{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-2)\nDane są dwa zbiory: 𝑋= {-3, -2, -1, 0, 1, 2} oraz 𝑌= {-2, -1, 0, 1}.\nLosujemy jedną liczbę ze zbioru 𝑋, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru 𝑌\ni tworzymy uporządkowaną parę liczb (𝑥, 𝑦), gdzie 𝑥 jest liczbą wylosowaną ze zbioru 𝑋\noraz 𝑦 jest liczbą wylosowaną ze zbioru 𝑌.\nOblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że wylosujemy parę\nliczb (𝒙, 𝒚), która będzie spełniać warunek 𝒙⋅𝒚≥𝟎. Zapisz obliczenia.\n\nMMAP-P0_100\nDane są dwa zbiory: X={-3,-2,-1,0,1,2} oraz Y={-2,-1,0,1}. Losujemy jedną liczbę ze zbioru X, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru Y i tworzymy uporządkowaną parę liczb (x,y), gdzie x jest liczbą wylosowaną ze zbioru X oraz y jest liczbą wylosowaną ze zbioru Y. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że wylosujemy parę liczb (x,y), która będzie spełniać warunek x⋅y ≥ 0.","answer":"(17)/(24)","answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXII.1) oblicza prawdopodobieństwo\nw modelu klasycznym.\nZasady oceniania\n2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑃(𝐴) = 17\n24\n1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych LUB obliczenie/podanie liczby tych\nzdarzeń: |Ω| = 6 ⋅4, LUB sporządzenie tabeli o 24 polach odpowiadających\nzdarzeniom elementarnym, LUB sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego\nALBO\n- wypisanie (lub zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych\nsprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,\nALBO\n- podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 17, o ile nie zostały zliczone błędne pary,\nALBO\n- sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, który zawiera wszystkie gałęzie\nsprzyjające zdarzeniu 𝐴, oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej\njednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,\nALBO\n- podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): 1\n24\n,\nALBO\n- zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 17\n24\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga:\nJeżeli zdający zapisuje tylko liczby 17 lub 24 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych\nliczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie\n𝑥∈{-3, -2, -1, 0, 1, 2} oraz 𝑦∈{-2, -1, 0, 1}.\nLiczbę wszystkich zdarzeń elementarnych obliczamy z wykorzystaniem reguły mnożenia.\nMoc zbioru Ω jest równa 6 ⋅4 = 24.\nZdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:\n(-3, -2), (-3, -1), (-3, 0), (-2, -2), (-2, -1), (-2, 0), (-1, -2), (-1, -1), (-1, 0),\n(0, -2), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1),\nwięc moc zbioru 𝐴 jest równa 17.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 17\n24 .\nSposób II\nW tabeli literą 𝒜 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴.\n-2\n-1\n0\n1\n-3\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n-2\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n-1\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n0\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n𝒜\n1\n𝒜\n𝒜\n2\n𝒜\n𝒜\nMoc zbioru Ω jest równa 24.\nZdarzeń sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest 17.\nZatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 17\n24 .