{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"30","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-3)\nW tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez 32 uczniów pewnej klasy za\nrozwiązanie jednego z zadań ze sprawdzianu z matematyki.\nLiczba punktów\n0\n1\n2\n3\n4\n5\nLiczba uczniów,\nktórzy otrzymali\ndaną liczbę punktów\n4\n2\n5\n5\n11\n5\nUzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania\nbyły prawdziwe.\n1. Wynik niższy od średniej arytmetycznej liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów\nza rozwiązanie tego zadania uzyskało dokładnie uczniów tej klasy.\n2. Mediana liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania\njest równa\n3. Dominanta liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania\njest równa\n\nMMAP-P0_100\nW tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez $32$ uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań ze sprawdzianu z matematyki. | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 || 4 | 2 | 5 | 11 | 5 | Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. Wynik niższy od średniej arytmetycznej liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania uzyskało dokładnie .................... uczniów tej klasy. Mediana liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania jest równa .................... . Dominanta liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania jest równa .................... .","answer":null,"answer_text":"Zadanie 30. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nXII.2) oblicza średnią arytmetyczną […],\nznajduje medianę i dominantę.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawne uzupełnienie trzech zdań.\n2 pkt - poprawne uzupełnienie dwóch zdań.\n1 pkt - poprawne uzupełnienie jednego zdania.\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nUwaga:\nNie akceptuje się zaokrągleń otrzymanych wyników.\nRozwiązanie\n1. 11\n2. 3,5\n3. 4\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: średnia arytmetyczna = 3, mediana = 3,5\n\n## Sposób 1 - bezpośrednie obliczenia ze wzorów\n\n**Krok 1: Sprawdzamy sumę uczniów**\n\n\\[4 + 2 + 5 + 5 + 11 + 5 = 32 \\checkmark\\]\n\n**Krok 2: Obliczamy średnią arytmetyczną**\n\nŚrednia ważona - każda liczba punktów pojawia się tyle razy, ilu uczniów ją uzyskało:\n\n\\[\\bar{x} = \\frac{0 \\cdot 4 + 1 \\cdot 2 + 2 \\cdot 5 + 3 \\cdot 5 + 4 \\cdot 11 + 5 \\cdot 5}{32}\\]\n\nLiczymy licznik:\n\n\\[0 + 2 + 10 + 15 + 44 + 25 = 96\\]\n\nZatem:\n\n\\[\\bar{x} = \\frac{96}{32} = \\mathbf{3}\\]\n\n**Krok 3: Obliczamy medianę**\n\nMamy \\(32\\) uczniów - parzysta liczba danych, więc mediana to **średnia 16. i 17. wartości** (gdy dane ustawimy rosnąco).\n\nUstawiamy wyniki w kolejności rosnącej i liczymy skumulowane liczebności:\n\n| Punkty | Liczba uczniów | Skumulowane |\n| 0 | 4 | 4 |\n| 1 | 2 | 6 |\n| 2 | 5 | 11 |\n| 3 | 5 | 16 |\n| 4 | 11 | 27 |\n| 5 | 5 | 32 |\n\n- Uczniowie 1-4: wynik 0\n- Uczniowie 5-6: wynik 1\n- Uczniowie 7-11: wynik 2\n- Uczniowie 12-16: wynik 3 → **16. uczeń ma 3 punkty**\n- Uczniowie 17-27: wynik 4 → **17. uczeń ma 4 punkty**\n\nMediana:\n\n\\[\\text{Me} = \\frac{x_{16} + x_{17}}{2} = \\frac{3 + 4}{2} = \\mathbf{3{,}5}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez rozpisanie wszystkich danych\n\nRozpisujemy pełną listę wyników 32 uczniów (posortowaną):\n\n\\[\\underbrace{0,0,0,0}_{4},\\underbrace{1,1}_{2},\\underbrace{2,2,2,2,2}_{5},\\underbrace{3,3,3,3,3}_{5},\\underbrace{4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4}_{11},\\underbrace{5,5,5,5,5}_{5}\\]\n\n**Średnia:** sumujemy wszystkie wartości:\n\n\\[4 \\cdot 0 + 2 \\cdot 1 + 5 \\cdot 2 + 5 \\cdot 3 + 11 \\cdot 4 + 5 \\cdot 5 = 96\\]\n\n\\[\\bar{x} = \\frac{96}{32} = 3\\]\n\n**Mediana:** \\(n = 32\\) (parzyste), więc szukamy 16. i 17. wyrazu.