{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (0-1)\nOceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest\nprawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.\nIloczyn 2 ⋅log3 5 jest równy log3 25.\nP\nF\nSuma 2 + log3 5 jest równa log3 10.\nP\nF\nIloczyn 2⋅log_3 5 jest równy log_3 25. | P | F | Suma 2+log_3 5 jest równa log_3 10. | P | F |","answer":"PF","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nI.9) stosuje związek logarytmowania\nz potęgowaniem, posługuje się wzorami na\nlogarytm iloczynu […] i logarytm potęgi.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nPF","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nWynik to \\(4\\).\n\n## Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia na \\((a+b)^2\\)\n\nRozkładamy wyrażenie krok po kroku.\n\n**Krok 1:** Upraszczamy \\(\\sqrt{12}\\).\n\n\\[\\sqrt{12} = \\sqrt{4 \\cdot 3} = 2\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 2:** Rozwijamy \\((\\sqrt{3}+1)^2\\) wzorem \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\).\n\n\\[(\\sqrt{3}+1)^2 = (\\sqrt{3})^2 + 2 \\cdot \\sqrt{3} \\cdot 1 + 1^2 = 3 + 2\\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 3:** Podstawiamy i upraszczamy.\n\n\\[(4 + 2\\sqrt{3}) - \\sqrt{12} = (4 + 2\\sqrt{3}) - 2\\sqrt{3} = 4\\]\n\n**Wynik: \\(4\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja liczbowa (przybliżenia)\n\nSprawdzamy wynik podstawiając \\(\\sqrt{3} \\approx 1{,}732\\).\n\n\\[(\\sqrt{3}+1)^2 \\approx (1{,}732 + 1)^2 = (2{,}732)^2 \\approx 7{,}464\\]\n\n\\[\\sqrt{12} \\approx 3{,}464\\]\n\n\\[7{,}464 - 3{,}464 = 4{,}000 \\checkmark\\]\n\nWynik numerycznie zgadza się z odpowiedzią D.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy tego do rozwinięcia \\((\\sqrt{3}+1)^2\\) w Sposobie 1.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5):**\n\\[\\sqrt{a \\cdot b} = \\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b}\\]\nUżyliśmy tego do uproszczenia \\(\\sqrt{12} = \\sqrt{4 \\cdot 3} = 2\\sqrt{3}\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Nie rozwinięto \\((\\sqrt{3}+1)^2\\) wzorem - zamiast tego policzono \\((\\sqrt{3})^2 + 1^2 = 4\\) i odjęto \\(4\\sqrt{3}\\) (pomylono \\(\\sqrt{12}\\) z \\(2\\sqrt{12}\\) lub pominięto człon \\(2ab\\)) |\n| B | Rozwinięto poprawnie do \\(4 + 2\\sqrt{3}\\), ale potem odjęto \\(2\\sqrt{3}\\) ze złym znakiem - wynik \\(4 - 2\\sqrt{3}\\) zamiast \\(4\\) |\n| C | Pomylono \\(\\sqrt{12}\\) z \\(2\\sqrt{3}\\) przy odejmowaniu i popełniono błąd arytmetyczny; lub nie uproszczono \\(\\sqrt{12}\\) i odjęto \\(\\sqrt{12} \\approx 3{,}46\\) zaokrąglone do \\(2\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie środkowego członu \\(2ab\\) we wzorze \\((a+b)^2\\). Uczniowie mylnie liczą \\((\\sqrt{3}+1)^2 = 3 + 1 = 4\\) - to błąd! Zawsze rozwijaj pełnym wzorem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Upraszczaj pierwiastki przed odejmowaniem. \\(\\sqrt{12}\\) to nie \\(\\sqrt{12}\\) bez uproszczenia - zawsze szukaj pełnych kwadratów pod pierwiastkiem: \\(\\sqrt{12} = \\sqrt{4 \\cdot 3} = 2\\sqrt{3}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy po rozwinięciu masz \\(4 + 2\\sqrt{3} - 2\\sqrt{3}\\), wyrazy z \\(\\sqrt{3}\\) **znoszą się**. To \"piękny\" wynik - całkowity. Jeśli zostają Ci irracjonalne reszty, wróć i sprawdź uproszczenie \\(\\sqrt{12}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia (karta wzorów)\n\\((\\sqrt{3}+1)^{2} = (\\sqrt{3})^{2} + 2\\cdot\\sqrt{3}\\cdot 1 + 1^{2} = 3 + 2\\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\\sqrt{3}.\\)\n\\(\\sqrt{12} = \\sqrt{4\\cdot 3} = 2\\sqrt{3}.\\)\n\\[4 + 2\\sqrt{3} - 2\\sqrt{3} = 4.\\]\n\n### Sposób 2 - Obliczenia numeryczne\n\\(\\sqrt{3}\\approx 1{,}732\\). \\((\\sqrt{3}+1)^2 \\approx (2{,}732)^2 \\approx 7{,}464.\\) \\(\\sqrt{12}\\approx 3{,}464.\\) Różnica \\(\\approx 4\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(4 - 4\\sqrt{3}\\)** - pomylone znaki w \\((a+b)^2\\).\n- **B. \\(4 - 2\\sqrt{3}\\)** - zły znak przy \\(2\\sqrt{3}\\) w kwadracie.\n- **C. \\(2\\)** - błąd w uproszczeniu \\(\\sqrt{12}\\).\n\n**Trik:** \\(\\sqrt{12} = 2\\sqrt{3}\\), co znosi się z \\(2\\sqrt{3}\\) z rozwinięcia.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-3.svg","topics":"Logarytmy","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3. (0-1)
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest
prawdziwe, albo F - jeśli jest fałszywe.
Iloczyn 2 ⋅log3 5 jest równy log3 25.
P
F
Suma 2 + log3 5 jest równa log3 10.
P
F
Iloczyn 2⋅log_3 5 jest równy log_3 25. | P | F | Suma 2+log_3 5 jest równa log_3 10. | P | F |

