{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"24","points":4,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-4)\nPole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 94,5.\nDługości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu\ntworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym 4.\nOblicz objętość tego prostopadłościanu. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\n\nMMAP-P0_100\nPole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 94,5. Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym 4. Oblicz objętość tego prostopadłościanu.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 24. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nX.5) oblicza objętości i pola powierzchni\ngraniastosłupów […].\nVI.7) wykorzystuje własności ciągów […]\ngeometrycznych, do rozwiązywania zadań,\nrównież osadzonych w kontekście\npraktycznym.\nZasady oceniania\n4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑉= 27.\n3 pkt - obliczenie długości (lub kwadratu długości) jednej z krawędzi prostopadłościanu, np.\n𝑎= 3\n4 (lub 𝑎2 = 9\n16\n).\n2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎, np.\n94,5 = 2 ⋅(𝑎⋅4𝑎+ 𝑎⋅16𝑎+ 4𝑎⋅16𝑎)\nALBO\n- zapisanie objętości prostopadłościanu w zależności od jednej zmiennej, np. 𝑉= 64𝑎3.\n1 pkt - zapisanie długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka\nw zależności od jednej zmiennej, np. 𝑎, 4𝑎, 16𝑎.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający myli ciąg geometryczny z arytmetycznym (przyjmuje, że długości krawędzi\nprostopadłościanu są równe 𝑎, 𝑎+ 4, 𝑎+ 8), to może otrzymać co najwyżej 2 punkty\nza całe rozwiązanie (za - konsekwentnie do popełnionego błędu - obliczenie długości\njednej z krawędzi prostopadłościanu i za obliczenie objętości prostopadłościanu).\n2. Jeżeli zdający rozwiązuje równanie 94,5 = 𝑎⋅4𝑎+ 𝑎⋅16𝑎+ 4𝑎⋅16𝑎 (tzn. pomija\nczynnik 2 we wzorze na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu), to może\notrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za zapisanie długości krawędzi\nprostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka w zależności od jednej zmiennej\noraz za - konsekwentnie do popełnionego błędu - obliczenie objętości\nprostopadłościanu).\n3. Jeżeli zdający odgadnie długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego\nsamego wierzchołka: 3\n4\n, 3, 12, oraz sprawdzi rachunkiem, że spełniają one warunki\nzadania, a następnie obliczy objętość ostrosłupa 𝑉= 27, to otrzymuje 1 punkt za całe\nrozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPrzyjmijmy oznaczenia jak na rysunku, przy czym niech 𝑎< 𝑏< 𝑐.