\n\nLicząc od lewej:\n- pozycje 1-4: wartość \\(0\\)\n- pozycje 5-6: wartość \\(1\\)\n- pozycje 7-11: wartość \\(2\\)\n- pozycje 12-**16**: wartość \\(3\\) ← 16. wyraz\n- pozycje **17**-27: wartość \\(4\\) ← 17. wyraz\n\n\\[\\text{Me} = \\frac{3 + 4}{2} = 3{,}5\\]\n\nWyniki zgodne - **średnia = 3, mediana = 3,5**. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)**\n\nŚrednia arytmetyczna (w wersji ważonej):\n\\[\\bar{x} = \\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \\ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \\ldots + w_n}\\]\ngdzie \\(a_i\\) to liczba punktów, \\(w_i\\) to liczba uczniów z tą liczbą punktów. Użyliśmy tego wzoru w obu sposobach.\n\nMediana: środkowy wyraz dla nieparzystego \\(n\\), lub **średnia dwóch środkowych wyrazów dla parzystego \\(n\\)**. Użyliśmy definicji dla \\(n = 32\\) (parzyste) → średnia 16. i 17. wyrazu.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy medianie dla parzystej liczby danych - mediana to **średnia dwóch środkowych**, nie jeden z nich. Tu 16. wyraz to 3, a 17. to 4, więc mediana = 3,5, a nie 3 ani 4!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu średniej z tabeli częstości - każdą liczbę punktów mnożymy przez liczbę uczniów, którzy ją dostali. Częsty błąd to zsumowanie samych liczb punktów (0+1+2+3+4+5) i podzielenie przez 6 zamiast przez 32.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, że skumulowane liczby uczniów sumują się do \\(n = 32\\). To szybki sposób na wykrycie błędu rachunkowego przed podaniem wyniku.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(\\bar{x} = 3,\\; Me = 3{,}5\\)**\n\n### Sposób 1 - Bezpośrednie obliczenie (karta wzorów)\nŚrednia:\n\\[\\bar{x} = \\dfrac{4\\cdot 0 + 2\\cdot 1 + 5\\cdot 2 + 5\\cdot 3 + 11\\cdot 4 + 5\\cdot 5}{32} = \\dfrac{0+2+10+15+44+25}{32} = \\dfrac{96}{32} = 3.\\]\n\nMediana: \\(32\\) liczby - średnia z \\(16\\)-tego i \\(17\\)-tego wyrazu uporządkowanego ciągu.\nKumulacja: 4 (0pkt), 6 (0-1), 11 (0-2), 16 (0-3), 27 (0-4), 32 (0-5).\n16-ty wyraz to jeszcze \\(3\\) pkt (kumulatywnie 16), 17-ty to już \\(4\\) pkt.\n\\(Me = \\dfrac{3+4}{2} = 3{,}5.\\)\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja łącznej liczby\n\\(4+2+5+5+11+5 = 32\\) ✓. Suma punktów \\(= 96.\\) Średnia \\(96/32 = 3.\\)\n\n### Uwagi o punktacji\n- **2 pkt** - oba wyniki: \\(\\bar{x}=3\\) i \\(Me=3{,}5\\).\n- **1 pkt** - tylko średnia LUB tylko mediana.\n- **0 pkt** - błędna metoda.\n\n**Trik:** dla \\(n\\) parzystego mediana = średnia dwóch środkowych; znajdź ich pozycje w skumulowanej częstości.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-30.svg","topics":"Statystyka, prawdopodobienstwo","page_from":27,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 30. (0-3)<br>W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez 32 uczniów pewnej klasy za<br>rozwiązanie jednego z zadań ze sprawdzianu z matematyki.<br>Liczba punktów<br>0<br>1<br>2<br>3<br>4<br>5<br>Liczba uczniów,<br>którzy otrzymali<br>daną liczbę punktów<br>4<br>2<br>5<br>5<br>11<br>5<br>Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania<br>były prawdziwe.</p>\n<ol><li>Wynik niższy od średniej arytmetycznej liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów</li></ol>\n<p>za rozwiązanie tego zadania uzyskało dokładnie uczniów tej klasy.