{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest okrąg 𝒪 o równaniu\n𝒪: (𝑥+ 1)2 + (𝑦-2)2 = 9\nOkrąg 𝒦 jest obrazem okręgu 𝒪 w symetrii osiowej względem osi 𝑂𝑦 układu\nwspółrzędnych.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nOkrąg 𝒦 jest określony równaniem\nA. (𝑥+ 1)2 + (𝑦+ 2)2 = 9\nB. (𝑥+ 1)2 + (𝑦-2)2 = 9\nC. (𝑥-1)2 + (𝑦+ 2)2 = 9\nD. (𝑥-1)2 + (𝑦-2)2 = 9\n\nMMAP-P0_100\nW kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest okrąg O o równaniu O: (x+1)² + (y-2)² = 9 Okrąg K jest obrazem okręgu O w symetrii osiowej względem osi Oy układu współrzędnych. Okrąg K jest określony równaniem A. (x+1)²+(y+2)²=9 B. (x+1)²+(y-2)²=9 C. (x-1)²+(y+2)²=9 D. (x-1)²+(y-2)²=9","answer":"D","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIX.4) posługuje się równaniem okręgu\n(𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2;\nIX.5) wyznacza obrazy okręgów […]\nw symetriach osiowych względem osi\nukładu współrzędnych […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(3\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Trygonometria w trójkącie prostokątnym (przekrój osiowy)\n\n**Co wiemy:** tworząca \\(l = 6\\), kąt rozwarcia \\(= 60°\\).\n\n**Kluczowa definicja:** Kąt rozwarcia stożka to pełny kąt przy wierzchołku w przekroju osiowym (czyli trójkącie prostokątnym przez oś). Skoro kąt rozwarcia \\(= 60°\\), to **kąt między osią (wysokością) a tworzącą** wynosi:\n\n\\[\\frac{60°}{2} = 30°\\]\n\nW przekroju osiowym mamy trójkąt prostokątny, w którym:\n- przyprostokątna pozioma \\(= r\\) (promień podstawy)\n- przyprostokątna pionowa \\(= h\\) (szukana wysokość)\n- przeciwprostokątna \\(= l = 6\\) (tworząca)\n- kąt przy wierzchołku (między \\(h\\) a \\(l\\)) \\(= 30°\\)\n\nStąd:\n\\[\\cos 30° = \\frac{h}{l}\\]\n\\[h = l \\cdot \\cos 30° = 6 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\boxed{3\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Spostrzeżenie: przekrój osiowy to trójkąt równoboczny\n\nKąt przy wierzchołku przekroju = \\(60°\\), a trójkąt jest **równoramienny** (obie tworząc są równe \\(= 6\\)).\n\nTrójkąt równoramienny z kątem przy wierzchołku \\(60°\\) → kąty przy podstawie: \\(\\frac{180°-60°}{2} = 60°\\). Wszystkie kąty równe \\(60°\\) → **trójkąt równoboczny** o boku \\(6\\).\n\nBaza trójkąta = średnica podstawy stożka: \\(2r = 6\\), więc \\(r = 3\\).\n\nWysokość stożka = wysokość trójkąta równobocznego o boku \\(a = 6\\):\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{6\\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3}\\]\n\n**Weryfikacja twierdzeniem Pitagorasa:**\n\\[h^2 + r^2 = (3\\sqrt{3})^2 + 3^2 = 27 + 9 = 36 = 6^2 = l^2 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]\nUżyte w Sposobie 1: \\(\\cos 30° = \\frac{h}{l}\\).\n\nWartość:\n\\[\\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\ndostępna w tabeli na s. 12 karty.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - trójkąt równoboczny (bok \\(a\\)):\n\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia wysokości.