\nZ warunków zadania otrzymujemy: 𝑏= 4𝑎, 𝑐= 16𝑎. Stąd i z tego, że pole powierzchni\ncałkowitej prostopadłościanu jest równe 94,5, otrzymujemy równanie:\n2 ⋅(𝑎⋅4𝑎+ 𝑎⋅16𝑎+ 4𝑎⋅16𝑎) = 94,5\n2 ⋅(4𝑎2 + 16𝑎2 + 64𝑎2) = 94,5\n168𝑎2 = 94,5\n𝑎2 = 0,5625\n𝑎= 0,75 = 3\n4\nObliczamy objętość prostopadłościanu:\n𝑉= 𝑎𝑏𝑐= 𝑎⋅4𝑎⋅16𝑎= 64𝑎3 = 64 ⋅(3\n4)\n3\n= 64 ⋅27\n64 = 27","solution":"## Poprawna odpowiedź: B (\\(117\\))\n\n## Sposób 1 - Analiza przypadków według pozycji zera\n\nLiczba trzycyfrowa ma postać \\(\\overline{abc}\\), gdzie:\n- \\(a\\) (setki): cyfra od \\(1\\) do \\(9\\) - **nie może być \\(0\\)**\n- \\(b\\) (dziesiątki): cyfra od \\(0\\) do \\(9\\)\n- \\(c\\) (jedności): cyfra od \\(0\\) do \\(9\\)\n\nLiczba jest **parzysta**, gdy \\(c \\in \\{0, 2, 4, 6, 8\\}\\).\n\nZero może wystąpić **dokładnie raz** - a skoro \\(a \\neq 0\\), zero może pojawić się tylko na pozycji dziesiątek lub jedności.\n\n**Przypadek 1: zero stoi na pozycji jedności (\\(c = 0\\))**\n\nLiczba kończy się na \\(0\\) → automatycznie parzysta ✓\n\nWarunek „dokładnie jedno zero\" wymaga, żeby \\(b \\neq 0\\):\n\\[a \\in \\{1,\\ldots,9\\} \\Rightarrow 9 \\text{ wyborów}, \\quad b \\in \\{1,\\ldots,9\\} \\Rightarrow 9 \\text{ wyborów}, \\quad c = 0\\]\n\\[\\text{Liczba } = 9 \\cdot 9 \\cdot 1 = 81\\]\n\n**Przypadek 2: zero stoi na pozycji dziesiątek (\\(b = 0\\))**\n\nWarunek „dokładnie jedno zero\" wymaga, żeby \\(c \\neq 0\\). Liczba musi być parzysta, więc:\n\\[c \\in \\{2, 4, 6, 8\\} \\Rightarrow 4 \\text{ wybory}\\]\n\\[a \\in \\{1,\\ldots,9\\} \\Rightarrow 9 \\text{ wyborów}, \\quad b = 0, \\quad c \\in \\{2,4,6,8\\}\\]\n\\[\\text{Liczba } = 9 \\cdot 1 \\cdot 4 = 36\\]\n\n**Łącznie:**\n\\[81 + 36 = \\mathbf{117}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez odjęcie od sumarycznej liczby\n\nPoliczmy inaczej, zaczynając od liczby **wszystkich** parzystych trzycyfrowych z **co najmniej jednym zerem**, a potem odejmując te z **więcej niż jednym zerem**.\n\n**Parzyste trzycyfrowe z co najmniej jednym zerem:**\n\nJedyne miejsca na zero to \\(b\\) lub \\(c\\).\n\n- \\(c = 0\\) (jedności): \\(a \\in \\{1,\\ldots,9\\}\\), \\(b \\in \\{0,\\ldots,9\\}\\) → \\(9 \\cdot 10 = 90\\) liczb\n- \\(b = 0, c \\neq 0\\), \\(c\\) parzyste: \\(9 \\cdot 1 \\cdot 4 = 36\\) liczb\n\nRazem z co najmniej jednym zerem: \\(90 + 36 = 126\\)\n\n**Ale:** spośród 90 liczb z \\(c = 0\\) te z \\(b = 0\\) też mają dwa zera. Jest ich:\n\\[a \\in \\{1,\\ldots,9\\},\\ b = 0,\\ c = 0 \\Rightarrow 9 \\text{ liczb}\\]\n\nOdejmujemy liczby z **dwoma zerami** (liczone raz powyżej, w zbiorze \\(c=0\\)):\n\\[126 - 9 = \\mathbf{117}\\]\n\nWynik zgodny ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - zasada mnożenia:\n\nJeśli zdarzenie składa się z \\(k\\) niezależnych kroków, w których jest odpowiednio \\(n_1, n_2, \\ldots, n_k\\) wyborów, to łączna liczba możliwości wynosi:\n\\[n_1 \\cdot n_2 \\cdot \\ldots \\cdot n_k\\]\n\nUżyliśmy tego w obu sposobach: dla każdego przypadku mnożyliśmy liczbę wyborów na każdej pozycji.