\n𝑌\n𝑋\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób III (drzewo stochastyczne)\nRysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia,\nz uwzględnieniem wszystkich istotnych gałęzi.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe:\n𝑃(𝐴) = 3\n6 ⋅3\n4 + 1\n6 ⋅4\n4 + 2\n6 ⋅2\n4 = 17\n24","solution":"## Poprawna odpowiedź: dowód\n\nTo zadanie otwarte - należy wykazać prawdziwość nierówności dla **wszystkich** \\(x \\neq 2\\) i **wszystkich** \\(y \\in \\mathbb{R}\\).\n\n## Sposób 1 - uzupełnienie do pełnych kwadratów\n\n**Cel:** Pokazać, że lewa strona minus prawa strona jest zawsze dodatnia.\n\nPrzenosimy wszystko na lewą stronę:\n\n\\[x^2 + y^2 - 4(x + y - 2) > 0\\]\n\nRozwijamy nawiasy:\n\n\\[x^2 + y^2 - 4x - 4y + 8 > 0\\]\n\nGrupujemy wyrazy i **uzupełniamy do pełnych kwadratów** - osobno dla \\(x\\) i osobno dla \\(y\\):\n\n\\[(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 4y + 4) > 0\\]\n\n\\[(x - 2)^2 + (y - 2)^2 > 0\\]\n\nTeraz korzystamy z własności kwadratów:\n- \\((x-2)^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x\\)\n- \\((y-2)^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(y\\)\n\n**Kluczowy argument:** Ponieważ \\(x \\neq 2\\), mamy \\(x - 2 \\neq 0\\), skąd:\n\n\\[(x-2)^2 > 0\\]\n\nZatem:\n\n\\[(x-2)^2 + (y-2)^2 \\geq (x-2)^2 > 0\\]\n\n**Co kończy dowód.** Nierówność \\(x^2 + y^2 > 4(x + y - 2)\\) jest prawdziwa dla każdego \\(x \\neq 2\\) i każdego \\(y \\in \\mathbb{R}\\). \\(\\blacksquare\\)\n\n## Sposób 2 - wyróżnik trójmianu kwadratowego względem \\(y\\)\n\nPrzenosimy prawą stronę na lewą i **traktujemy wyrażenie jako wielomian kwadratowy względem \\(y\\)**:\n\n\\[x^2 + y^2 - 4x - 4y + 8 > 0\\]\n\n\\[\\underbrace{y^2 - 4y}_{\\text{część z }y} + \\underbrace{(x^2 - 4x + 8)}_{\\text{parametr}} > 0\\]\n\nMamy trójmian \\(f(y) = y^2 - 4y + (x^2 - 4x + 8)\\) z współczynnikiem przy \\(y^2\\) równym \\(1 > 0\\).\n\nObliczamy wyróżnik:\n\n\\[\\Delta = (-4)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (x^2 - 4x + 8)\\]\n\n\\[\\Delta = 16 - 4x^2 + 16x - 32 = -4x^2 + 16x - 16\\]\n\n\\[\\Delta = -4(x^2 - 4x + 4) = -4(x-2)^2\\]\n\nPonieważ \\(x \\neq 2\\), mamy \\((x-2)^2 > 0\\), więc:\n\n\\[\\Delta = -4(x-2)^2 < 0\\]\n\n**Wniosek:** Trójmian \\(f(y)\\) ma ujemny wyróżnik i dodatni współczynnik wiodący, więc **nie ma miejsc zerowych i jest dodatni dla wszystkich \\(y \\in \\mathbb{R}\\)**. To oznacza:\n\n\\[x^2 + y^2 - 4(x + y - 2) > 0 \\quad \\text{dla każdego } y \\in \\mathbb{R}\\] \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik trójmianu i wniosek o znaku:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\n- Jeśli \\(\\Delta < 0\\) i \\(a > 0\\), to trójmian kwadratowy jest **dodatni dla wszystkich \\(x \\in \\mathbb{R}\\)**.\nUżyliśmy tego w Sposobie 2, traktując wyrażenie jako trójmian w zmiennej \\(y\\).\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy tego w obu Sposobach przy uzupełnianiu/rozwijaniu wyrażeń \\((x-2)^2\\) i \\((y-2)^2\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy napisać „suma kwadratów jest nieujemna\" - trzeba **użyć założenia \\(x \\neq 2\\)** do pokazania, że suma jest *ściśle dodatnia*. Bez tego warunku nierówność byłaby ostra tylko prawie wszędzie (np. dla \\(x = 2, y = 2\\) obie strony byłyby równe).