{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"29","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-1)\nŚrednia arytmetyczna trzech liczb: 𝑎, 𝑏, 𝑐, jest równa 12.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nŚrednia arytmetyczna sześciu liczb: 2𝑎, 3𝑎, 2𝑏, 3𝑏, 2𝑐, 3𝑐, jest równa\nA. 10\nB. 12\nC. 30\nD. 60\n\nMMAP-P0_100\nŚrednia arytmetyczna trzech liczb: a,b,c, jest równa 12. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Średnia arytmetyczna sześciu liczb: 2a,3a,2b,3b,2c,3c, jest równa A. 10 B. 12 C. 30 D. 60","answer":"C","answer_text":"Zadanie 29. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nXII.2) oblicza średnią arytmetyczną […].\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(a_1 = 9\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań z sumy i waruneku na wyrazy\n\n**Co wiemy:**\n- Liczba wyrazów: \\(n = 25\\)\n- Suma wyrazów: \\(S_{25} = 2025\\)\n- Ostatni wyraz jest 17 razy większy od pierwszego: \\(a_{25} = 17a_1\\)\n\n**Krok 1.** Zapisujemy wzór na sumę ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\n**Krok 2.** Podstawiamy znane wartości. Zamiast \\(a_{25}\\) wstawiamy \\(17a_1\\):\n\\[2025 = \\frac{a_1 + 17a_1}{2} \\cdot 25\\]\n\n**Krok 3.** Upraszczamy licznik:\n\\[2025 = \\frac{18a_1}{2} \\cdot 25\\]\n\\[2025 = 9a_1 \\cdot 25\\]\n\\[2025 = 225a_1\\]\n\n**Krok 4.** Wyznaczamy \\(a_1\\):\n\\[a_1 = \\frac{2025}{225} = \\boxed{9}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez różnicę ciągu\n\n**Krok 1.** Wyznaczamy różnicę \\(r\\) z warunku na ostatni wyraz.\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\), więc:\n\\[a_{25} = a_1 + 24r\\]\n\nZ warunku \\(a_{25} = 17a_1\\):\n\\[a_1 + 24r = 17a_1\\]\n\\[24r = 16a_1\\]\n\\[r = \\frac{2}{3}a_1\\]\n\n**Krok 2.** Korzystamy z drugiej postaci wzoru na sumę:\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]\n\nPodstawiamy \\(n = 25\\), \\(r = \\frac{2}{3}a_1\\):\n\\[2025 = \\frac{2a_1 + 24 \\cdot \\frac{2}{3}a_1}{2} \\cdot 25\\]\n\\[2025 = \\frac{2a_1 + 16a_1}{2} \\cdot 25\\]\n\\[2025 = \\frac{18a_1}{2} \\cdot 25 = 9a_1 \\cdot 25 = 225a_1\\]\n\n**Krok 3.**\n\\[a_1 = \\frac{2025}{225} = \\boxed{9}\\]\n\nDla porządku: \\(r = \\frac{2}{3} \\cdot 9 = 6\\), zatem ciąg to \\(9, 15, 21, 27, \\ldots\\) i \\(a_{25} = 9 + 24 \\cdot 6 = 9 + 144 = 153 = 17 \\cdot 9\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)**\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go do wyrażenia \\(a_{25}\\) przez \\(a_1\\) i \\(r\\) (Sposób 2).\n\nWzory na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n \\qquad \\text{(Sposób 1)}\\]\n\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n \\qquad \\text{(Sposób 2)}\\]\nOba wzory są na tej samej stronie - warto znać oba, bo czasem jeden jest wygodniejszy od drugiego.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** „17 razy większy\" znaczy \\(a_{25} = 17a_1\\), nie \\(a_{25} = a_1 + 17\\). To częsty błąd językowy - \"17 razy większy\" w treści zadań maturalnych oznacza mnożnik 17, nie dodawanie 17.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl wzorów na sumę. \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) wymaga znania ostatniego wyrazu; \\(S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\) wymaga znajomości różnicy. Mając warunek \\(a_{25} = 17a_1\\), Sposób 1 jest krótszy - nie musisz wyznaczać \\(r\\) osobno.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź dzielenie: \\(\\frac{2025}{225}\\). Możesz skrócić przez 25: \\(\\frac{2025}{225} = \\frac{81}{9} = 9\\). Nie rób tego w pamięci bez weryfikacji!\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(a_{1} = 9\\)**\n\n### Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu arytmetycznego (karta wzorów)\nOznaczamy \\(a_{1}\\) - pierwszy wyraz, \\(a_{25}\\) - ostatni.