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do niej |\n| **A** \\((3)\\) | Wzięto kąt rozwarcia \\(60°\\) jako kąt między osią a tworzącą (nie podzielono na 2), co daje \\(h = 6 \\cdot \\cos 60° = 6 \\cdot \\frac{1}{2} = 3\\) |\n| **B** \\((2\\sqrt{3})\\) | Poprawnie zauważono trójkąt równoboczny o boku 6, ale użyto błędnego wzoru na wysokość: \\(h = \\frac{a}{\\sqrt{3}} = \\frac{6}{\\sqrt{3}} = 2\\sqrt{3}\\) zamiast \\(h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\) |\n| **D** \\((3\\sqrt{5})\\) | Poprawnie wyznaczono \\(r = 3\\), ale w tw. Pitagorasa **dodano** zamiast odejmować: \\(\\sqrt{l^2 + r^2} = \\sqrt{36 + 9} = \\sqrt{45} = 3\\sqrt{5}\\). Uwaga: ta wartość jest większa od tworzącej - fizycznie niemożliwa! |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „Kąt rozwarcia\" to **pełny** kąt przy wierzchołku, nie kąt między osią a tworzącą. Zawsze dziel go przez 2, zanim użyjesz trygonometrii!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W trójkącie prostokątnym z tworzącą jako przeciwprostokątną: wysokość \\(h\\) jest **mniejsza** od tworzącej \\(l\\). Jeśli wynik \\(h > l\\) - od razu wiesz, że gdzieś jest błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wysokość trójkąta równobocznego to \\(\\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\), nie \\(\\frac{a}{\\sqrt{3}}\\) - te dwa wyrażenia są różne! (\\(\\frac{a}{\\sqrt{3}} = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\), to długość środkowej w trójkącie prostokątnym 30-60-90, a nie wysokość trójkąta równobocznego.)\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Trygonometria w przekroju osiowym (karta wzorów)\nKąt rozwarcia \\(60^{\\circ}\\) między tworzącymi oznacza, że w przekroju osiowym trójkąt jest równoramienny z kątem wierzchołkowym \\(60^{\\circ}\\) - więc równoboczny. Połowa kąta rozwarcia to \\(30^{\\circ}\\) - kąt między osią a tworzącą.\nWysokość: \\(h = l\\cos 30^{\\circ} = 6\\cdot\\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3}.\\)\n\n### Sposób 2 - Trójkąt równoboczny\nTrójkąt w przekroju osiowym jest równoboczny (wszystkie kąty \\(60^{\\circ}\\)) o boku \\(6\\). Wysokość trójkąta równobocznego to \\(h = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{6\\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3}.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(3\\)** - to promień podstawy stożka.\n- **B. \\(2\\sqrt{3}\\)** - błąd w rachunku trygonometrycznym.\n- **D. \\(3\\sqrt{5}\\)** - błędne zastosowanie Pitagorasa.\n\n**Trik:** kąt rozwarcia stożka = kąt między tworzącymi; **połowa** to kąt między osią a tworzącą.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-23.svg","topics":"Równanie okręgu, analityczna","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 23. (0-1)
W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥, 𝑦) dany jest okrąg 𝒪 o równaniu
𝒪: (𝑥+ 1)2 + (𝑦-2)2 = 9
Okrąg 𝒦 jest obrazem okręgu 𝒪 w symetrii osiowej względem osi 𝑂𝑦 układu
współrzędnych.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Okrąg 𝒦 jest określony równaniem
A. (𝑥+ 1)2 + (𝑦+ 2)2 = 9
B. (𝑥+ 1)2 + (𝑦-2)2 = 9
C. (𝑥-1)2 + (𝑦+ 2)2 = 9
D. (𝑥-1)2 + (𝑦-2)2 = 9

