. Zapisz obliczenia.</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dana jest prosta k o równaniu y=5x+7. Prosta l jest równoległa do prostej k i przecina oś Oy w punkcie (0,-4). Punkt o współrzędnych (p,2) należy do prostej l. Oblicz p. Zapisz obliczenia.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 22. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>IX.2) posługuje się równaniami prostych na<br>płaszczyźnie […].<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑝= 6<br>5<br>1 pkt - zapisanie równania prostej 𝑙: 𝑦= 5𝑥-4<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie równania z niewiadomą 𝑝, np.:</li></ul>\n<p>2 + 4<br>𝑝-0 = 5, |5 ⋅𝑝-2 + 7|<br>√52 + (-1)2 = |5 ⋅0 -(-4) + 7|<br>√52 + (-1)2<br>,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie układu dwóch równań liniowych prowadzącego do obliczenia 𝑝, np.</li></ul>\n<p>-4 = 5 ⋅0 + 𝑏 oraz 2 = 5 ⋅𝑝+ 𝑏.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Prosta 𝑙 jest równoległa do prostej 𝑘, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑙 jest równy 5.<br>Ponadto prosta 𝑙 przecina oś 𝑂𝑦 w punkcie (0, -4), zatem równanie prostej 𝑙 ma<br>postać: 𝑦= 5𝑥-4.<br>Punkt o współrzędnych (𝑝, 2) należy do prostej 𝑙, stąd:<br>2 = 5𝑝-4<br>𝑝= 6<br>5<br>Sposób II<br>Prosta 𝑙 jest równoległa do prostej 𝑘, zatem współczynnik kierunkowy prostej 𝑙 jest równy 5.<br>Ponadto prosta 𝑙 przechodzi przez punkty (0, -4) oraz (𝑝, 2).<br>Zatem ze wzoru na współczynnik kierunkowy prostej otrzymujemy równanie:<br>2 + 4<br>𝑝-0 = 5<br>Stąd:<br>5𝑝= 6<br>𝑝= 6<br>5</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-22.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(a = 2\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Układ warunków i bezpośrednie obliczenie</h4>\n<p><strong>Oznaczenia:</strong> niech \\(a\\) = długość krawędzi podstawy, \\(P_p\\) = pole podstawy, \\(P_b\\) = pole powierzchni bocznej.</p>\n<p><strong>Krok 1. Wyrażamy pola przez \\(a\\).</strong></p>\n<p>Podstawa to kwadrat o boku \\(a\\):<br>\\[P_p = a^2\\]</p>\n<p><strong>Krok 2. Korzystamy z warunku: pole boczne jest cztery razy większe od pola podstawy.</strong><br>\\[P_b = 4 \\cdot P_p = 4a^2\\]</p>\n<p><strong>Krok 3. Pole powierzchni całkowitej to suma pola podstawy i pola bocznego.</strong><br>\\[P_c = P_p + P_b = a^2 + 4a^2 = 5a^2\\]</p>\n<p><strong>Krok 4. Podstawiamy warunek \\(P_c = 20\\).</strong><br>\\[5a^2 = 20\\]<br>\\[a^2 = 4\\]<br>\\[a = 2\\]</p>\n<p>(Odrzucamy \\(a = -2\\), bo długość jest dodatnia.)</p>\n<p><strong>Odpowiedź: długość krawędzi podstawy wynosi \\(a = 2\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Podstawienie przez pole podstawy (zmienna pomocnicza)</h4>\n<p>Zamiast od razu pisać \\(a^2\\), wprowadźmy zmienną pomocniczą \\(x = P_p\\).</p>\n<p>Z warunku o czterokrotności:<br>\\[P_b = 4x\\]</p>\n<p>Pole całkowite:<br>\\[P_c = P_p + P_b = x + 4x = 5x = 20\\]<br>\\[x = 4\\]</p>\n<p>Zatem pole podstawy \\(P_p = 4\\), a ponieważ podstawa to kwadrat:<br>\\[a^2 = 4 \\implies a = 2\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja:</strong> Dla \\(a = 2\\): \\(P_p = 4\\), \\(P_b = 16\\), \\(P_c = 4 + 16 = 20\\). ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28):</strong></p>\n<p>Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa / ostrosłupa:<br>\\[P_c = P_b + P_p\\]</p>\n<p>W tym zadaniu nie potrzebujemy wzoru na pole boczne przez apotema (warunek jest podany wprost jako zależność \\(P_b = 4P_p\\)), wystarczy wzór na pole podstawy kwadratu \\(P_p = a^2\\) i definicja pola całkowitego.