{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"26","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-1)\nTworząca stożka ma długość 6. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę 60°.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWysokość tego stożka jest równa\nA. 3\nB. 2√3\nC. 3√3\nD. 3√5\n\nMMAP-P0_100\nTworząca stożka ma długość 6. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę 60°. Wysokość tego stożka jest równa A. 3 B. 2√3 C. 3√3 D. 3√5","answer":"C","answer_text":"Zadanie 26. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n4. Stosowanie i tworzenie strategii przy\nrozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach\nnietypowych.\nZdający:\nX.4) rozpoznaje […] w stożkach kąt między\nodcinkami oraz kąt między odcinkami\ni płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka,\nkąt między tworzącą a podstawą) […];\nX.5) oblicza objętości […] stożka […],\nrównież z wykorzystaniem trygonometrii.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (-2, -1)\\)\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie do trójmianu i faktoryzacja\n\n**Przenosimy wszystko na lewą stronę:**\n\n\\[x(x+4) < x - 2\\]\n\\[x^2 + 4x < x - 2\\]\n\\[x^2 + 4x - x + 2 < 0\\]\n\\[x^2 + 3x + 2 < 0\\]\n\n**Szukamy pierwiastków trójmianu** \\(x^2 + 3x + 2\\):\n\n\\[\\Delta = 3^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 2 = 9 - 8 = 1\\]\n\n\\[x_1 = \\frac{-3 - \\sqrt{1}}{2} = \\frac{-3 - 1}{2} = -2, \\qquad x_2 = \\frac{-3 + \\sqrt{1}}{2} = \\frac{-3 + 1}{2} = -1\\]\n\n**Postać iloczynowa:**\n\n\\[x^2 + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1)\\]\n\n**Szukamy, kiedy iloczyn jest ujemny:**\n\nWspółczynnik przy \\(x^2\\) jest dodatni (\\(a = 1 > 0\\)), więc parabola jest skierowana ramionami **w górę** - trójmian jest **ujemny między pierwiastkami**.\n\n\\[(x+2)(x+1) < 0 \\iff x \\in (-2, -1)\\]\n\n**Odpowiedź: \\(x \\in (-2, -1)\\)**\n\n## Sposób 2 - Analiza znaku iloczynu metodą tabelki\n\nMamy nierówność \\((x+2)(x+1) < 0\\). Szukamy, kiedy dwa czynniki mają **różne znaki**.\n\n| Przedział | \\(x+2\\) | \\(x+1\\) | Iloczyn |\n| \\(x < -2\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(-2 < x < -1\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |\n| \\(x > -1\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\nIloczyn jest ujemny tylko dla \\(x \\in (-2, -1)\\). ✓\n\n**Weryfikacja** - sprawdzamy \\(x = -1{,}5\\) (środek przedziału):\n\nLewa strona: \\((-1{,}5)(-1{,}5 + 4) = (-1{,}5)(2{,}5) = -3{,}75\\)\n\nPrawa strona: \\(-1{,}5 - 2 = -3{,}5\\)\n\nCzy \\(-3{,}75 < -3{,}5\\)? **Tak** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i miejsca zerowe:\n\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nUżyliśmy tego do wyznaczenia pierwiastków trójmianu \\(x^2 + 3x + 2\\), które są granicami rozwiązania nierówności.\n\nKarta podaje też ważną zasadę dla \\(a > 0\\): trójmian \\(ax^2 + bx + c < 0\\) spełniają dokładnie \\(x \\in (x_1, x_2)\\) (gdy \\(\\Delta > 0\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno pomijać kroku przenoszenia wszystkiego na jedną stronę! Błąd: dzielenie obu stron przez \\(x\\) - nie wiadomo, czy \\(x > 0\\) czy \\(x < 0\\), więc znak nierówności może się odwrócić.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy \\(a > 0\\), nierówność \\(< 0\\) daje przedział **między** pierwiastkami, a \\(> 0\\) daje przedział **na zewnątrz**. Łatwo tu pomylić kierunek!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Końce przedziału \\(-2\\) i \\(-1\\) **nie należą** do rozwiązania (nierówność ostra `<`, nie `≤`), więc piszemy nawiasy okrągłe: \\((-2, -1)\\), nie \\(\\langle -2, -1 \\rangle\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (-2, -1)\\)**\n\n### Sposób 1 - Sprowadzenie do postaci ogólnej (karta wzorów)\n\\[x(x+4) < x - 2\\]\n\\[x^{2} + 4x < x - 2\\]\n\\[x^{2} + 3x + 2 < 0.