\n

MMAP-P0_100
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dany jest okrąg O o równaniu O: (x+1)² + (y-2)² = 9 Okrąg K jest obrazem okręgu O w symetrii osiowej względem osi Oy układu współrzędnych. Okrąg K jest określony równaniem A. (x+1)²+(y+2)²=9 B. (x+1)²+(y-2)²=9 C. (x-1)²+(y+2)²=9 D. (x-1)²+(y-2)²=9

","answer_text_html":"

Zadanie 23. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
IX.4) posługuje się równaniem okręgu
(𝑥-𝑎)2 + (𝑦-𝑏)2 = 𝑟2;
IX.5) wyznacza obrazy okręgów […]
w symetriach osiowych względem osi
układu współrzędnych […].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
D
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-23.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(3\\sqrt{3}\\)

\n

Sposób 1 - Trygonometria w trójkącie prostokątnym (przekrój osiowy)

\n

Co wiemy: tworząca \\(l = 6\\), kąt rozwarcia \\(= 60°\\).

\n

Kluczowa definicja: Kąt rozwarcia stożka to pełny kąt przy wierzchołku w przekroju osiowym (czyli trójkącie prostokątnym przez oś). Skoro kąt rozwarcia \\(= 60°\\), to kąt między osią (wysokością) a tworzącą wynosi:

\n

\\[\\frac{60°}{2} = 30°\\]

\n

W przekroju osiowym mamy trójkąt prostokątny, w którym:

\n\n

Stąd:
\\[\\cos 30° = \\frac{h}{l}\\]
\\[h = l \\cdot \\cos 30° = 6 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\boxed{3\\sqrt{3}}\\]

\n

Sposób 2 - Spostrzeżenie: przekrój osiowy to trójkąt równoboczny

\n

Kąt przy wierzchołku przekroju = \\(60°\\), a trójkąt jest równoramienny (obie tworząc są równe \\(= 6\\)).

\n

Trójkąt równoramienny z kątem przy wierzchołku \\(60°\\) → kąty przy podstawie: \\(\\frac{180°-60°}{2} = 60°\\). Wszystkie kąty równe \\(60°\\) → trójkąt równoboczny o boku \\(6\\).

\n

Baza trójkąta = średnica podstawy stożka: \\(2r = 6\\), więc \\(r = 3\\).

\n

Wysokość stożka = wysokość trójkąta równobocznego o boku \\(a = 6\\):
\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2} = \\frac{6\\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3}\\]

\n

Weryfikacja twierdzeniem Pitagorasa:
\\[h^2 + r^2 = (3\\sqrt{3})^2 + 3^2 = 27 + 9 = 36 = 6^2 = l^2 \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym:
\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]
Użyte w Sposobie 1: \\(\\cos 30° = \\frac{h}{l}\\).

\n

Wartość:
\\[\\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]
dostępna w tabeli na s. 12 karty.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - trójkąt równoboczny (bok \\(a\\)):
\\[h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\]
Użyte w Sposobie 2 do wyznaczenia wysokości.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do niej |
| A \\((3)\\) | Wzięto kąt rozwarcia \\(60°\\) jako kąt między osią a tworzącą (nie podzielono na 2), co daje \\(h = 6 \\cdot \\cos 60° = 6 \\cdot \\frac{1}{2} = 3\\) |
| B \\((2\\sqrt{3})\\) | Poprawnie zauważono trójkąt równoboczny o boku 6, ale użyto błędnego wzoru na wysokość: \\(h = \\frac{a}{\\sqrt{3}} = \\frac{6}{\\sqrt{3}} = 2\\sqrt{3}\\) zamiast \\(h = \\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\) |
| D \\((3\\sqrt{5})\\) | Poprawnie wyznaczono \\(r = 3\\), ale w tw. Pitagorasa dodano zamiast odejmować: \\(\\sqrt{l^2 + r^2} = \\sqrt{36 + 9} = \\sqrt{45} = 3\\sqrt{5}\\). Uwaga: ta wartość jest większa od tworzącej - fizycznie niemożliwa! |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: „Kąt rozwarcia" to pełny kąt przy wierzchołku, nie kąt między osią a tworzącą. Zawsze dziel go przez 2, zanim użyjesz trygonometrii!
\n
⚠️ Uwaga: W trójkącie prostokątnym z tworzącą jako przeciwprostokątną: wysokość \\(h\\) jest mniejsza od tworzącej \\(l\\). Jeśli wynik \\(h > l\\) - od razu wiesz, że gdzieś jest błąd.
\n
⚠️ Uwaga: Wysokość trójkąta równobocznego to \\(\\frac{a\\sqrt{3}}{2}\\), nie \\(\\frac{a}{\\sqrt{3}}\\) - te dwa wyrażenia są różne! (\\(\\frac{a}{\\sqrt{3}} = \\frac{a\\sqrt{3}}{3}\\), to długość środkowej w trójkącie prostokątnym 30-60-90, a nie wysokość trójkąta równobocznego.)
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Trygonometria w przekroju osiowym (karta wzorów)
\n