</p>\n<ol><li>Mediana liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania</li></ol>\n<p>jest równa</p>\n<ol><li>Dominanta liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania</li></ol>\n<p>jest równa</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez $32$ uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań ze sprawdzianu z matematyki. | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 || 4 | 2 | 5 | 11 | 5 | Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe. Wynik niższy od średniej arytmetycznej liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania uzyskało dokładnie .................... uczniów tej klasy. Mediana liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania jest równa .................... . Dominanta liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania jest równa .................... .</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 30. (0-3)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.</p>\n<ol><li>Interpretowanie i operowanie</li></ol>\n<p>informacjami przedstawionymi w tekście,<br>zarówno matematycznym, jak<br>i popularnonaukowym, a także w formie<br>wykresów, diagramów, tabel.<br>Zdający:<br>XII.2) oblicza średnią arytmetyczną […],<br>znajduje medianę i dominantę.<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - poprawne uzupełnienie trzech zdań.<br>2 pkt - poprawne uzupełnienie dwóch zdań.<br>1 pkt - poprawne uzupełnienie jednego zdania.<br>0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.<br>Uwaga:<br>Nie akceptuje się zaokrągleń otrzymanych wyników.<br>Rozwiązanie</p>\n<ol><li>11</li><li>3,5</li><li>4</li></ol>\n<p>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-30.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: średnia arytmetyczna = 3, mediana = 3,5</h4>\n<h4>Sposób 1 - bezpośrednie obliczenia ze wzorów</h4>\n<p><strong>Krok 1: Sprawdzamy sumę uczniów</strong></p>\n<p>\\[4 + 2 + 5 + 5 + 11 + 5 = 32 \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Obliczamy średnią arytmetyczną</strong></p>\n<p>Średnia ważona - każda liczba punktów pojawia się tyle razy, ilu uczniów ją uzyskało:</p>\n<p>\\[\\bar{x} = \\frac{0 \\cdot 4 + 1 \\cdot 2 + 2 \\cdot 5 + 3 \\cdot 5 + 4 \\cdot 11 + 5 \\cdot 5}{32}\\]</p>\n<p>Liczymy licznik:</p>\n<p>\\[0 + 2 + 10 + 15 + 44 + 25 = 96\\]</p>\n<p>Zatem:</p>\n<p>\\[\\bar{x} = \\frac{96}{32} = \\mathbf{3}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Obliczamy medianę</strong></p>\n<p>Mamy \\(32\\) uczniów - parzysta liczba danych, więc mediana to <strong>średnia 16. i 17. wartości</strong> (gdy dane ustawimy rosnąco).</p>\n<p>Ustawiamy wyniki w kolejności rosnącej i liczymy skumulowane liczebności:</p>\n<p>| Punkty | Liczba uczniów | Skumulowane |<br>| 0 | 4 | 4 |<br>| 1 | 2 | 6 |<br>| 2 | 5 | 11 |<br>| 3 | 5 | 16 |<br>| 4 | 11 | 27 |<br>| 5 | 5 | 32 |</p>\n<ul><li>Uczniowie 1-4: wynik 0</li><li>Uczniowie 5-6: wynik 1</li><li>Uczniowie 7-11: wynik 2</li><li>Uczniowie 12-16: wynik 3 → <strong>16. uczeń ma 3 punkty</strong></li><li>Uczniowie 17-27: wynik 4 → <strong>17. uczeń ma 4 punkty</strong></li></ul>\n<p>Mediana:</p>\n<p>\\[\\text{Me} = \\frac{x_{16} + x_{17}}{2} = \\frac{3 + 4}{2} = \\mathbf{3{,}5}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - weryfikacja przez rozpisanie wszystkich danych</h4>\n<p>Rozpisujemy pełną listę wyników 32 uczniów (posortowaną):</p>\n<p>\\[\\underbrace{0,0,0,0}<em>{4},\\underbrace{1,1}</em>{2},\\underbrace{2,2,2,2,2}<em>{5},\\underbrace{3,3,3,3,3}</em>{5},\\underbrace{4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4}<em>{11},\\underbrace{5,5,5,5,5}</em>{5}\\]</p>\n<p><strong>Średnia:</strong> sumujemy wszystkie wartości:</p>\n<p>\\[4 \\cdot 0 + 2 \\cdot 1 + 5 \\cdot 2 + 5 \\cdot 3 + 11 \\cdot 4 + 5 \\cdot 5 = 96\\]</p>\n<p>\\[\\bar{x} = \\frac{96}{32} = 3\\]</p>\n<p><strong>Mediana:</strong> \\(n = 32\\) (parzyste), więc szukamy 16. i 17. wyrazu.</p>\n<p>Licząc od lewej:</p>\n<ul><li>pozycje 1-4: wartość \\(0\\)</li><li>pozycje 5-6: wartość \\(1\\)</li><li>pozycje 7-11: wartość \\(2\\)</li><li>pozycje 12-<strong>16</strong>: wartość \\(3\\) ← 16. wyraz</li><li>pozycje <strong>17</strong>-27: wartość \\(4\\) ← 17. wyraz</li></ul>\n<p>\\[\\text{Me} = \\frac{3 + 4}{2} = 3{,}5\\]</p>\n<p>Wyniki zgodne - <strong>średnia = 3, mediana = 3,5</strong>. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)</strong></p>\n<p>Średnia arytmetyczna (w wersji ważonej):<br>\\[\\bar{x} = \\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + \\ldots + w_n a_n}{w_1 + w_2 + \\ldots + w_n}\\]<br>gdzie \\(a_i\\) to liczba punktów, \\(w_i\\) to liczba uczniów z tą liczbą punktów. Użyliśmy tego wzoru w obu sposobach.</p>\n<p>Mediana: środkowy wyraz dla nieparzystego \\(n\\), lub <strong>średnia dwóch środkowych wyrazów dla parzystego \\(n\\)</strong>. Użyliśmy definicji dla \\(n = 32\\) (parzyste) → średnia 16. i 17. wyrazu.</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy medianie dla parzystej liczby danych - mediana to <strong>średnia dwóch środkowych</strong>, nie jeden z nich. Tu 16. wyraz to 3, a 17. to 4, więc mediana = 3,5, a nie 3 ani 4!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy obliczaniu średniej z tabeli częstości - każdą liczbę punktów mnożymy przez liczbę uczniów, którzy ją dostali. Częsty błąd to zsumowanie samych liczb punktów (0+1+2+3+4+5) i podzielenie przez 6 zamiast przez 32.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sprawdź, że skumulowane liczby uczniów sumują się do \\(n = 32\\). To szybki sposób na wykrycie błędu rachunkowego przed podaniem wyniku.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: \\(\\bar{x} = 3,\\; Me = 3{,}5\\)</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Bezpośrednie obliczenie (karta wzorów)</h5>\n<p>Średnia:<br>\\[\\bar{x} = \\dfrac{4\\cdot 0 + 2\\cdot 1 + 5\\cdot 2 + 5\\cdot 3 + 11\\cdot 4 + 5\\cdot 5}{32} = \\dfrac{0+2+10+15+44+25}{32} = \\dfrac{96}{32} = 3.\\]</p>\n<p>Mediana: \\(32\\) liczby - średnia z \\(16\\)-tego i \\(17\\)-tego wyrazu uporządkowanego ciągu.<br>Kumulacja: 4 (0pkt), 6 (0-1), 11 (0-2), 16 (0-3), 27 (0-4), 32 (0-5).<br>16-ty wyraz to jeszcze \\(3\\) pkt (kumulatywnie 16), 17-ty to już \\(4\\) pkt.<br>\\(Me = \\dfrac{3+4}{2} = 3{,}5.\\)</p>\n<h5>Sposób 2 - Weryfikacja łącznej liczby</h5>\n<p>\\(4+2+5+5+11+5 = 32\\) ✓. Suma punktów \\(= 96.\\) Średnia \\(96/32 = 3.\\)</p>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<ul><li><strong>2 pkt</strong> - oba wyniki: \\(\\bar{x}=3\\) i \\(Me=3{,}5\\).</li><li><strong>1 pkt</strong> - tylko średnia LUB tylko mediana.</li><li><strong>0 pkt</strong> - błędna metoda.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> dla \\(n\\) parzystego mediana = średnia dwóch środkowych; znajdź ich pozycje w skumulowanej częstości.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Najpierw obliczamy średnią arytmetyczną.</p>\n<p>Suma punktów zdobytych przez wszystkich uczniów:</p>\n<p>0·4+1·2+2·5+3·5+4·11+5·5</p>\n<p>0+2+10+15+44+25=96</p>\n<p>Liczba uczniów:</p>\n<p>32</p>\n<p>Średnia arytmetyczna:</p>\n<p>(96)/(32)=3</p>\n<p>Wynik niższy od średniej, czyli niższy od 3 , uzyskali uczniowie, którzy otrzymali 0 , 1 albo 2 punkty:</p>\n<p>4+2+5=11</p>\n<p>Teraz wyznaczamy medianę. Jest 32 wyników, więc mediana jest średnią arytmetyczną 16. i 17. wyniku po uporządkowaniu.</p>\n<p>Rozkład wyników:</p>\n<p>0:4, 1:2, 2:5, 3:5, 4:11, 5:5</p>\n<p>Do wyniku 2 włącznie mamy:</p>\n<p>4+2+5=11</p>\n<p>Wyniki równe 3 zajmują miejsca od 12. do 16., więc 16. wynik to 3 .</p>\n<p>Wyniki równe 4 zaczynają się od miejsca 17., więc 17. wynik to 4 .</p>\n<p>mediana=(3+4)/(2)=3 , 5</p>\n<p>Dominanta to wartość występująca najczęściej. Najwięcej uczniów, bo 11 , otrzymało 4 punkty.</p>\n<p>Odpowiedź:</p>\n<ol><li>11</li></ol>\n<ol><li>3 , 5</li></ol>\n<ol><li>4</li></ol>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<ol><li>11</li><li>3,5</li><li>4</li></ol>"}]}