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy uzupełnianiu do pełnych kwadratów upewnij się, że dodajesz i odejmujesz tę samą liczbę. Częsty błąd: \\(x^2 - 4x = (x-2)^2\\) (brakuje \\(-4\\) po prawej - prawidłowo: \\(x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 nie możesz zapomnieć sprawdzić znaku współczynnika wiodącego - dla \\(\\Delta < 0\\) wniosek o znaku trójmianu jest *odwrotny* dla \\(a < 0\\) niż dla \\(a > 0\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: dowód**\n\n### Sposób 1 - Suma kwadratów (karta wzorów - wzór \\((a-b)^{2}\\))\nPrzekształcamy równoważnie:\n\\[x^{2} + y^{2} > 4x + 4y - 8\\]\n\\[x^{2} - 4x + 4 + y^{2} - 4y + 4 > 0\\]\n\\[(x-2)^{2} + (y-2)^{2} > 0.\\]\nZ założenia \\(x \\neq 2\\), więc \\((x-2)^{2} > 0.\\) Ponadto \\((y-2)^{2} \\geq 0\\). Suma liczby **dodatniej** i **nieujemnej** jest dodatnia:\n\\[(x-2)^{2} + (y-2)^{2} > 0. \\quad \\text{c.n.d.}\\]\n\n### Sposób 2 - Trójmian kwadratowy zmiennej \\(x\\) z parametrem \\(y\\)\nZapisujemy jako \\(x^{2} - 4x + (y^{2} - 4y + 8) > 0.\\)\nWyróżnik: \\(\\Delta = 16 - 4(y^{2}-4y+8) = -4y^{2}+16y-16 = -4(y-2)^{2}.\\)\nDla każdego \\(y\\) mamy \\(\\Delta \\leq 0\\). Gdy \\(y \\neq 2\\), \\(\\Delta < 0\\) i trójmian (o dodatnim współczynniku) jest zawsze dodatni. Gdy \\(y = 2\\), \\(\\Delta = 0\\), trójmian \\(= (x-2)^{2} \\geq 0\\), a równość jedynie dla \\(x=2\\), co wykluczono. Zatem nierówność jest ostra dla \\(x\\neq 2.\\)\n\n### Uwagi o punktacji\n- **2 pkt** - pełne przekształcenie do sumy kwadratów z wyjaśnieniem, dlaczego jest dodatnia.\n- **1 pkt** - przekształcenie do \\((x-2)^{2} + (y-2)^{2} > 0\\) bez pełnego uzasadnienia.\n- **0 pkt** - sprawdzanie tylko dla wybranych \\(x,y\\).\n\n**Trik:** kluczowe wzory skróconego mnożenia: \\(a^{2} - 2a\\cdot 2 + 4 = (a-2)^{2}\\); dobierz \\(4\\) tak, by powstała suma kwadratów.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-27.svg","topics":"Prawdopodobieństwo, prawdopodobienstwo","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":"matematykaorg","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 27. (0-2)<br>Dane są dwa zbiory: 𝑋= {-3, -2, -1, 0, 1, 2} oraz 𝑌= {-2, -1, 0, 1}.<br>Losujemy jedną liczbę ze zbioru 𝑋, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru 𝑌<br>i tworzymy uporządkowaną parę liczb (𝑥, 𝑦), gdzie 𝑥 jest liczbą wylosowaną ze zbioru 𝑋<br>oraz 𝑦 jest liczbą wylosowaną ze zbioru 𝑌.<br>Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że wylosujemy parę<br>liczb (𝒙, 𝒚), która będzie spełniać warunek 𝒙⋅𝒚≥𝟎. Zapisz obliczenia.</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Dane są dwa zbiory: X={-3,-2,-1,0,1,2} oraz Y={-2,-1,0,1}. Losujemy jedną liczbę ze zbioru X, a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru Y i tworzymy uporządkowaną parę liczb (x,y), gdzie x jest liczbą wylosowaną ze zbioru X oraz y jest liczbą wylosowaną ze zbioru Y. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że wylosujemy parę liczb (x,y), która będzie spełniać warunek x⋅y ≥ 0.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 27. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Dobieranie i tworzenie modeli</li></ol>\n<p>matematycznych przy rozwiązywaniu<br>problemów praktycznych i teoretycznych.