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(108\\)) | W przypadku 2 policzono tylko \\(c \\in \\{2,4,6\\}\\) - zapomniano o cyfrze \\(8\\), dając \\(9 \\cdot 3 = 27\\) zamiast \\(36\\); razem \\(81 + 27 = 108\\) |\n| C (\\(126\\)) | Nie zastosowano warunku „**dokładnie** jedno zero\" - w przypadku 2 dopuszczono \\(c = 0\\) (tzn. wzięto \\(c \\in \\{0,2,4,6,8\\}\\)), co daje \\(9 \\cdot 5 = 45\\) zamiast \\(36\\); razem \\(81 + 45 = 126\\) |\n| D (\\(162\\)) | Zapomniano o warunku parzystości w przypadku 2 - wzięto \\(c \\in \\{1,\\ldots,9\\}\\), dając \\(9 \\cdot 9 = 81\\) zamiast \\(36\\); razem \\(81 + 81 = 162\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zero **nie może** stać na pozycji setek - wtedy liczba byłaby dwucyfrowa. Wielu uczniów błędnie próbuje uwzględnić przypadek \\(a = 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „Dokładnie jedno zero\" oznacza, że gdy \\(b = 0\\), to **koniecznie** \\(c \\neq 0\\) - pominięcie tego warunku prowadzi wprost do odpowiedzi C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfra \\(8\\) jest parzysta i niezerowa - łatwo o niej zapomnieć, wyliczając \\(\\{2,4,6,8\\}\\), co prowadzi do odpowiedzi A.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Podział na przypadki (karta wzorów - reguła mnożenia i dodawania)\nLiczba trzycyfrowa \\(\\overline{abc}\\), \\(a \\neq 0\\), \\(c\\in\\{0,2,4,6,8\\}\\) (parzysta). Cyfra \\(0\\) występuje **dokładnie raz**.\n\n**Przypadek 1:** \\(c = 0\\) (zero jest jednostką).\n\\(a\\in\\{1, ,9\\}\\) (9 opcji), \\(b\\in\\{1, ,9\\}\\) (9 opcji, bez 0). Razem: \\(9\\cdot 9 = 81.\\)\n\n**Przypadek 2:** \\(b = 0\\) (zero jest dziesiątką), \\(c \\neq 0\\) parzyste.\n\\(a\\in\\{1, ,9\\}\\) (9 opcji), \\(c\\in\\{2,4,6,8\\}\\) (4 opcje). Razem: \\(9\\cdot 4 = 36.\\)\n\nSuma: \\(81 + 36 = 117.\\)\n\n### Sposób 2 - Uzupełnienie\nWszystkie trzycyfrowe parzyste: \\(450\\). Bez zera: \\(9\\cdot 9\\cdot 4 = 324\\) (a∈{1 9}, b∈{1 9}, c∈{2,4,6,8}). Z dwoma zerami (b=0 i c=0): \\(a\\in\\{1 9\\}, b=0, c=0\\): \\(9\\) liczb. Z dokładnie jednym: \\(450 - 324 - 9 = 117\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(108\\)** - pominięto jakiś podprzypadek.\n- **C. \\(126\\)** - policzono zbyt wiele.\n- **D. \\(162\\)** - pominięto warunek parzystości.\n\n**Trik:** dokładnie jedna cyfra \\(0\\) → rozpatrz gdzie \\(0\\) może stać (dziesiątki lub jednostki).","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-24.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 24. (0-4)<br>Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 94,5.<br>Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu<br>tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym 4.<br>Oblicz objętość tego prostopadłościanu. Zapisz obliczenia.</p>\n<p>MMAP-P0_100</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 94,5. Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym 4. Oblicz objętość tego prostopadłościanu.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 24. (0-4)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>X.5) oblicza objętości i pola powierzchni<br>graniastosłupów […].