{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nWszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym\nwystępuje dokładnie jeden raz cyfra 0, jest\nA. 108\nB. 117\nC. 126\nD. 162\nWszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra 0, jest A. 108 B. 117 C. 126 D. 162","answer":"B","answer_text":"Zadanie 28. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Dobieranie i tworzenie modeli\nmatematycznych przy rozwiązywaniu\nproblemów praktycznych i teoretycznych.\nZdający:\nXI.2) zlicza obiekty, stosując reguły\nmnożenia i dodawania (także łącznie) […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\n2\n6\n3\n6\n1\n6\n1\n2\n0\n-3\n-2\n-1\n-2\n-1\n0\n-2\n-1\n0\n1\n0\n1\n3\n4\n4\n4\n2\n4","solution":"## Poprawna odpowiedź: 850 drzew w pierwszym sadzie\n\n## Sposób 1 - Układ równań (algebrycznie)\n\n**Wprowadzamy oznaczenia:**\n\nNiech \\(x\\) = liczba drzew w pierwszym sadzie, \\(y\\) = liczba drzew w drugim sadzie (w maju 2024).\n\n**Warunek 1:** Łącznie posadzono 1410 drzew:\n\\[x + y = 1410\\]\n\n**Warunek 2:** Po roku - uschło 20% w pierwszym sadzie, więc zostało 80%, czyli \\(0{,}8x\\) drzew. Uschło 15% w drugim sadzie, więc zostało 85%, czyli \\(0{,}85y\\) drzew.\n\n**Warunek 3:** Pozostałe drzewa w drugim sadzie stanowiły 70% pozostałych w pierwszym:\n\\[0{,}85y = 0{,}70 \\cdot 0{,}8x\\]\n\\[0{,}85y = 0{,}56x\\]\n\n**Rozwiązujemy układ:**\n\\[\\begin{cases} x + y = 1410 \\\\ 0{,}85y = 0{,}56x \\end{cases}\\]\n\nZ drugiego równania wyznaczamy \\(y\\):\n\\[y = \\frac{0{,}56}{0{,}85}x = \\frac{56}{85}x = \\frac{8}{85} \\cdot 7 \\cdot x\\]\n\nUpraszczamy ułamek: \\(\\frac{56}{85} = \\frac{56}{85}\\) (NWD = 1, bo \\(85 = 5 \\cdot 17\\), \\(56 = 8 \\cdot 7\\)).\n\nPodstawiamy do pierwszego równania:\n\\[x + \\frac{56}{85}x = 1410\\]\n\\[x\\left(1 + \\frac{56}{85}\\right) = 1410\\]\n\\[x \\cdot \\frac{85 + 56}{85} = 1410\\]\n\\[x \\cdot \\frac{141}{85} = 1410\\]\n\\[x = 1410 \\cdot \\frac{85}{141} = \\frac{1410}{141} \\cdot 85 = 10 \\cdot 85\\]\n\n\\[\\boxed{x = 850}\\]\n\n**Zatem w pierwszym sadzie posadzono 850 drzew.**\n\nSprawdzamy \\(y\\): \\(y = 1410 - 850 = 560\\).\n\n## Sposób 2 - Podstawienie przez stosunek (proporcja)\n\n**Oznaczamy stosunek \\(x : y\\) i wyliczamy go z warunku 3:**\n\nPo roku zostaje:\n- w pierwszym sadzie: \\(0{,}8x\\)\n- w drugim sadzie: \\(0{,}85y\\)\n\nWarunek: \\(0{,}85y = 0{,}70 \\cdot 0{,}8x\\), czyli:\n\\[\\frac{y}{x} = \\frac{0{,}70 \\cdot 0{,}8}{0{,}85} = \\frac{0{,}56}{0{,}85} = \\frac{56}{85}\\]\n\nZatem \\(x : y = 85 : 56\\).\n\n**Liczymy z proporcji:**\n\nSuma części: \\(85 + 56 = 141\\).\n\nJeden \"udział\": \\(\\frac{1410}{141} = 10\\).\n\nPierwszy sad: \\(85 \\cdot 10 = \\mathbf{850}\\) drzew.\nDrugi sad: \\(56 \\cdot 10 = \\mathbf{560}\\) drzew.\n\n**Weryfikacja:**\n- Pozostało w I sadzie: \\(0{,}8 \\cdot 850 = 680\\)\n- Pozostało w II sadzie: \\(0{,}85 \\cdot 560 = 476\\)\n- Czy \\(476 = 0{,}70 \\cdot 680\\)? \\(\\quad 0{,}70 \\cdot 680 = 476\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą działania procentowe i rozwiązywanie układu równań liniowych z definicji.\n\nWarto jednak pamiętać, że procenty to po prostu ułamki dziesiętne:\n- \\(20\\% = 0{,}20\\), więc **zostaje** \\(80\\% = 0{,}80\\)\n- \\(15\\% = 0{,}15\\), więc **zostaje** \\(85\\% = 0{,}85\\)\n- \\(70\\% = 0{,}70\\)\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Treść mówi, że \"zostało 70% drzew z II sadu w porównaniu do I sadu\" - chodzi o drzewa **po usunięciu**, a nie przed. Nie wstawiaj \\(y\\) i \\(x\\) bezpośrednio do tego warunku!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Uważaj na to, ile **uschło**, a ile **zostało**. \"Uschło 20%\" znaczy, że zostało **80%**, nie 20%. To najczęstszy błąd prowadzący do złego układu równań.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(x \\cdot \\frac{141}{85} = 1410\\) - upewnij się, że dzielisz obie strony przez \\(\\frac{141}{85}\\), czyli mnożysz przez \\(\\frac{85}{141}\\). Skrócenie \\(\\frac{1410}{141} = 10\\) jest kluczowe i warto to zrobić przed mnożeniem.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(850\\) drzew**\n\n### Sposób 1 - Układ równań\nNiech \\(x\\) - liczba drzew w pierwszym sadzie, \\(y\\) - w drugim.\n\\(x + y = 1410.\\)\nPo roku: w pierwszym zostało \\(0{,}80x\\), w drugim \\(0{,}85y\\).\nWarunek: \\(0{,}85y = 0{,}70\\cdot 0{,}80x\\), czyli \\(0{,}85y = 0{,}56x.\\)\nZ pierwszego: \\(y = 1410 - x.\\) Podstawiamy:\n\\(0{,}85(1410 - x) = 0{,}56x\\)\n\\(1198{,}5 - 0{,}85x = 0{,}56x\\)\n\\(1198{,}5 = 1{,}41x\\)\n\\(x = \\dfrac{1198{,}5}{1{,}41} = 850.\\)\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\n\\(x = 850\\), \\(y = 560.\\) Po roku: \\(0{,}80\\cdot 850 = 680\\), \\(0{,}85\\cdot 560 = 476.\\) Czy \\(476 = 0{,}70\\cdot 680\\)? \\(0{,}70\\cdot 680 = 476\\) ✓.\n\n### Uwagi o punktacji\n- **2 pkt** - poprawny wynik \\(850\\) z metodą.\n- **1 pkt** - zapisanie układu/równania.\n- **0 pkt** - zgadywanie bez metody.\n\n**Trik:** zapisz dwa fakty algebraicznie - \\(x+y=1410\\) i równość z procentami; rozwiąż podstawieniem.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-28.svg","topics":"Kombinatoryka","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 28. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym
występuje dokładnie jeden raz cyfra 0, jest
A. 108
B. 117
C. 126
D. 162
Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra 0, jest A. 108 B. 117 C. 126 D. 162