Kąt rozwarcia \\(60^{\\circ}\\) między tworzącymi oznacza, że w przekroju osiowym trójkąt jest równoramienny z kątem wierzchołkowym \\(60^{\\circ}\\) - więc równoboczny. Połowa kąta rozwarcia to \\(30^{\\circ}\\) - kąt między osią a tworzącą.
Wysokość: \\(h = l\\cos 30^{\\circ} = 6\\cdot\\dfrac{\\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3}.\\)

\n
Sposób 2 - Trójkąt równoboczny
\n

Trójkąt w przekroju osiowym jest równoboczny (wszystkie kąty \\(60^{\\circ}\\)) o boku \\(6\\). Wysokość trójkąta równobocznego to \\(h = \\dfrac{a\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{6\\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3}.\\)

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: kąt rozwarcia stożka = kąt między tworzącymi; połowa to kąt między osią a tworzącą.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Równanie okręgu $O$ możemy zapisać w postaci ogólnej, gdzie środek okręgu to punkt $(-1, 2)$, a promień to $r = \\sqrt{9} = 3$.
\n
  1. Zauważamy, że symetria osiowa względem osi $Oy$ zmienia współrzędną $x$ na $-x$. Oznacza to, że punkt $(-1, 2)$ po zastosowaniu tej symetrii zmieni się na $(1, 2)$.
\n
  1. Nowy środek okręgu $\\text{K}$ po symetrii będzie miał współrzędne $(1, 2)$.
\n
  1. Promień okręgu nie zmienia się podczas symetrii, więc nadal wynosi $3$.
\n
  1. Równanie okręgu $\\text{K}$ w postaci kanonicznej, z nowym środkiem $(1, 2)$ i promieniem $3$, zapisujemy jako:
\n

$$\\left(x - 1\\right)^2 + \\left(y - 2\\right)^2 = 3^2$$

\n
  1. Upraszczamy równanie:
\n

$$\\left(x - 1\\right)^2 + \\left(y - 2\\right)^2 = 9$$

\n
  1. Ostatecznie uzyskujemy równanie okręgu $\\text{K}$ jako:
\n

$$\\left(x - 1\\right)^2 + \\left(y - 2\\right)^2 = 9$$

\n
  1. Porównując nasze równanie z danymi opcjami, widzimy, że jest to równanie przedstawione w opcji D.
\n

Odpowiedź: D

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Okrąg mathcal O ma równanie:

\n

(x+1)^2+(y-2)^2=9

\n

Środek tego okręgu ma współrzędne:

\n

S=(-1,2)

\n

Promień okręgu jest równy 3 , ponieważ:

\n

r^2=9

\n

Symetria osiowa względem osi Oy zmienia znak współrzędnej x , a współrzędna y pozostaje bez zmian.

\n

(-1,2)⟶ (1,2)

\n

Obrazem okręgu jest więc okrąg o środku (1,2) i promieniu 3 :

\n

(x-1)^2+(y-2)^2=9

\n

Odpowiedź: D. (x-1)^2+(y-2)^2=9

"}]}