{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nPole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 20.\nPole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nDługość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa\nA. 2\nB. √5\nC. √10\nD. 4\nPole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 20. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa A. 2 B. √5 C. √10 D. 4","answer":"A","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nX.5) oblicza […] pola powierzchni […]\nostrosłupów […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\n𝑎\n𝑏\n𝑐\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(30\\)\n\n## Sposób 1 - Przekształcenie sumy\n\n**Co wiemy z treści zadania?**\n\nŚrednia arytmetyczna trzech liczb \\(a, b, c\\) wynosi \\(12\\), czyli:\n\\[\\frac{a + b + c}{3} = 12\\]\n\nStąd wynika, że:\n\\[a + b + c = 36\\]\n\n**Teraz liczymy sumę sześciu nowych liczb:**\n\\[2a + 3a + 2b + 3b + 2c + 3c\\]\n\nGrupujemy wyrazy z tym samym czynnikiem literowym:\n\\[= (2a + 3a) + (2b + 3b) + (2c + 3c)\\]\n\\[= 5a + 5b + 5c\\]\n\\[= 5(a + b + c)\\]\n\\[= 5 \\cdot 36 = 180\\]\n\n**Obliczamy średnią z sześciu liczb:**\n\\[\\frac{5(a + b + c)}{6} = \\frac{180}{6} = \\mathbf{30}\\]\n\nOdpowiedź to **C**.\n\n## Sposób 2 - Wzór na średnią bezpośrednio\n\nZamiast liczyć sumę wprost, możemy wyrazić nową średnią przez starą.\n\nŚrednia z \\(2a, 3a, 2b, 3b, 2c, 3c\\) to:\n\\[\\frac{2a + 3a + 2b + 3b + 2c + 3c}{6} = \\frac{5(a + b + c)}{6}\\]\n\nPonieważ \\(\\frac{a+b+c}{3} = 12\\), to \\(a + b + c = 3 \\cdot 12 = 36\\).\n\nWstawiamy:\n\\[\\frac{5 \\cdot 36}{6} = \\frac{5 \\cdot 36}{6} = 5 \\cdot 6 = \\mathbf{30}\\]\n\n> **Kluczowa obserwacja:** Każda z oryginalnych liczb \\(a, b, c\\) pojawia się w zestawie dwukrotnie: raz z czynnikiem \\(2\\), raz z czynnikiem \\(3\\). Łącznie każda daje wkład \\(5\\) razy - stąd suma rośnie pięciokrotnie, a mianownik z \\(3\\) zamienia się na \\(6\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - definicja średniej arytmetycznej:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\n\nUżyliśmy jej dwukrotnie: do wyciągnięcia sumy \\(a+b+c\\) ze średniej \\(12\\), oraz do obliczenia nowej średniej z sześciu wyrazów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(10\\) | Brak sensownej drogi do tej odpowiedzi; możliwe błędne przeliczanie czynników lub zgadywanie |\n| B - \\(12\\) | Błędne rozumowanie: „skoro każdą liczbę pomnożono przez coś, to średnia się nie zmienia\" - ale mnożniki \\(2\\) i \\(3\\) są różne, więc nowa średnia ≠ stara |\n| D - \\(60\\) | Błąd: pomnożono starą średnią przez \\(5\\) (bo \\(2+3=5\\)), ale zapomniano uwzględnić, że mianownik też wzrósł z \\(3\\) do \\(6\\); wynik \\(5 \\cdot 12 = 60\\) jest bez dzielenia przez 2 |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź B kusi - wydaje się, że „skoro mamy te same liczby, tylko przemnożone\", to średnia zostaje taka sama. To nieprawda - mnożniki \\(2\\) i \\(3\\) są różne, więc proporcje się zmieniają!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odpowiedzi D łatwo zapomnieć, że liczba wyrazów wzrosła z \\(3\\) do \\(6\\) - nie można po prostu mnożyć starej średniej przez \\(5\\), nie dzieląc potem przez \\(2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowy krok to **wyjście od sumy**, a nie od średniej. Zawsze przy zadaniach ze średnią wyciągaj sumę: \\(\\text{suma} = \\text{średnia} \\times \\text{liczba wyrazów}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Obliczenie (karta wzorów - średnia arytmetyczna)\n\\(\\dfrac{a+b+c}{3} = 12 \\Rightarrow a+b+c = 36.