<br>Zdający:<br>XII.1) oblicza prawdopodobieństwo<br>w modelu klasycznym.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: 𝑃(𝐴) = 17<br>24<br>1 pkt - wypisanie wszystkich zdarzeń elementarnych LUB obliczenie/podanie liczby tych<br>zdarzeń: |Ω| = 6 ⋅4, LUB sporządzenie tabeli o 24 polach odpowiadających<br>zdarzeniom elementarnym, LUB sporządzenie pełnego drzewa stochastycznego<br>ALBO</p>\n<ul><li>wypisanie (lub zaznaczenie w tabeli) wszystkich zdarzeń elementarnych</li></ul>\n<p>sprzyjających zdarzeniu 𝐴 i niewypisanie żadnego niewłaściwego,<br>ALBO</p>\n<ul><li>podanie liczby wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:</li></ul>\n<p>|𝐴| = 17, o ile nie zostały zliczone błędne pary,<br>ALBO</p>\n<ul><li>sporządzenie fragmentu drzewa stochastycznego, który zawiera wszystkie gałęzie</li></ul>\n<p>sprzyjające zdarzeniu 𝐴, oraz zapisanie prawdopodobieństwa na co najmniej<br>jednym odcinku każdego z etapów doświadczenia,<br>ALBO</p>\n<ul><li>podanie prawdopodobieństwa jednoelementowego zdarzenia (elementarnego): 1</li></ul>\n<p>24<br>,<br>ALBO</p>\n<ul><li>zapisanie tylko 𝑃(𝐴) = 17</li></ul>\n<p>24<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Uwaga:<br>Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 17 lub 24 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych<br>liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób I<br>Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑥, 𝑦), gdzie<br>𝑥∈{-3, -2, -1, 0, 1, 2} oraz 𝑦∈{-2, -1, 0, 1}.<br>Liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych obliczamy z wykorzystaniem reguły mnożenia.<br>Moc zbioru Ω jest równa 6 ⋅4 = 24.<br>Zdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:<br>(-3, -2), (-3, -1), (-3, 0), (-2, -2), (-2, -1), (-2, 0), (-1, -2), (-1, -1), (-1, 0),<br>(0, -2), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1),<br>więc moc zbioru 𝐴 jest równa 17.<br>Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 17<br>24 .<br>Sposób II<br>W tabeli literą 𝒜 zaznaczamy zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴.<br>-2<br>-1<br>0<br>1<br>-3<br>𝒜<br>𝒜<br>𝒜<br>-2<br>𝒜<br>𝒜<br>𝒜<br>-1<br>𝒜<br>𝒜<br>𝒜<br>0<br>𝒜<br>𝒜<br>𝒜<br>𝒜<br>1<br>𝒜<br>𝒜<br>2<br>𝒜<br>𝒜<br>Moc zbioru Ω jest równa 24.<br>Zdarzeń sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest 17.<br>Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe 17<br>24 .<br>𝑌<br>𝑋<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Sposób III (drzewo stochastyczne)<br>Rysujemy fragment drzewa stochastycznego rozważanego doświadczenia,<br>z uwzględnieniem wszystkich istotnych gałęzi.<br>Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe:<br>𝑃(𝐴) = 3<br>6 ⋅3<br>4 + 1<br>6 ⋅4<br>4 + 2<br>6 ⋅2<br>4 = 17<br>24</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-27.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: dowód</h4>\n<p>To zadanie otwarte - należy wykazać prawdziwość nierówności dla <strong>wszystkich</strong> \\(x \\neq 2\\) i <strong>wszystkich</strong> \\(y \\in \\mathbb{R}\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - uzupełnienie do pełnych kwadratów</h4>\n<p><strong>Cel:</strong> Pokazać, że lewa strona minus prawa strona jest zawsze dodatnia.