\nWarunek: \\(a_{25} = 17a_{1}.\\)\nWzór na sumę: \\(S_{25} = \\dfrac{a_{1} + a_{25}}{2}\\cdot 25 = 2025.\\)\nPodstawiamy:\n\\[\\dfrac{a_{1} + 17a_{1}}{2}\\cdot 25 = 2025\\]\n\\[\\dfrac{18a_{1}}{2}\\cdot 25 = 2025\\]\n\\[225a_{1} = 2025\\]\n\\[a_{1} = 9.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez różnicę \\(r\\)\n\\(S_{25} = \\dfrac{2a_{1}+24r}{2}\\cdot 25 = 25(a_{1}+12r) = 2025 \\Rightarrow a_{1}+12r = 81.\\)\n\\(a_{25} = a_{1}+24r = 17a_{1} \\Rightarrow 24r = 16a_{1} \\Rightarrow r = \\dfrac{2a_{1}}{3}.\\)\nPodstawiamy: \\(a_{1} + 12\\cdot\\dfrac{2a_{1}}{3} = 81 \\Rightarrow a_{1} + 8a_{1} = 81 \\Rightarrow 9a_{1} = 81 \\Rightarrow a_{1} = 9.\\)\n\n### Uwagi o punktacji\n- **2 pkt** - poprawny wynik \\(a_{1} = 9\\).\n- **1 pkt** - zapisanie równania \\(\\dfrac{a_{1}+17a_{1}}{2}\\cdot 25 = 2025\\).\n- **0 pkt** - błąd metody lub tylko \\(a_{1}=9\\) bez pracy.\n\n**Trik:** suma ciągu arytmetycznego = średnia krańców × liczba wyrazów; podstaw \\(a_{25} = 17a_{1}\\).","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-29.svg","topics":"Statystyka, algebra","page_from":26,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 29. (0-1)<br>Średnia arytmetyczna trzech liczb: 𝑎, 𝑏, 𝑐, jest równa 12.<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Średnia arytmetyczna sześciu liczb: 2𝑎, 3𝑎, 2𝑏, 3𝑏, 2𝑐, 3𝑐, jest równa<br>A. 10<br>B. 12<br>C. 30<br>D. 60</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>Średnia arytmetyczna trzech liczb: a,b,c, jest równa 12. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Średnia arytmetyczna sześciu liczb: 2a,3a,2b,3b,2c,3c, jest równa A. 10 B. 12 C. 30 D. 60</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 29. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>XII.2) oblicza średnią arytmetyczną […].<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-29.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(a_1 = 9\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Układ równań z sumy i waruneku na wyrazy</h4>\n<p><strong>Co wiemy:</strong></p>\n<ul><li>Liczba wyrazów: \\(n = 25\\)</li><li>Suma wyrazów: \\(S_{25} = 2025\\)</li><li>Ostatni wyraz jest 17 razy większy od pierwszego: \\(a_{25} = 17a_1\\)</li></ul>\n<p><strong>Krok 1.</strong> Zapisujemy wzór na sumę ciągu arytmetycznego:<br>\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]</p>\n<p><strong>Krok 2.</strong> Podstawiamy znane wartości. Zamiast \\(a_{25}\\) wstawiamy \\(17a_1\\):<br>\\[2025 = \\frac{a_1 + 17a_1}{2} \\cdot 25\\]</p>\n<p><strong>Krok 3.</strong> Upraszczamy licznik:<br>\\[2025 = \\frac{18a_1}{2} \\cdot 25\\]<br>\\[2025 = 9a_1 \\cdot 25\\]<br>\\[2025 = 225a_1\\]</p>\n<p><strong>Krok 4.</strong> Wyznaczamy \\(a_1\\):<br>\\[a_1 = \\frac{2025}{225} = \\boxed{9}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Przez różnicę ciągu</h4>\n<p><strong>Krok 1.</strong> Wyznaczamy różnicę \\(r\\) z warunku na ostatni wyraz.</p>\n<p>Wzór na \\(n\\)-ty wyraz: \\(a_n = a_1 + (n-1)r\\), więc:<br>\\[a_{25} = a_1 + 24r\\]</p>\n<p>Z warunku \\(a_{25} = 17a_1\\):<br>\\[a_1 + 24r = 17a_1\\]<br>\\[24r = 16a_1\\]<br>\\[r = \\frac{2}{3}a_1\\]</p>\n<p><strong>Krok 2.</strong> Korzystamy z drugiej postaci wzoru na sumę:<br>\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(n = 25\\), \\(r = \\frac{2}{3}a_1\\):<br>\\[2025 = \\frac{2a_1 + 24 \\cdot \\frac{2}{3}a_1}{2} \\cdot 25\\]<br>\\[2025 = \\frac{2a_1 + 16a_1}{2} \\cdot 25\\]<br>\\[2025 = \\frac{18a_1}{2} \\cdot 25 = 9a_1 \\cdot 25 = 225a_1\\]</p>\n<p><strong>Krok 3.