{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"31","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-1)\nProducent latarek przeanalizował wpływ zmiany ceny latarki L25 na liczbę kupujących ten\nprodukt. Z analizy wynika, że roczny zysk 𝒵 ze sprzedaży latarek L25 wyraża się wzorem\n𝒵(𝑥) = (500 + 50𝑥)(16 -𝑥)\ngdzie:\n𝑥 - kwota obniżki ceny latarki L25 (wyrażona w pełnych złotych), spełniająca warunki\n𝑥≥1 i 𝑥≤14,\n𝒵 - roczny zysk ze sprzedaży latarek L25 (wyrażony w złotych), liczony od momentu\nobniżenia ceny.\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nRoczny zysk 𝒵 ze sprzedaży latarek L25 będzie największy dla 𝑥 równego\nA. 3\nB. 4\nC. 7\nD. 14\n\nMMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMAP-P0_100\n\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nMATEMATYKA\nPoziom podstawowy\nFormuła 2023\nProducent latarek przeanalizował wpływ zmiany ceny latarki L25 na liczbę kupujących ten produkt. Z analizy wynika, że roczny zysk Z ze sprzedaży latarek L25 wyraża się wzorem Z(x) = (500+50x)(16-x) gdzie: x - kwota obniżki ceny latarki L25 (wyrażona w pełnych złotych), spełniająca warunki x≥1 i x≤14, Z - roczny zysk ze sprzedaży latarek L25 (wyrażony w złotych), liczony od momentu obniżenia ceny. Roczny zysk Z ze sprzedaży latarek L25 będzie największy dla x równego A. 3 B. 4 C. 7 D. 14","answer":"A","answer_text":"Zadanie 31. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\n1. Interpretowanie i operowanie\ninformacjami przedstawionymi w tekście,\nzarówno matematycznym, jak\ni popularnonaukowym, a także w formie\nwykresów, diagramów, tabel.\nZdający:\nXIII) rozwiązuje zadania optymalizacyjne\nw sytuacjach dających się opisać funkcją\nkwadratową.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nA\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej\ndyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\nI. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze\nstwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.-12.);\nII. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom\npodstawowy, termin dodatkowy 2025.\nI. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\nbłędnego przepisania\nprzestawienia cyfr\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie\nprzestawienia położenia przecinka\nprzestawienia położenia znaku liczby.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę\nrozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej\n1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub\nzapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne\nrozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt\nza rozwiązanie zadania.\n5. W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej\nzdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji\nkwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych\nsprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje\nprawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób\nze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 5.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 8.\n1 pkt - zapisanie równania 85% ⋅𝑦= 70% ⋅80% ⋅𝑥.\nZadanie 9.\n1 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego\n𝑥2 + 3𝑥+ 2, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego\ni obliczenie tych pierwiastków\nALBO\n- konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze\ndyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli,\nALBO\n- poprawne rozwiązanie nierówności 𝑥(𝑥+ 4) < 0 (tzn. stosuje się punkt 6. ogólnych\nzasad oceniania),\nALBO\n- konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego\ntrójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze\nzbiór rozwiązań nierówności w postaci (-1, -2), to może otrzymać 2 punkty za całe\nrozwiązanie.