</p>\n<p>Przenosimy wszystko na lewą stronę:</p>\n<p>\\[x^2 + y^2 - 4(x + y - 2) &gt; 0\\]</p>\n<p>Rozwijamy nawiasy:</p>\n<p>\\[x^2 + y^2 - 4x - 4y + 8 &gt; 0\\]</p>\n<p>Grupujemy wyrazy i <strong>uzupełniamy do pełnych kwadratów</strong> - osobno dla \\(x\\) i osobno dla \\(y\\):</p>\n<p>\\[(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 4y + 4) &gt; 0\\]</p>\n<p>\\[(x - 2)^2 + (y - 2)^2 &gt; 0\\]</p>\n<p>Teraz korzystamy z własności kwadratów:</p>\n<ul><li>\\((x-2)^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(x\\)</li><li>\\((y-2)^2 \\geq 0\\) dla każdego \\(y\\)</li></ul>\n<p><strong>Kluczowy argument:</strong> Ponieważ \\(x \\neq 2\\), mamy \\(x - 2 \\neq 0\\), skąd:</p>\n<p>\\[(x-2)^2 &gt; 0\\]</p>\n<p>Zatem:</p>\n<p>\\[(x-2)^2 + (y-2)^2 \\geq (x-2)^2 &gt; 0\\]</p>\n<p><strong>Co kończy dowód.</strong> Nierówność \\(x^2 + y^2 &gt; 4(x + y - 2)\\) jest prawdziwa dla każdego \\(x \\neq 2\\) i każdego \\(y \\in \\mathbb{R}\\). \\(\\blacksquare\\)</p>\n<h4>Sposób 2 - wyróżnik trójmianu kwadratowego względem \\(y\\)</h4>\n<p>Przenosimy prawą stronę na lewą i <strong>traktujemy wyrażenie jako wielomian kwadratowy względem \\(y\\)</strong>:</p>\n<p>\\[x^2 + y^2 - 4x - 4y + 8 &gt; 0\\]</p>\n<p>\\[\\underbrace{y^2 - 4y}<em>{\\text{część z }y} + \\underbrace{(x^2 - 4x + 8)}</em>{\\text{parametr}} &gt; 0\\]</p>\n<p>Mamy trójmian \\(f(y) = y^2 - 4y + (x^2 - 4x + 8)\\) z współczynnikiem przy \\(y^2\\) równym \\(1 &gt; 0\\).</p>\n<p>Obliczamy wyróżnik:</p>\n<p>\\[\\Delta = (-4)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (x^2 - 4x + 8)\\]</p>\n<p>\\[\\Delta = 16 - 4x^2 + 16x - 32 = -4x^2 + 16x - 16\\]</p>\n<p>\\[\\Delta = -4(x^2 - 4x + 4) = -4(x-2)^2\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(x \\neq 2\\), mamy \\((x-2)^2 &gt; 0\\), więc:</p>\n<p>\\[\\Delta = -4(x-2)^2 &lt; 0\\]</p>\n<p><strong>Wniosek:</strong> Trójmian \\(f(y)\\) ma ujemny wyróżnik i dodatni współczynnik wiodący, więc <strong>nie ma miejsc zerowych i jest dodatni dla wszystkich \\(y \\in \\mathbb{R}\\)</strong>. To oznacza:</p>\n<p>\\[x^2 + y^2 - 4(x + y - 2) &gt; 0 \\quad \\text{dla każdego } y \\in \\mathbb{R}\\] \\(\\blacksquare\\)</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - wyróżnik trójmianu i wniosek o znaku:<br>\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]</p>\n<ul><li>Jeśli \\(\\Delta &lt; 0\\) i \\(a &gt; 0\\), to trójmian kwadratowy jest <strong>dodatni dla wszystkich \\(x \\in \\mathbb{R}\\)</strong>.</li></ul>\n<p>Użyliśmy tego w Sposobie 2, traktując wyrażenie jako trójmian w zmiennej \\(y\\).</p>\n<p><strong>Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):</strong><br>\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]<br>Użyliśmy tego w obu Sposobach przy uzupełnianiu/rozwijaniu wyrażeń \\((x-2)^2\\) i \\((y-2)^2\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie wystarczy napisać „suma kwadratów jest nieujemna&quot; - trzeba <strong>użyć założenia \\(x \\neq 2\\)</strong> do pokazania, że suma jest <em>ściśle dodatnia</em>. Bez tego warunku nierówność byłaby ostra tylko prawie wszędzie (np. dla \\(x = 2, y = 2\\) obie strony byłyby równe).