","answer_text_html":"

Zadanie 3. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stosowanie obiektów matematycznych
\n

i operowanie nimi, interpretowanie pojęć
matematycznych.
Zdający:
I.9) stosuje związek logarytmowania
z potęgowaniem, posługuje się wzorami na
logarytm iloczynu […] i logarytm potęgi.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
PF

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-3.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D

\n

Wynik to \\(4\\).

\n

Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia na \\((a+b)^2\\)

\n

Rozkładamy wyrażenie krok po kroku.

\n

Krok 1: Upraszczamy \\(\\sqrt{12}\\).

\n

\\[\\sqrt{12} = \\sqrt{4 \\cdot 3} = 2\\sqrt{3}\\]

\n

Krok 2: Rozwijamy \\((\\sqrt{3}+1)^2\\) wzorem \\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\).

\n

\\[(\\sqrt{3}+1)^2 = (\\sqrt{3})^2 + 2 \\cdot \\sqrt{3} \\cdot 1 + 1^2 = 3 + 2\\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\\sqrt{3}\\]

\n

Krok 3: Podstawiamy i upraszczamy.

\n

\\[(4 + 2\\sqrt{3}) - \\sqrt{12} = (4 + 2\\sqrt{3}) - 2\\sqrt{3} = 4\\]

\n

Wynik: \\(4\\)

\n

Sposób 2 - Weryfikacja liczbowa (przybliżenia)

\n

Sprawdzamy wynik podstawiając \\(\\sqrt{3} \\approx 1{,}732\\).

\n

\\[(\\sqrt{3}+1)^2 \\approx (1{,}732 + 1)^2 = (2{,}732)^2 \\approx 7{,}464\\]

\n

\\[\\sqrt{12} \\approx 3{,}464\\]

\n

\\[7{,}464 - 3{,}464 = 4{,}000 \\checkmark\\]

\n

Wynik numerycznie zgadza się z odpowiedzią D.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\]
Użyliśmy tego do rozwinięcia \\((\\sqrt{3}+1)^2\\) w Sposobie 1.