\n2. Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.\n3. Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎+ 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są\nliczbami wymiernymi.\nZadanie 10.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 13.\n1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-𝑝)2 + 𝑞 oraz zapisanie 𝑝= -1\nALBO\n- wyznaczenie drugiego miejsca zerowego funkcji 𝑓: 𝑥1 = -3.\nZadanie 22.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 24.\n3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎, np.\n94,5 = 2 ⋅(𝑎⋅4𝑎+ 𝑎⋅16𝑎+ 4𝑎⋅16𝑎) oraz\nzapisanie objętości prostopadłościanu w postaci 𝑉= 64𝑎3.\nZadanie 27.\n1 pkt - zapisanie jedynie liczby 24 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nUwagi:\n1. W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi ze\nstandardowych zasad oceniania.\n2. Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 16) i konsekwentnie zapisze\nwynik (np. 16\n24), to otrzymuje 2 punkty\nZadanie 30.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\frac{17}{24}\\)\n\n## Sposób 1 - Zliczanie par spełniających warunek wprost\n\n**Krok 1: Określamy przestrzeń zdarzeń elementarnych.**\n\nLosujemy jedną liczbę z \\(X\\) (6 możliwości) i jedną z \\(Y\\) (4 możliwości). Pary są uporządkowane, więc:\n\\[|\\Omega| = 6 \\cdot 4 = 24\\]\n\n**Krok 2: Kiedy \\(x \\cdot y \\geq 0\\)?**\n\nIloczyn dwóch liczb jest nieujemny w trzech przypadkach:\n- \\(x > 0\\) i \\(y > 0\\) (oba dodatnie)\n- \\(x < 0\\) i \\(y < 0\\) (oba ujemne)\n- \\(x = 0\\) lub \\(y = 0\\) (jeden z czynników to zero, iloczyn = 0)\n\n**Krok 3: Zliczamy pary z każdego przypadku.**\n\n**Przypadek 1: \\(x > 0\\) i \\(y > 0\\)**\n\nZe zbioru \\(X\\): liczby dodatnie to \\(\\{1, 2\\}\\) → 2 możliwości\nZe zbioru \\(Y\\): liczby dodatnie to \\(\\{1\\}\\) → 1 możliwość\n\\[2 \\cdot 1 = 2 \\text{ pary}\\]\n\n**Przypadek 2: \\(x < 0\\) i \\(y < 0\\)**\n\nZe zbioru \\(X\\): liczby ujemne to \\(\\{-3, -2, -1\\}\\) → 3 możliwości\nZe zbioru \\(Y\\): liczby ujemne to \\(\\{-2, -1\\}\\) → 2 możliwości\n\\[3 \\cdot 2 = 6 \\text{ par}\\]\n\n**Przypadek 3: \\(x = 0\\) (bez względu na \\(y\\))**\n\nZe zbioru \\(X\\): zero to \\(\\{0\\}\\) → 1 możliwość\nZe zbioru \\(Y\\): dowolna → 4 możliwości\n\\[1 \\cdot 4 = 4 \\text{ pary}\\]\n\n**Przypadek 4: \\(y = 0\\) i \\(x \\neq 0\\)** (żeby nie liczyć pary \\((0,0)\\) podwójnie!)\n\nZe zbioru \\(Y\\): zero to \\(\\{0\\}\\) → 1 możliwość\nZe zbioru \\(X\\): wszystkie prócz 0 → 5 możliwości\n\\[5 \\cdot 1 = 5 \\text{ par}\\]\n\n**Krok 4: Sumujemy.**\n\n\\[|A| = 2 + 6 + 4 + 5 = 17\\]\n\n**Krok 5: Obliczamy prawdopodobieństwo.**\n\n\\[\\boxed{P(A) = \\frac{17}{24}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez dopełnienie (zdarzenie przeciwne)\n\nŁatwiej bywa policzyć zdarzenie przeciwne \\(A'\\): **\\(x \\cdot y < 0\\)**, czyli iloczyn jest ujemny.\n\nIloczyn jest ujemny wtedy i tylko wtedy, gdy dokładnie jeden z czynników jest ujemny, a drugi - dodatni. Zero wyklucza tę możliwość!\n\n**Przypadek 1: \\(x > 0\\) i \\(y < 0\\)**\n\n\\(x \\in \\{1, 2\\}\\) → 2 możliwości\n\\(y \\in \\{-2, -1\\}\\) → 2 możliwości\n\\[2 \\cdot 2 = 4 \\text{ pary}\\]\n\n**Przypadek 2: \\(x < 0\\) i \\(y > 0\\)**\n\n\\(x \\in \\{-3, -2, -1\\}\\) → 3 możliwości\n\\(y \\in \\{1\\}\\) → 1 możliwość\n\\[3 \\cdot 1 = 3 \\text{ pary}\\]\n\nZatem:\n\\[|A'| = 4 + 3 = 7\\]\n\nKorzystamy z zasady dopełnienia:\n\\[P(A) = 1 - P(A') = 1 - \\frac{7}{24} = \\boxed{\\frac{17}{24}}\\]\n\nTen sposób jest **szybszy** - mamy tylko 2 przypadki zamiast 4, bo zero automatycznie \"odpada\" (iloczyn z zerem nie jest ujemny).