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy uzupełnianiu do pełnych kwadratów upewnij się, że dodajesz i odejmujesz tę samą liczbę. Częsty błąd: \\(x^2 - 4x = (x-2)^2\\) (brakuje \\(-4\\) po prawej - prawidłowo: \\(x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4\\)).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W Sposobie 2 nie możesz zapomnieć sprawdzić znaku współczynnika wiodącego - dla \\(\\Delta &lt; 0\\) wniosek o znaku trójmianu jest <em>odwrotny</em> dla \\(a &lt; 0\\) niż dla \\(a &gt; 0\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: dowód</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Suma kwadratów (karta wzorów - wzór \\((a-b)^{2}\\))</h5>\n<p>Przekształcamy równoważnie:<br>\\[x^{2} + y^{2} &gt; 4x + 4y - 8\\]<br>\\[x^{2} - 4x + 4 + y^{2} - 4y + 4 &gt; 0\\]<br>\\[(x-2)^{2} + (y-2)^{2} &gt; 0.\\]<br>Z założenia \\(x \\neq 2\\), więc \\((x-2)^{2} &gt; 0.\\) Ponadto \\((y-2)^{2} \\geq 0\\). Suma liczby <strong>dodatniej</strong> i <strong>nieujemnej</strong> jest dodatnia:<br>\\[(x-2)^{2} + (y-2)^{2} &gt; 0. \\quad \\text{c.n.d.}\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Trójmian kwadratowy zmiennej \\(x\\) z parametrem \\(y\\)</h5>\n<p>Zapisujemy jako \\(x^{2} - 4x + (y^{2} - 4y + 8) &gt; 0.\\)<br>Wyróżnik: \\(\\Delta = 16 - 4(y^{2}-4y+8) = -4y^{2}+16y-16 = -4(y-2)^{2}.\\)<br>Dla każdego \\(y\\) mamy \\(\\Delta \\leq 0\\). Gdy \\(y \\neq 2\\), \\(\\Delta &lt; 0\\) i trójmian (o dodatnim współczynniku) jest zawsze dodatni. Gdy \\(y = 2\\), \\(\\Delta = 0\\), trójmian \\(= (x-2)^{2} \\geq 0\\), a równość jedynie dla \\(x=2\\), co wykluczono. Zatem nierówność jest ostra dla \\(x\\neq 2.\\)</p>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<ul><li><strong>2 pkt</strong> - pełne przekształcenie do sumy kwadratów z wyjaśnieniem, dlaczego jest dodatnia.</li><li><strong>1 pkt</strong> - przekształcenie do \\((x-2)^{2} + (y-2)^{2} &gt; 0\\) bez pełnego uzasadnienia.</li><li><strong>0 pkt</strong> - sprawdzanie tylko dla wybranych \\(x,y\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> kluczowe wzory skróconego mnożenia: \\(a^{2} - 2a\\cdot 2 + 4 = (a-2)^{2}\\); dobierz \\(4\\) tak, by powstała suma kwadratów.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Zbiór X ma 6 elementów, a zbiór Y ma 4 elementy.</p>\n<p>Liczba wszystkich możliwych uporządkowanych par (x,y) jest równa:</p>\n<p>6·4=24</p>\n<p>Szukamy par spełniających warunek:</p>\n<p>x· y≥ 0</p>\n<p>Iloczyn jest nieujemny, gdy:</p>\n<p>• obie liczby są dodatnie,</p>\n<p>• obie liczby są ujemne,</p>\n<p>• co najmniej jedna z nich jest równa 0 .</p>\n<ol><li>Obie liczby ujemne</li></ol>\n<p>W zbiorze X są trzy liczby ujemne: -3,-2,-1 .</p>\n<p>W zbiorze Y są dwie liczby ujemne: -2,-1 .</p>\n<p>3·2=6</p>\n<ol><li>Obie liczby dodatnie</li></ol>\n<p>W zbiorze X są dwie liczby dodatnie: 1,2 .</p>\n<p>W zbiorze Y jest jedna liczba dodatnia: 1 .</p>\n<p>2·1=2</p>\n<ol><li>Iloczyn równy zero</li></ol>\n<p>Iloczyn jest równy zero, gdy x=0 lub y=0 .</p>\n<p>Dla x=0 mamy 4 par, a dla y=0 mamy 6 par. Para (0,0) została policzona dwa razy, więc:</p>\n<p>4+6-1=9</p>\n<p>Liczba par sprzyjających:</p>\n<p>6+2+9=17</p>\n<p>Prawdopodobieństwo:</p>\n<p>P(A)=(17)/(24)</p>\n<p>Odpowiedź: (17)/(24)</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$P(A) = \\dfrac{17}{24}$</p>"}]}