\\]\nWyróżnik: \\(\\Delta = 9 - 8 = 1\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 1.\\)\nMiejsca zerowe: \\(x_{1} = \\dfrac{-3-1}{2} = -2,\\; x_{2} = \\dfrac{-3+1}{2} = -1.\\)\nWspółczynnik przy \\(x^{2}\\) dodatni - parabola otwarta w górę. Nierówność \\(< 0\\) spełniona **między** miejscami zerowymi.\n\\[x \\in (-2, -1).\\]\n\n### Sposób 2 - Faktoryzacja\n\\(x^{2} + 3x + 2 = (x+1)(x+2) < 0.\\) Iloczyn ujemny, gdy czynniki mają różne znaki: \\(x+2 > 0\\) i \\(x+1 < 0\\), czyli \\(-2 < x < -1.\\)\n\n### Uwagi o punktacji\n- **2 pkt** - pełne rozwiązanie z zapisem zbioru \\(x\\in(-2,-1)\\).\n- **1 pkt** - obliczenie pierwiastków \\(x_{1} = -2,\\, x_{2} = -1.\\)\n- **0 pkt** - błędna metoda lub rozpatrzenie \\(x(x+4)<0\\) (pominięcie \\(-2\\)).\n\n**Trik:** najpierw **sprowadź wszystko na jedną stronę**, potem rozwiąż nierówność kwadratową standardowo.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-26.svg","topics":"Bryły obrotowe, stereometria","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 26. (0-1)<br>Tworząca stożka ma długość 6. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę 60°.<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Wysokość tego stożka jest równa<br>A. 3<br>B. 2√3<br>C. 3√3<br>D. 3√5</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Tworząca stożka ma długość 6. Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę 60°. Wysokość tego stożka jest równa A. 3 B. 2√3 C. 3√3 D. 3√5</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 26. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Rozumowanie i argumentacja.</p>\n<ol><li>Stosowanie i tworzenie strategii przy</li></ol>\n<p>rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach<br>nietypowych.<br>Zdający:<br>X.4) rozpoznaje […] w stożkach kąt między<br>odcinkami oraz kąt między odcinkami<br>i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka,<br>kąt między tworzącą a podstawą) […];<br>X.5) oblicza objętości […] stożka […],<br>również z wykorzystaniem trygonometrii.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-26.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (-2, -1)\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Sprowadzenie do trójmianu i faktoryzacja</h4>\n<p><strong>Przenosimy wszystko na lewą stronę:</strong></p>\n<p>\\[x(x+4) &lt; x - 2\\]<br>\\[x^2 + 4x &lt; x - 2\\]<br>\\[x^2 + 4x - x + 2 &lt; 0\\]<br>\\[x^2 + 3x + 2 &lt; 0\\]</p>\n<p><strong>Szukamy pierwiastków trójmianu</strong> \\(x^2 + 3x + 2\\):</p>\n<p>\\[\\Delta = 3^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 2 = 9 - 8 = 1\\]</p>\n<p>\\[x_1 = \\frac{-3 - \\sqrt{1}}{2} = \\frac{-3 - 1}{2} = -2, \\qquad x_2 = \\frac{-3 + \\sqrt{1}}{2} = \\frac{-3 + 1}{2} = -1\\]</p>\n<p><strong>Postać iloczynowa:</strong></p>\n<p>\\[x^2 + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1)\\]</p>\n<p><strong>Szukamy, kiedy iloczyn jest ujemny:</strong></p>\n<p>Współczynnik przy \\(x^2\\) jest dodatni (\\(a = 1 &gt; 0\\)), więc parabola jest skierowana ramionami <strong>w górę</strong> - trójmian jest <strong>ujemny między pierwiastkami</strong>.</p>\n<p>\\[(x+2)(x+1) &lt; 0 \\iff x \\in (-2, -1)\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(x \\in (-2, -1)\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Analiza znaku iloczynu metodą tabelki</h4>\n<p>Mamy nierówność \\((x+2)(x+1) &lt; 0\\). Szukamy, kiedy dwa czynniki mają <strong>różne znaki</strong>.