</strong><br>\\[a_1 = \\frac{2025}{225} = \\boxed{9}\\]</p>\n<p>Dla porządku: \\(r = \\frac{2}{3} \\cdot 9 = 6\\), zatem ciąg to \\(9, 15, 21, 27, \\ldots\\) i \\(a_{25} = 9 + 24 \\cdot 6 = 9 + 144 = 153 = 17 \\cdot 9\\). ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong></p>\n<p>Wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:<br>\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]<br>Użyliśmy go do wyrażenia \\(a_{25}\\) przez \\(a_1\\) i \\(r\\) (Sposób 2).</p>\n<p>Wzory na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:<br>\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n \\qquad \\text{(Sposób 1)}\\]<br>\\[S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n \\qquad \\text{(Sposób 2)}\\]<br>Oba wzory są na tej samej stronie - warto znać oba, bo czasem jeden jest wygodniejszy od drugiego.</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> „17 razy większy&quot; znaczy \\(a_{25} = 17a_1\\), nie \\(a_{25} = a_1 + 17\\). To częsty błąd językowy - &quot;17 razy większy&quot; w treści zadań maturalnych oznacza mnożnik 17, nie dodawanie 17.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie myl wzorów na sumę. \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) wymaga znania ostatniego wyrazu; \\(S_n = \\frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \\cdot n\\) wymaga znajomości różnicy. Mając warunek \\(a_{25} = 17a_1\\), Sposób 1 jest krótszy - nie musisz wyznaczać \\(r\\) osobno.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sprawdź dzielenie: \\(\\frac{2025}{225}\\). Możesz skrócić przez 25: \\(\\frac{2025}{225} = \\frac{81}{9} = 9\\). Nie rób tego w pamięci bez weryfikacji!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: \\(a_{1} = 9\\)</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu arytmetycznego (karta wzorów)</h5>\n<p>Oznaczamy \\(a_{1}\\) - pierwszy wyraz, \\(a_{25}\\) - ostatni.<br>Warunek: \\(a_{25} = 17a_{1}.\\)<br>Wzór na sumę: \\(S_{25} = \\dfrac{a_{1} + a_{25}}{2}\\cdot 25 = 2025.\\)<br>Podstawiamy:<br>\\[\\dfrac{a_{1} + 17a_{1}}{2}\\cdot 25 = 2025\\]<br>\\[\\dfrac{18a_{1}}{2}\\cdot 25 = 2025\\]<br>\\[225a_{1} = 2025\\]<br>\\[a_{1} = 9.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Przez różnicę \\(r\\)</h5>\n<p>\\(S_{25} = \\dfrac{2a_{1}+24r}{2}\\cdot 25 = 25(a_{1}+12r) = 2025 \\Rightarrow a_{1}+12r = 81.\\)<br>\\(a_{25} = a_{1}+24r = 17a_{1} \\Rightarrow 24r = 16a_{1} \\Rightarrow r = \\dfrac{2a_{1}}{3}.\\)<br>Podstawiamy: \\(a_{1} + 12\\cdot\\dfrac{2a_{1}}{3} = 81 \\Rightarrow a_{1} + 8a_{1} = 81 \\Rightarrow 9a_{1} = 81 \\Rightarrow a_{1} = 9.\\)</p>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<ul><li><strong>2 pkt</strong> - poprawny wynik \\(a_{1} = 9\\).</li><li><strong>1 pkt</strong> - zapisanie równania \\(\\dfrac{a_{1}+17a_{1}}{2}\\cdot 25 = 2025\\).</li><li><strong>0 pkt</strong> - błąd metody lub tylko \\(a_{1}=9\\) bez pracy.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> suma ciągu arytmetycznego = średnia krańców × liczba wyrazów; podstaw \\(a_{25} = 17a_{1}\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, średnia arytmetyczna sześciu liczb wynosi $30$. Obliczamy sumę nowego zestawu liczb: $2a + 3a + 2b + 3b + 2c + 3c = 5a + 5b + 5c = 5(a + b + c)$. Skoro średnia $a$, $b$, $c$ wynosi $12$, to $a + b + c = 36$, więc $5 \\cdot 36 = 180$. Dzielimy przez $6$: $\\displaystyle \\small \\frac{180}{6} = 30$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Średnia arytmetyczna liczb a , b , c jest równa 12 , więc:</p>\n<p>(a+b+c)/(3)=12</p>\n<p>a+b+c=36</p>\n<p>Obliczamy średnią arytmetyczną sześciu liczb:</p>\n<p>2a, 3a, 2b, 3b, 2c, 3c</p>\n<p>Ich suma jest równa:</p>\n<p>2a+3a+2b+3b+2c+3c</p>\n<p>5a+5b+5c=5(a+b+c)</p>\n<p>5(a+b+c)=5·36=180</p>\n<p>Średnia sześciu liczb:</p>\n<p>(180)/(6)=30</p>\n<p>Odpowiedź: C. 30</p>"}]}