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5):
\\[\\sqrt{a \\cdot b} = \\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b}\\]
Użyliśmy tego do uproszczenia \\(\\sqrt{12} = \\sqrt{4 \\cdot 3} = 2\\sqrt{3}\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A | Nie rozwinięto \\((\\sqrt{3}+1)^2\\) wzorem - zamiast tego policzono \\((\\sqrt{3})^2 + 1^2 = 4\\) i odjęto \\(4\\sqrt{3}\\) (pomylono \\(\\sqrt{12}\\) z \\(2\\sqrt{12}\\) lub pominięto człon \\(2ab\\)) |
| B | Rozwinięto poprawnie do \\(4 + 2\\sqrt{3}\\), ale potem odjęto \\(2\\sqrt{3}\\) ze złym znakiem - wynik \\(4 - 2\\sqrt{3}\\) zamiast \\(4\\) |
| C | Pomylono \\(\\sqrt{12}\\) z \\(2\\sqrt{3}\\) przy odejmowaniu i popełniono błąd arytmetyczny; lub nie uproszczono \\(\\sqrt{12}\\) i odjęto \\(\\sqrt{12} \\approx 3{,}46\\) zaokrąglone do \\(2\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to pominięcie środkowego członu \\(2ab\\) we wzorze \\((a+b)^2\\). Uczniowie mylnie liczą \\((\\sqrt{3}+1)^2 = 3 + 1 = 4\\) - to błąd! Zawsze rozwijaj pełnym wzorem.
\n
⚠️ Uwaga: Upraszczaj pierwiastki przed odejmowaniem. \\(\\sqrt{12}\\) to nie \\(\\sqrt{12}\\) bez uproszczenia - zawsze szukaj pełnych kwadratów pod pierwiastkiem: \\(\\sqrt{12} = \\sqrt{4 \\cdot 3} = 2\\sqrt{3}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Gdy po rozwinięciu masz \\(4 + 2\\sqrt{3} - 2\\sqrt{3}\\), wyrazy z \\(\\sqrt{3}\\) znoszą się. To "piękny" wynik - całkowity. Jeśli zostają Ci irracjonalne reszty, wróć i sprawdź uproszczenie \\(\\sqrt{12}\\).
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia (karta wzorów)
\n

\\((\\sqrt{3}+1)^{2} = (\\sqrt{3})^{2} + 2\\cdot\\sqrt{3}\\cdot 1 + 1^{2} = 3 + 2\\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\\sqrt{3}.\\)
\\(\\sqrt{12} = \\sqrt{4\\cdot 3} = 2\\sqrt{3}.\\)
\\[4 + 2\\sqrt{3} - 2\\sqrt{3} = 4.\\]

\n
Sposób 2 - Obliczenia numeryczne
\n

\\(\\sqrt{3}\\approx 1{,}732\\). \\((\\sqrt{3}+1)^2 \\approx (2{,}732)^2 \\approx 7{,}464.\\) \\(\\sqrt{12}\\approx 3{,}464.\\) Różnica \\(\\approx 4\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: \\(\\sqrt{12} = 2\\sqrt{3}\\), co znosi się z \\(2\\sqrt{3}\\) z rozwinięcia.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Sprawdzamy prawdziwość dwóch zdań dotyczących logarytmów.

\n

Pierwsze zdanie:

\n

2·log_3 5=log_3 25

\n

Korzystamy ze wzoru:

\n

rlog_a x=log_a x^r

\n

Zatem:

\n

2·log_3 5=log_3 5^2

\n

Ponieważ:

\n

5^2=25

\n

otrzymujemy:

\n

2·log_3 5=log_3 25

\n

Pierwsze zdanie jest prawdziwe.

\n

Pierwsze zdanie: P

\n

Drugie zdanie:

\n

2+log_3 5=log_3 10

\n

Liczbę 2 zapisujemy jako logarytm przy podstawie 3 :

\n

2=log_3 9

\n

bo:

\n

3^2=9

\n

Zatem:

\n

2+log_3 5=log_3 9+log_3 5

\n

Korzystamy ze wzoru na sumę logarytmów:

\n

log_a x+log_a y=log_a(xy)

\n

Otrzymujemy:

\n

log_3 9+log_3 5=log_3(9·5)=log_3 45

\n

To nie jest log_3 10 , więc drugie zdanie jest fałszywe.

\n

Drugie zdanie: F

\n

Odpowiedź: P, F

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

PF

"}]}