</p>\n<p>| Przedział | \\(x+2\\) | \\(x+1\\) | Iloczyn |<br>| \\(x &lt; -2\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |<br>| \\(-2 &lt; x &lt; -1\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✓ |<br>| \\(x &gt; -1\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |</p>\n<p>Iloczyn jest ujemny tylko dla \\(x \\in (-2, -1)\\). ✓</p>\n<p><strong>Weryfikacja</strong> - sprawdzamy \\(x = -1{,}5\\) (środek przedziału):</p>\n<p>Lewa strona: \\((-1{,}5)(-1{,}5 + 4) = (-1{,}5)(2{,}5) = -3{,}75\\)</p>\n<p>Prawa strona: \\(-1{,}5 - 2 = -3{,}5\\)</p>\n<p>Czy \\(-3{,}75 &lt; -3{,}5\\)? <strong>Tak</strong> ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - wyróżnik i miejsca zerowe:</p>\n<p>\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]</p>\n<p>Użyliśmy tego do wyznaczenia pierwiastków trójmianu \\(x^2 + 3x + 2\\), które są granicami rozwiązania nierówności.</p>\n<p>Karta podaje też ważną zasadę dla \\(a &gt; 0\\): trójmian \\(ax^2 + bx + c &lt; 0\\) spełniają dokładnie \\(x \\in (x_1, x_2)\\) (gdy \\(\\Delta &gt; 0\\)).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie wolno pomijać kroku przenoszenia wszystkiego na jedną stronę! Błąd: dzielenie obu stron przez \\(x\\) - nie wiadomo, czy \\(x &gt; 0\\) czy \\(x &lt; 0\\), więc znak nierówności może się odwrócić.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Gdy \\(a &gt; 0\\), nierówność \\(&lt; 0\\) daje przedział <strong>między</strong> pierwiastkami, a \\(&gt; 0\\) daje przedział <strong>na zewnątrz</strong>. Łatwo tu pomylić kierunek!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Końce przedziału \\(-2\\) i \\(-1\\) <strong>nie należą</strong> do rozwiązania (nierówność ostra <code>&lt;</code>, nie <code>≤</code>), więc piszemy nawiasy okrągłe: \\((-2, -1)\\), nie \\(\\langle -2, -1 \\rangle\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (-2, -1)\\)</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Sprowadzenie do postaci ogólnej (karta wzorów)</h5>\n<p>\\[x(x+4) &lt; x - 2\\]<br>\\[x^{2} + 4x &lt; x - 2\\]<br>\\[x^{2} + 3x + 2 &lt; 0.\\]<br>Wyróżnik: \\(\\Delta = 9 - 8 = 1\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 1.\\)<br>Miejsca zerowe: \\(x_{1} = \\dfrac{-3-1}{2} = -2,\\; x_{2} = \\dfrac{-3+1}{2} = -1.\\)<br>Współczynnik przy \\(x^{2}\\) dodatni - parabola otwarta w górę. Nierówność \\(&lt; 0\\) spełniona <strong>między</strong> miejscami zerowymi.<br>\\[x \\in (-2, -1).\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Faktoryzacja</h5>\n<p>\\(x^{2} + 3x + 2 = (x+1)(x+2) &lt; 0.\\) Iloczyn ujemny, gdy czynniki mają różne znaki: \\(x+2 &gt; 0\\) i \\(x+1 &lt; 0\\), czyli \\(-2 &lt; x &lt; -1.\\)</p>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<ul><li><strong>2 pkt</strong> - pełne rozwiązanie z zapisem zbioru \\(x\\in(-2,-1)\\).</li><li><strong>1 pkt</strong> - obliczenie pierwiastków \\(x_{1} = -2,\\, x_{2} = -1.\\)</li><li><strong>0 pkt</strong> - błędna metoda lub rozpatrzenie \\(x(x+4)&lt;0\\) (pominięcie \\(-2\\)).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> najpierw <strong>sprowadź wszystko na jedną stronę</strong>, potem rozwiąż nierówność kwadratową standardowo.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, jeśli naszkicujesz przekrój osiowy tego stożka i zaznaczysz w nim wysokość i promień podstawy to zauważysz, że dostaniesz trójkąt prostokątny o kątach $30^\\circ, 60^\\circ, 90^\\circ$.<br>Wysokość stożka można obliczyć jako $\\displaystyle \\small h = l \\cdot \\sin \\frac{\\alpha}{2} = 6 \\cdot \\cos 30^\\circ = 6 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 3\\sqrt{3}$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym.</p>\n<p>Tworząca stożka ma długość 6 , a kąt rozwarcia stożka ma miarę 60^° .</p>\n<p>Wysokość stożka dzieli ten kąt na dwa kąty po 30^° .</p>\n<p>Otrzymujemy trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątna ma długość 6 , a wysokość stożka leży przy kącie 30^° .</p>\n<p>h=6·cos30^°</p>\n<p>h=6·(√(3))/(2)</p>\n<p>h=3√(3)</p>\n<p>Odpowiedź: C. 3√(3)</p>"}]}