\\)\nSuma sześciu liczb: \\(2a+3a+2b+3b+2c+3c = 5a+5b+5c = 5(a+b+c) = 5\\cdot 36 = 180.\\)\nŚrednia: \\(\\dfrac{180}{6} = 30.\\)\n\n### Sposób 2 - Transformacja liniowa\n\\(2a+3a = 5a\\) dla każdej zmiennej. Suma = \\(5(a+b+c)\\). Przy dzieleniu przez \\(6\\) (liczby), daje \\(\\dfrac{5}{6}\\cdot 36 = 30\\) (bo \\(a+b+c=36\\)). Alternatywnie: \\(\\dfrac{5}{2}\\cdot 12 = 30\\), gdyż \\(\\dfrac{5(a+b+c)}{6} = \\dfrac{5}{2}\\cdot\\dfrac{a+b+c}{3}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(10\\)** - błąd w rachunku.\n- **B. \\(12\\)** - pomylone z oryginalną średnią.\n- **D. \\(60\\)** - nie podzielono przez liczbę elementów.\n\n**Trik:** przy mnożeniu wszystkich liczb przez stałą, średnia mnoży się przez tę stałą. Tutaj \"średni\" mnożnik to \\(\\dfrac{2+3}{2} = 2{,}5\\), a średnia to \\(2{,}5\\cdot 12 = 30\\).","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-25.svg","topics":"Graniastosłupy i ostrosłupy, stereometria","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 25. (0-1)<br>Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 20.<br>Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy.<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa<br>A. 2<br>B. √5<br>C. √10<br>D. 4<br>Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 20. Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa A. 2 B. √5 C. √10 D. 4</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 25. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>X.5) oblicza […] pola powierzchni […]<br>ostrosłupów […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A<br>𝑎<br>𝑏<br>𝑐<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-25.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(30\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Przekształcenie sumy</h4>\n<p><strong>Co wiemy z treści zadania?</strong></p>\n<p>Średnia arytmetyczna trzech liczb \\(a, b, c\\) wynosi \\(12\\), czyli:<br>\\[\\frac{a + b + c}{3} = 12\\]</p>\n<p>Stąd wynika, że:<br>\\[a + b + c = 36\\]</p>\n<p><strong>Teraz liczymy sumę sześciu nowych liczb:</strong><br>\\[2a + 3a + 2b + 3b + 2c + 3c\\]</p>\n<p>Grupujemy wyrazy z tym samym czynnikiem literowym:<br>\\[= (2a + 3a) + (2b + 3b) + (2c + 3c)\\]<br>\\[= 5a + 5b + 5c\\]<br>\\[= 5(a + b + c)\\]<br>\\[= 5 \\cdot 36 = 180\\]</p>\n<p><strong>Obliczamy średnią z sześciu liczb:</strong><br>\\[\\frac{5(a + b + c)}{6} = \\frac{180}{6} = \\mathbf{30}\\]</p>\n<p>Odpowiedź to <strong>C</strong>.</p>\n<h4>Sposób 2 - Wzór na średnią bezpośrednio</h4>\n<p>Zamiast liczyć sumę wprost, możemy wyrazić nową średnią przez starą.</p>\n<p>Średnia z \\(2a, 3a, 2b, 3b, 2c, 3c\\) to:<br>\\[\\frac{2a + 3a + 2b + 3b + 2c + 3c}{6} = \\frac{5(a + b + c)}{6}\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(\\frac{a+b+c}{3} = 12\\), to \\(a + b + c = 3 \\cdot 12 = 36\\).</p>\n<p>Wstawiamy:<br>\\[\\frac{5 \\cdot 36}{6} = \\frac{5 \\cdot 36}{6} = 5 \\cdot 6 = \\mathbf{30}\\]</p>\n<blockquote><strong>Kluczowa obserwacja:</strong> Każda z oryginalnych liczb \\(a, b, c\\) pojawia się w zestawie dwukrotnie: raz z czynnikiem \\(2\\), raz z czynnikiem \\(3\\). Łącznie każda daje wkład \\(5\\) razy - stąd suma rośnie pięciokrotnie, a mianownik z \\(3\\) zamienia się na \\(6\\).