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| B. \\(\\sqrt{5}\\) | Uczeń oblicza \\(a^2 = 5\\) - zapomina podzielić przez 5 i mylnie przyjmuje \\(5a^2 = a^2 \\cdot 5\\), a potem bierze \\(a = \\sqrt{20/4}\\) mieszając pola |<br>| C. \\(\\sqrt{10}\\) | Uczeń liczy \\(a^2 = \\frac{20}{2} = 10\\) - dzieli przez 2 zamiast przez 5 (np. biorąc tylko dwa „kawałki&quot; zamiast pięciu) |<br>| D. \\(4\\) | Uczeń poprawnie dostaje \\(a^2 = 4\\), ale następnie <strong>nie wyciąga pierwiastka</strong> i podaje \\(a = a^2 = 4\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pole powierzchni <strong>całkowitej</strong> = pole <strong>boczne</strong> + pole <strong>podstawy</strong> (nie zapominaj o podstawie!). Częsty błąd to liczenie tylko pola bocznego jako pola całkowitego.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma <strong>jedną</strong> podstawę (kwadrat), nie dwie. Gdyby to był graniastosłup, doliczylibyśmy dwie podstawy - tutaj tylko jedną.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Z równania \\(a^2 = 4\\) wynika \\(a = 2\\), <strong>nie</strong> \\(a = 4\\). To klasyczny błąd: pomylenie \\(a^2\\) z \\(a\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Ułożenie równania (karta wzorów)</h5>\n<p>Niech \\(P_{p}\\) - pole podstawy, \\(P_{b}\\) - pole powierzchni bocznej. Wtedy \\(P_{b} = 4P_{p}.\\)<br>Pole całkowite: \\(P_{c} = P_{p} + P_{b} = P_{p} + 4P_{p} = 5P_{p} = 20.\\)<br>Stąd \\(P_{p} = 4\\). Podstawą jest kwadrat o boku \\(a\\), więc \\(a^{2} = 4\\), czyli \\(a = 2.\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Podstawienie</h5>\n<p>Jeśli \\(a = 2\\): \\(P_{p} = 4\\), \\(P_{b} = 16\\), \\(P_{c} = 20\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(\\sqrt{5}\\)</strong> - daje \\(P_{p} = 5\\), \\(P_{c} = 25 \\neq 20\\).</li><li><strong>C. \\(\\sqrt{10}\\)</strong> - daje \\(P_{p} = 10\\), \\(P_{c} = 50\\).</li><li><strong>D. \\(4\\)</strong> - \\(P_{p} = 16\\), \\(P_{c} = 80\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> pole całkowite = pole podstawy + pole boczne; zapisz przez jedną zmienną.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Zapisujemy równanie prostej $k$: \\[ y = 5x + 7 \\].\\</li></ol>\n<ol><li>Prosta $l$ jest równoległa do prostej $k$, więc ma taki sam współczynnik kierunkowy. Zatem współczynnik kierunkowy prostej $l$ wynosi $5$.\\</li></ol>\n<ol><li>Prosta $l$ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, -4)$, co oznacza, że gdy $x = 0$, to $y = -4$.\\</li></ol>\n<ol><li>Ustalając równanie prostej $l$, korzystamy ze wzoru na prostą w postaci \\( y = mx + b \\), gdzie $m$ to współczynnik kierunkowy, a $b$ to wyraz wolny. Podstawiając uzyskane wartości, otrzymujemy: \\[ y = 5x - 4 \\].\\</li></ol>\n<ol><li>Teraz mamy równanie prostej $l$: \\[ y = 5x - 4 \\].\\</li></ol>\n<ol><li>Punkt o współrzędnych $(p, 2)$ należy do prostej $l$, co oznacza, że dla tego punktu zachodzi równanie prostej $l$. Zatem podstawiamy $y = 2$ i $x = p$ do równania prostej: \\[ 2 = 5p - 4 \\].\\</li></ol>\n<ol><li>Teraz przekształcamy to równanie, aby wyznaczyć $p$: dodajemy $4$ do obu stron równania:\\</li></ol>\n<p>\\[ 2 + 4 = 5p \\]\\<br>\\[ 6 = 5p \\].\\</p>\n<ol><li>Dzielimy obie strony równania przez $5$: \\[ p = \\frac{6}{5} \\].\\</li></ol>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> $p = \\frac{6}{5}$</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Prosta k ma równanie:</p>\n<p>y=5x+7</p>\n<p>Jej współczynnik kierunkowy jest równy 5 .</p>\n<p>Prosta l jest równoległa do prostej k , więc ma taki sam współczynnik kierunkowy:</p>\n<p>a=5</p>\n<p>Prosta l przecina oś Oy w punkcie (0,-4) , więc jej wyraz wolny jest równy -4 .</p>\n<p>Równanie prostej l :</p>\n<p>y=5x-4</p>\n<p>Punkt (p,2) należy do tej prostej, więc podstawiamy x=p oraz y=2 :</p>\n<p>2=5p-4</p>\n<p>6=5p</p>\n<p>p=(6)/(5)</p>\n<p>Odpowiedź: p=(6)/(5)</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$p = \\dfrac{6}{5}$</p>"}]}