","answer_text_html":"

Zadanie 28. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Dobieranie i tworzenie modeli
\n

matematycznych przy rozwiązywaniu
problemów praktycznych i teoretycznych.
Zdający:
XI.2) zlicza obiekty, stosując reguły
mnożenia i dodawania (także łącznie) […].
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
B
2
6
3
6
1
6
1
2
0
-3
-2
-1
-2
-1
0
-2
-1
0
1
0
1
3
4
4
4
2
4

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-28.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: 850 drzew w pierwszym sadzie

\n

Sposób 1 - Układ równań (algebrycznie)

\n

Wprowadzamy oznaczenia:

\n

Niech \\(x\\) = liczba drzew w pierwszym sadzie, \\(y\\) = liczba drzew w drugim sadzie (w maju 2024).

\n

Warunek 1: Łącznie posadzono 1410 drzew:
\\[x + y = 1410\\]

\n

Warunek 2: Po roku - uschło 20% w pierwszym sadzie, więc zostało 80%, czyli \\(0{,}8x\\) drzew. Uschło 15% w drugim sadzie, więc zostało 85%, czyli \\(0{,}85y\\) drzew.

\n

Warunek 3: Pozostałe drzewa w drugim sadzie stanowiły 70% pozostałych w pierwszym:
\\[0{,}85y = 0{,}70 \\cdot 0{,}8x\\]
\\[0{,}85y = 0{,}56x\\]

\n

Rozwiązujemy układ:
\\[\\begin{cases} x + y = 1410 \\\\ 0{,}85y = 0{,}56x \\end{cases}\\]

\n

Z drugiego równania wyznaczamy \\(y\\):
\\[y = \\frac{0{,}56}{0{,}85}x = \\frac{56}{85}x = \\frac{8}{85} \\cdot 7 \\cdot x\\]

\n

Upraszczamy ułamek: \\(\\frac{56}{85} = \\frac{56}{85}\\) (NWD = 1, bo \\(85 = 5 \\cdot 17\\), \\(56 = 8 \\cdot 7\\)).