</blockquote>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)</strong> - definicja średniej arytmetycznej:<br>\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]</p>\n<p>Użyliśmy jej dwukrotnie: do wyciągnięcia sumy \\(a+b+c\\) ze średniej \\(12\\), oraz do obliczenia nowej średniej z sześciu wyrazów.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A - \\(10\\) | Brak sensownej drogi do tej odpowiedzi; możliwe błędne przeliczanie czynników lub zgadywanie |<br>| B - \\(12\\) | Błędne rozumowanie: „skoro każdą liczbę pomnożono przez coś, to średnia się nie zmienia&quot; - ale mnożniki \\(2\\) i \\(3\\) są różne, więc nowa średnia ≠ stara |<br>| D - \\(60\\) | Błąd: pomnożono starą średnią przez \\(5\\) (bo \\(2+3=5\\)), ale zapomniano uwzględnić, że mianownik też wzrósł z \\(3\\) do \\(6\\); wynik \\(5 \\cdot 12 = 60\\) jest bez dzielenia przez 2 |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Odpowiedź B kusi - wydaje się, że „skoro mamy te same liczby, tylko przemnożone&quot;, to średnia zostaje taka sama. To nieprawda - mnożniki \\(2\\) i \\(3\\) są różne, więc proporcje się zmieniają!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy odpowiedzi D łatwo zapomnieć, że liczba wyrazów wzrosła z \\(3\\) do \\(6\\) - nie można po prostu mnożyć starej średniej przez \\(5\\), nie dzieląc potem przez \\(2\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kluczowy krok to <strong>wyjście od sumy</strong>, a nie od średniej. Zawsze przy zadaniach ze średnią wyciągaj sumę: \\(\\text{suma} = \\text{średnia} \\times \\text{liczba wyrazów}\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Obliczenie (karta wzorów - średnia arytmetyczna)</h5>\n<p>\\(\\dfrac{a+b+c}{3} = 12 \\Rightarrow a+b+c = 36.\\)<br>Suma sześciu liczb: \\(2a+3a+2b+3b+2c+3c = 5a+5b+5c = 5(a+b+c) = 5\\cdot 36 = 180.\\)<br>Średnia: \\(\\dfrac{180}{6} = 30.\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Transformacja liniowa</h5>\n<p>\\(2a+3a = 5a\\) dla każdej zmiennej. Suma = \\(5(a+b+c)\\). Przy dzieleniu przez \\(6\\) (liczby), daje \\(\\dfrac{5}{6}\\cdot 36 = 30\\) (bo \\(a+b+c=36\\)). Alternatywnie: \\(\\dfrac{5}{2}\\cdot 12 = 30\\), gdyż \\(\\dfrac{5(a+b+c)}{6} = \\dfrac{5}{2}\\cdot\\dfrac{a+b+c}{3}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(10\\)</strong> - błąd w rachunku.</li><li><strong>B. \\(12\\)</strong> - pomylone z oryginalną średnią.</li><li><strong>D. \\(60\\)</strong> - nie podzielono przez liczbę elementów.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> przy mnożeniu wszystkich liczb przez stałą, średnia mnoży się przez tę stałą. Tutaj &quot;średni&quot; mnożnik to \\(\\dfrac{2+3}{2} = 2{,}5\\), a średnia to \\(2{,}5\\cdot 12 = 30\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, aby obliczyć długość krawędzi podstawy, przyjmujemy, że pole podstawy wynosi $x$, wtedy pole powierzchni bocznej wynosi $4x$. Całkowite pole to $x + 4x = 5x$, więc $5x = 20$, co daje $x = 4$. Podstawa jest kwadratem o polu $4$, a więc krawędź podstawy to $2$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Niech P_p oznacza pole podstawy ostrosłupa.</p>\n<p>Pole powierzchni bocznej jest cztery razy większe od pola podstawy, więc:</p>\n<p>P_b=4P_p</p>\n<p>Pole powierzchni całkowitej wynosi:</p>\n<p>P_c=P_p+P_b</p>\n<p>Podstawiamy:</p>\n<p>20=P_p+4P_p</p>\n<p>20=5P_p</p>\n<p>P_p=4</p>\n<p>Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat. Jeśli a oznacza długość krawędzi podstawy, to:</p>\n<p>a^2=4</p>\n<p>a=2</p>\n<p>Odpowiedź: A. 2</p>"}]}