<br>VI.7) wykorzystuje własności ciągów […]<br>geometrycznych, do rozwiązywania zadań,<br>również osadzonych w kontekście<br>praktycznym.<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑉= 27.<br>3 pkt - obliczenie długości (lub kwadratu długości) jednej z krawędzi prostopadłościanu, np.<br>𝑎= 3<br>4 (lub 𝑎2 = 9<br>16<br>).<br>2 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎, np.<br>94,5 = 2 ⋅(𝑎⋅4𝑎+ 𝑎⋅16𝑎+ 4𝑎⋅16𝑎)<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie objętości prostopadłościanu w zależności od jednej zmiennej, np. 𝑉= 64𝑎3.</li></ul>\n<p>1 pkt - zapisanie długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka<br>w zależności od jednej zmiennej, np. 𝑎, 4𝑎, 16𝑎.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający myli ciąg geometryczny z arytmetycznym (przyjmuje, że długości krawędzi</li></ol>\n<p>prostopadłościanu są równe 𝑎, 𝑎+ 4, 𝑎+ 8), to może otrzymać co najwyżej 2 punkty<br>za całe rozwiązanie (za - konsekwentnie do popełnionego błędu - obliczenie długości<br>jednej z krawędzi prostopadłościanu i za obliczenie objętości prostopadłościanu).</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający rozwiązuje równanie 94,5 = 𝑎⋅4𝑎+ 𝑎⋅16𝑎+ 4𝑎⋅16𝑎 (tzn. pomija</li></ol>\n<p>czynnik 2 we wzorze na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu), to może<br>otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za zapisanie długości krawędzi<br>prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka w zależności od jednej zmiennej<br>oraz za - konsekwentnie do popełnionego błędu - obliczenie objętości<br>prostopadłościanu).</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający odgadnie długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego</li></ol>\n<p>samego wierzchołka: 3<br>4<br>, 3, 12, oraz sprawdzi rachunkiem, że spełniają one warunki<br>zadania, a następnie obliczy objętość ostrosłupa 𝑉= 27, to otrzymuje 1 punkt za całe<br>rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku, przy czym niech 𝑎&lt; 𝑏&lt; 𝑐.<br>Z warunków zadania otrzymujemy: 𝑏= 4𝑎, 𝑐= 16𝑎. Stąd i z tego, że pole powierzchni<br>całkowitej prostopadłościanu jest równe 94,5, otrzymujemy równanie:<br>2 ⋅(𝑎⋅4𝑎+ 𝑎⋅16𝑎+ 4𝑎⋅16𝑎) = 94,5<br>2 ⋅(4𝑎2 + 16𝑎2 + 64𝑎2) = 94,5<br>168𝑎2 = 94,5<br>𝑎2 = 0,5625<br>𝑎= 0,75 = 3<br>4<br>Obliczamy objętość prostopadłościanu:<br>𝑉= 𝑎𝑏𝑐= 𝑎⋅4𝑎⋅16𝑎= 64𝑎3 = 64 ⋅(3<br>4)<br>3<br>= 64 ⋅27<br>64 = 27</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-24.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B (\\(117\\))</h4>\n<h4>Sposób 1 - Analiza przypadków według pozycji zera</h4>\n<p>Liczba trzycyfrowa ma postać \\(\\overline{abc}\\), gdzie:</p>\n<ul><li>\\(a\\) (setki): cyfra od \\(1\\) do \\(9\\) - <strong>nie może być \\(0\\)</strong></li><li>\\(b\\) (dziesiątki): cyfra od \\(0\\) do \\(9\\)</li><li>\\(c\\) (jedności): cyfra od \\(0\\) do \\(9\\)</li></ul>\n<p>Liczba jest <strong>parzysta</strong>, gdy \\(c \\in \\{0, 2, 4, 6, 8\\}\\).