\n

Podstawiamy do pierwszego równania:
\\[x + \\frac{56}{85}x = 1410\\]
\\[x\\left(1 + \\frac{56}{85}\\right) = 1410\\]
\\[x \\cdot \\frac{85 + 56}{85} = 1410\\]
\\[x \\cdot \\frac{141}{85} = 1410\\]
\\[x = 1410 \\cdot \\frac{85}{141} = \\frac{1410}{141} \\cdot 85 = 10 \\cdot 85\\]

\n

\\[\\boxed{x = 850}\\]

\n

Zatem w pierwszym sadzie posadzono 850 drzew.

\n

Sprawdzamy \\(y\\): \\(y = 1410 - 850 = 560\\).

\n

Sposób 2 - Podstawienie przez stosunek (proporcja)

\n

Oznaczamy stosunek \\(x : y\\) i wyliczamy go z warunku 3:

\n

Po roku zostaje:

\n\n

Warunek: \\(0{,}85y = 0{,}70 \\cdot 0{,}8x\\), czyli:
\\[\\frac{y}{x} = \\frac{0{,}70 \\cdot 0{,}8}{0{,}85} = \\frac{0{,}56}{0{,}85} = \\frac{56}{85}\\]

\n

Zatem \\(x : y = 85 : 56\\).

\n

Liczymy z proporcji:

\n

Suma części: \\(85 + 56 = 141\\).

\n

Jeden "udział": \\(\\frac{1410}{141} = 10\\).

\n

Pierwszy sad: \\(85 \\cdot 10 = \\mathbf{850}\\) drzew.
Drugi sad: \\(56 \\cdot 10 = \\mathbf{560}\\) drzew.

\n

Weryfikacja:

\n\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą działania procentowe i rozwiązywanie układu równań liniowych z definicji.

\n

Warto jednak pamiętać, że procenty to po prostu ułamki dziesiętne:

\n\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Treść mówi, że "zostało 70% drzew z II sadu w porównaniu do I sadu" - chodzi o drzewa po usunięciu, a nie przed. Nie wstawiaj \\(y\\) i \\(x\\) bezpośrednio do tego warunku!
\n
⚠️ Uwaga: Uważaj na to, ile uschło, a ile zostało. "Uschło 20%" znaczy, że zostało 80%, nie 20%. To najczęstszy błąd prowadzący do złego układu równań.
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\(x \\cdot \\frac{141}{85} = 1410\\) - upewnij się, że dzielisz obie strony przez \\(\\frac{141}{85}\\), czyli mnożysz przez \\(\\frac{85}{141}\\). Skrócenie \\(\\frac{1410}{141} = 10\\) jest kluczowe i warto to zrobić przed mnożeniem.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(850\\) drzew

\n
Sposób 1 - Układ równań
\n

Niech \\(x\\) - liczba drzew w pierwszym sadzie, \\(y\\) - w drugim.
\\(x + y = 1410.\\)
Po roku: w pierwszym zostało \\(0{,}80x\\), w drugim \\(0{,}85y\\).
Warunek: \\(0{,}85y = 0{,}70\\cdot 0{,}80x\\), czyli \\(0{,}85y = 0{,}56x.\\)
Z pierwszego: \\(y = 1410 - x.\\) Podstawiamy:
\\(0{,}85(1410 - x) = 0{,}56x\\)
\\(1198{,}5 - 0{,}85x = 0{,}56x\\)
\\(1198{,}5 = 1{,}41x\\)
\\(x = \\dfrac{1198{,}5}{1{,}41} = 850.\\)

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie
\n

\\(x = 850\\), \\(y = 560.\\) Po roku: \\(0{,}80\\cdot 850 = 680\\), \\(0{,}85\\cdot 560 = 476.\\) Czy \\(476 = 0{,}70\\cdot 680\\)? \\(0{,}70\\cdot 680 = 476\\) ✓.

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: zapisz dwa fakty algebraicznie - \\(x+y=1410\\) i równość z procentami; rozwiąż podstawieniem.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, rozważmy dwa przypadki:

\n\n

Łączna liczba sposobów to $36+81=117$

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Szukamy trzycyfrowych liczb naturalnych parzystych, w których dokładnie jeden raz występuje cyfra 0 .

\n

Przypadek 1: cyfra jedności to 0

\n

Liczba ma postać:

\n

ab0

\n

Cyfra setek a może być jedną z cyfr 1,2,…,9 , czyli 9 możliwości.

\n

Cyfra dziesiątek b też nie może być zerem, więc ma 9 możliwości.

\n

9·9=81

\n

Przypadek 2: cyfra dziesiątek to 0

\n

Liczba ma postać:

\n

a0c

\n

Cyfra setek a ma 9 możliwości.

\n

Cyfra jedności c musi być parzysta i różna od 0 , więc:

\n

c∈\\ 2,4,6,8\\

\n

czyli 4 możliwości.

\n

9·4=36

\n

Łącznie:

\n

81+36=117

\n

Odpowiedź: B. 117

"}]}