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego do obliczenia prawdopodobieństwa: liczba par sprzyjających podzielona przez liczbę wszystkich par.\n\n**Dział 14 (s. 29-30)** - zdarzenie przeciwne:\n\\[P(A') = 1 - P(A)\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 - zamiast liczyć pary sprzyjające, policzyliśmy pary niesprzyjające i odjęliśmy od 1.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przypadek \\(x = 0\\) lub \\(y = 0\\) spełnia warunek \\(x \\cdot y \\geq 0\\) (wynik to 0, a \\(0 \\geq 0\\) jest prawdą!). Bardzo częsty błąd to pominięcie par z zerem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy zliczaniu metodą wprost (Sposób 1) trzeba uważać na **podwójne liczenie** pary \\((0, 0)\\). Dlatego liczymy osobno \"x = 0 dla wszystkich y\" i \"y = 0 dla x ≠ 0\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Metoda przez dopełnienie (Sposób 2) jest tu **bezpieczniejsza** i szybsza - problem z zerami znika sam, bo \\(0 \\cdot y = 0\\) nigdy nie jest ujemne, więc pary z zerem w ogóle nie trafiają do \\(A'\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{17}{24}\\)**\n\n### Sposób 1 - Klasyczne prawdopodobieństwo (karta wzorów)\nZdarzenia elementarne: pary \\((x,y)\\).\n\\(|\\Omega| = 6\\cdot 4 = 24.\\)\nWarunek \\(x\\cdot y \\geq 0\\) spełniony w przypadkach:\n- \\(x = 0\\): każde \\(y\\) działa - \\(4\\) pary.\n- \\(y = 0\\): każde \\(x\\) - \\(6\\) par. Ale przeciąłem już \\((0,0)\\) - więc dodaję \\(5\\) nowych.\n- \\(x > 0, y > 0\\) (oba dodatnie): \\(x\\in\\{1,2\\}\\), \\(y\\in\\{1\\}\\) - \\(2\\) pary.\n- \\(x < 0, y < 0\\) (oba ujemne): \\(x\\in\\{-3,-2,-1\\}\\), \\(y\\in\\{-2,-1\\}\\) - \\(3\\cdot 2 = 6\\) par.\n\nSuma: \\(4 + 5 + 2 + 6 = 17.\\)\n\\[P(A) = \\dfrac{17}{24}.\\]\n\n### Sposób 2 - Dopełnienie\nWarunek \\(x\\cdot y < 0\\): różne znaki, **żadne** z \\(x, y\\) nie jest zerem.\n- \\(x > 0, y < 0\\): \\(2\\cdot 2 = 4\\) par.\n- \\(x < 0, y > 0\\): \\(3\\cdot 1 = 3\\) par.\nRazem \\(|A'| = 7.\\) Zatem \\(|A| = 24 - 7 = 17.\\)\n\n### Uwagi o punktacji\n- **2 pkt** - poprawny wynik \\(\\dfrac{17}{24}\\).\n- **1 pkt** - wyznaczenie \\(|\\Omega|=24\\) lub liczby zdarzeń sprzyjających.\n- **0 pkt** - błędna metoda.\n\n**Trik:** gdy \\(x = 0\\) lub \\(y = 0\\), iloczyn \\(= 0 \\geq 0\\) ✓; rozpatrz przypadki oddzielnie.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"Optymalizacja","page_from":28,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 31. (0-1)<br>Producent latarek przeanalizował wpływ zmiany ceny latarki L25 na liczbę kupujących ten<br>produkt. Z analizy wynika, że roczny zysk 𝒵 ze sprzedaży latarek L25 wyraża się wzorem<br>𝒵(𝑥) = (500 + 50𝑥)(16 -𝑥)<br>gdzie:<br>𝑥 - kwota obniżki ceny latarki L25 (wyrażona w pełnych złotych), spełniająca warunki<br>𝑥≥1 i 𝑥≤14,<br>𝒵 - roczny zysk ze sprzedaży latarek L25 (wyrażony w złotych), liczony od momentu<br>obniżenia ceny.<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Roczny zysk 𝒵 ze sprzedaży latarek L25 będzie największy dla 𝑥 równego<br>A. 3<br>B. 4<br>C. 7<br>D. 14</p>\n<p>MMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>MMAP-P0_100</p>\n<p>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2023<br>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2023<br>MATEMATYKA<br>Poziom podstawowy<br>Formuła 2023<br>Producent latarek przeanalizował wpływ zmiany ceny latarki L25 na liczbę kupujących ten produkt. Z analizy wynika, że roczny zysk Z ze sprzedaży latarek L25 wyraża się wzorem Z(x) = (500+50x)(16-x) gdzie: x - kwota obniżki ceny latarki L25 (wyrażona w pełnych złotych), spełniająca warunki x≥1 i x≤14, Z - roczny zysk ze sprzedaży latarek L25 (wyrażony w złotych), liczony od momentu obniżenia ceny. Roczny zysk Z ze sprzedaży latarek L25 będzie największy dla x równego A. 3 B. 4 C. 7 D. 14</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 31. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.</p>\n<ol><li>Interpretowanie i operowanie</li></ol>\n<p>informacjami przedstawionymi w tekście,<br>zarówno matematycznym, jak<br>i popularnonaukowym, a także w formie<br>wykresów, diagramów, tabel.<br>Zdający:<br>XIII) rozwiązuje zadania optymalizacyjne<br>w sytuacjach dających się opisać funkcją<br>kwadratową.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>A<br>Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią<br>Obowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej<br>dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:<br>I. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze<br>stwierdzoną dyskalkulią (punkty 1.-12.);<br>II. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy<br>osób ze stwierdzoną dyskalkulią - egzamin maturalny z matematyki, poziom<br>podstawowy, termin dodatkowy 2025.<br>I. Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną<br>dyskalkulią</p>\n<ol><li>Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:</li></ol>\n<p>błędnego przepisania<br>przestawienia cyfr<br>zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie<br>przestawienia położenia przecinka<br>przestawienia położenia znaku liczby.</p>\n<ol><li>W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu</li></ol>\n<p>oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza<br>umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania<br>badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.</p>\n<ol><li>We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę</li></ol>\n<p>rozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej<br>1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.</p>\n<ol><li>Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub</li></ol>\n<p>zapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne<br>rozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt<br>za rozwiązanie zadania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego wyznaczenia pierwiastków trójmianu</li></ol>\n<p>kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę<br>wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania<br>wartościach liczbowych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający</li></ol>\n<p>może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności<br>kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej</li></ol>\n<p>zdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji<br>kwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych</li></ol>\n<p>lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie<br>takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na</li></ol>\n<p>płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu<br>rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur<br>geometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać</li></ol>\n<p>przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych<br>sprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje<br>prawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli</li></ol>\n<p>podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia<br>rozwiązania.