</p>\n<p>Zero może wystąpić <strong>dokładnie raz</strong> - a skoro \\(a \\neq 0\\), zero może pojawić się tylko na pozycji dziesiątek lub jedności.</p>\n<p><strong>Przypadek 1: zero stoi na pozycji jedności (\\(c = 0\\))</strong></p>\n<p>Liczba kończy się na \\(0\\) → automatycznie parzysta ✓</p>\n<p>Warunek „dokładnie jedno zero&quot; wymaga, żeby \\(b \\neq 0\\):<br>\\[a \\in \\{1,\\ldots,9\\} \\Rightarrow 9 \\text{ wyborów}, \\quad b \\in \\{1,\\ldots,9\\} \\Rightarrow 9 \\text{ wyborów}, \\quad c = 0\\]<br>\\[\\text{Liczba } = 9 \\cdot 9 \\cdot 1 = 81\\]</p>\n<p><strong>Przypadek 2: zero stoi na pozycji dziesiątek (\\(b = 0\\))</strong></p>\n<p>Warunek „dokładnie jedno zero&quot; wymaga, żeby \\(c \\neq 0\\). Liczba musi być parzysta, więc:<br>\\[c \\in \\{2, 4, 6, 8\\} \\Rightarrow 4 \\text{ wybory}\\]<br>\\[a \\in \\{1,\\ldots,9\\} \\Rightarrow 9 \\text{ wyborów}, \\quad b = 0, \\quad c \\in \\{2,4,6,8\\}\\]<br>\\[\\text{Liczba } = 9 \\cdot 1 \\cdot 4 = 36\\]</p>\n<p><strong>Łącznie:</strong><br>\\[81 + 36 = \\mathbf{117}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez odjęcie od sumarycznej liczby</h4>\n<p>Policzmy inaczej, zaczynając od liczby <strong>wszystkich</strong> parzystych trzycyfrowych z <strong>co najmniej jednym zerem</strong>, a potem odejmując te z <strong>więcej niż jednym zerem</strong>.</p>\n<p><strong>Parzyste trzycyfrowe z co najmniej jednym zerem:</strong></p>\n<p>Jedyne miejsca na zero to \\(b\\) lub \\(c\\).</p>\n<ul><li>\\(c = 0\\) (jedności): \\(a \\in \\{1,\\ldots,9\\}\\), \\(b \\in \\{0,\\ldots,9\\}\\) → \\(9 \\cdot 10 = 90\\) liczb</li><li>\\(b = 0, c \\neq 0\\), \\(c\\) parzyste: \\(9 \\cdot 1 \\cdot 4 = 36\\) liczb</li></ul>\n<p>Razem z co najmniej jednym zerem: \\(90 + 36 = 126\\)</p>\n<p><strong>Ale:</strong> spośród 90 liczb z \\(c = 0\\) te z \\(b = 0\\) też mają dwa zera. Jest ich:<br>\\[a \\in \\{1,\\ldots,9\\},\\ b = 0,\\ c = 0 \\Rightarrow 9 \\text{ liczb}\\]</p>\n<p>Odejmujemy liczby z <strong>dwoma zerami</strong> (liczone raz powyżej, w zbiorze \\(c=0\\)):<br>\\[126 - 9 = \\mathbf{117}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)</strong> - zasada mnożenia:</p>\n<p>Jeśli zdarzenie składa się z \\(k\\) niezależnych kroków, w których jest odpowiednio \\(n_1, n_2, \\ldots, n_k\\) wyborów, to łączna liczba możliwości wynosi:<br>\\[n_1 \\cdot n_2 \\cdot \\ldots \\cdot n_k\\]</p>\n<p>Użyliśmy tego w obu sposobach: dla każdego przypadku mnożyliśmy liczbę wyborów na każdej pozycji.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A (\\(108\\)) | W przypadku 2 policzono tylko \\(c \\in \\{2,4,6\\}\\) - zapomniano o cyfrze \\(8\\), dając \\(9 \\cdot 3 = 27\\) zamiast \\(36\\); razem \\(81 + 27 = 108\\) |<br>| C (\\(126\\)) | Nie zastosowano warunku „<strong>dokładnie</strong> jedno zero&quot; - w przypadku 2 dopuszczono \\(c = 0\\) (tzn. wzięto \\(c \\in \\{0,2,4,6,8\\}\\)), co daje \\(9 \\cdot 5 = 45\\) zamiast \\(36\\); razem \\(81 + 45 = 126\\) |<br>| D (\\(162\\)) | Zapomniano o warunku parzystości w przypadku 2 - wzięto \\(c \\in \\{1,\\ldots,9\\}\\), dając \\(9 \\cdot 9 = 81\\) zamiast \\(36\\); razem \\(81 + 81 = 162\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zero <strong>nie może</strong> stać na pozycji setek - wtedy liczba byłaby dwucyfrowa. Wielu uczniów błędnie próbuje uwzględnić przypadek \\(a = 0\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> „Dokładnie jedno zero&quot; oznacza, że gdy \\(b = 0\\), to <strong>koniecznie</strong> \\(c \\neq 0\\) - pominięcie tego warunku prowadzi wprost do odpowiedzi C.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Cyfra \\(8\\) jest parzysta i niezerowa - łatwo o niej zapomnieć, wyliczając \\(\\{2,4,6,8\\}\\), co prowadzi do odpowiedzi A.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Podział na przypadki (karta wzorów - reguła mnożenia i dodawania)</h5>\n<p>Liczba trzycyfrowa \\(\\overline{abc}\\), \\(a \\neq 0\\), \\(c\\in\\{0,2,4,6,8\\}\\) (parzysta). Cyfra \\(0\\) występuje <strong>dokładnie raz</strong>.</p>\n<p><strong>Przypadek 1:</strong> \\(c = 0\\) (zero jest jednostką).<br>\\(a\\in\\{1, ,9\\}\\) (9 opcji), \\(b\\in\\{1, ,9\\}\\) (9 opcji, bez 0). Razem: \\(9\\cdot 9 = 81.\\)</p>\n<p><strong>Przypadek 2:</strong> \\(b = 0\\) (zero jest dziesiątką), \\(c \\neq 0\\) parzyste.<br>\\(a\\in\\{1, ,9\\}\\) (9 opcji), \\(c\\in\\{2,4,6,8\\}\\) (4 opcje). Razem: \\(9\\cdot 4 = 36.\\)</p>\n<p>Suma: \\(81 + 36 = 117.\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Uzupełnienie</h5>\n<p>Wszystkie trzycyfrowe parzyste: \\(450\\). Bez zera: \\(9\\cdot 9\\cdot 4 = 324\\) (a∈{1 9}, b∈{1 9}, c∈{2,4,6,8}). Z dwoma zerami (b=0 i c=0): \\(a\\in\\{1 9\\}, b=0, c=0\\): \\(9\\) liczb. Z dokładnie jednym: \\(450 - 324 - 9 = 117\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(108\\)</strong> - pominięto jakiś podprzypadek.</li><li><strong>C. \\(126\\)</strong> - policzono zbyt wiele.</li><li><strong>D. \\(162\\)</strong> - pominięto warunek parzystości.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> dokładnie jedna cyfra \\(0\\) → rozpatrz gdzie \\(0\\) może stać (dziesiątki lub jednostki).</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka tworzą ciąg geometryczny o ilorazie 4 .</p>\n<p>Oznaczmy te długości przez:</p>\n<p>x, 4x, 16x</p>\n<p>Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu wyraża się wzorem:</p>\n<p>P_c=2(ab+ac+bc)</p>\n<p>Podstawiamy długości krawędzi:</p>\n<p>94 , 5=2(x·4x+x·16x+4x·16x)</p>\n<p>94 , 5=2(4x^2+16x^2+64x^2)</p>\n<p>94 , 5=2·84x^2</p>\n<p>94 , 5=168x^2</p>\n<p>x^2=frac 94 , 5 168 =(9)/(16)</p>\n<p>x=(3)/(4)</p>\n<p>Objętość prostopadłościanu:</p>\n<p>V=x·4x·16x=64x^3</p>\n<p>V=64· ((3)/(4) )^3</p>\n<p>V=64·(27)/(64)=27</p>\n<p>Odpowiedź: 27</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$V = 27$</p>"}]}