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub</li></ol>\n<p>geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która<br>wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać<br>1 punkt.<br>II. Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób<br>ze stwierdzoną dyskalkulią<br>Zadanie 5.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 8.<br>1 pkt - zapisanie równania 85% ⋅𝑦= 70% ⋅80% ⋅𝑥.<br>Zadanie 9.<br>1 pkt - zastosowanie poprawnej metody obliczenia pierwiastków trójmianu kwadratowego<br>𝑥2 + 3𝑥+ 2, tzn. zastosowanie wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego<br>i obliczenie tych pierwiastków<br>ALBO</p>\n<ul><li>konsekwentne (do otrzymanego w wyniku popełnienia błędów o charakterze</li></ul>\n<p>dyskalkulicznym ujemnego wyróżnika) narysowanie paraboli,<br>ALBO</p>\n<ul><li>poprawne rozwiązanie nierówności 𝑥(𝑥+ 4) &lt; 0 (tzn. stosuje się punkt 6. ogólnych</li></ul>\n<p>zasad oceniania),<br>ALBO</p>\n<ul><li>konsekwentne (do wyznaczonych przez siebie pierwiastków oraz rozpatrywanego</li></ul>\n<p>trójmianu i nierówności) wyznaczenie zbioru rozwiązań nierówności.<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający, rozwiązując nierówność, pomyli porządek liczb na osi liczbowej i zapisze</li></ol>\n<p>zbiór rozwiązań nierówności w postaci (-1, -2), to może otrzymać 2 punkty za całe<br>rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Nie stosuje się uwag 2. i 3. z zasad oceniania arkusza standardowego.</li><li>Akceptowane jest zapisanie pierwiastków trójmianu w postaci 𝑎+ 𝑏√𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏, 𝑐 są</li></ol>\n<p>liczbami wymiernymi.<br>Zadanie 10.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 13.<br>1 pkt - zapisanie wzoru funkcji 𝑓 w postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥-𝑝)2 + 𝑞 oraz zapisanie 𝑝= -1<br>ALBO</p>\n<ul><li>wyznaczenie drugiego miejsca zerowego funkcji 𝑓: 𝑥1 = -3.</li></ul>\n<p>Zadanie 22.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 24.<br>3 pkt - zapisanie równania z jedną niewiadomą 𝑎, np.<br>94,5 = 2 ⋅(𝑎⋅4𝑎+ 𝑎⋅16𝑎+ 4𝑎⋅16𝑎) oraz<br>zapisanie objętości prostopadłościanu w postaci 𝑉= 64𝑎3.<br>Zadanie 27.<br>1 pkt - zapisanie jedynie liczby 24 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich<br>zdarzeń elementarnych).<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>W ocenie rozwiązania tego zadania (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi ze</li></ol>\n<p>standardowych zasad oceniania.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający poprawnie wypisze/zaznaczy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające</li></ol>\n<p>zdarzeniu 𝐴, lecz popełni błąd w ich zliczeniu (np. |𝐴| = 16) i konsekwentnie zapisze<br>wynik (np. 16<br>24), to otrzymuje 2 punkty<br>Zadanie 30.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-31.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\frac{17}{24}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Zliczanie par spełniających warunek wprost</h4>\n<p><strong>Krok 1: Określamy przestrzeń zdarzeń elementarnych.</strong></p>\n<p>Losujemy jedną liczbę z \\(X\\) (6 możliwości) i jedną z \\(Y\\) (4 możliwości). Pary są uporządkowane, więc:<br>\\[|\\Omega| = 6 \\cdot 4 = 24\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Kiedy \\(x \\cdot y \\geq 0\\)?</strong></p>\n<p>Iloczyn dwóch liczb jest nieujemny w trzech przypadkach:</p>\n<ul><li>\\(x &gt; 0\\) i \\(y &gt; 0\\) (oba dodatnie)</li><li>\\(x &lt; 0\\) i \\(y &lt; 0\\) (oba ujemne)</li><li>\\(x = 0\\) lub \\(y = 0\\) (jeden z czynników to zero, iloczyn = 0)</li></ul>\n<p><strong>Krok 3: Zliczamy pary z każdego przypadku.</strong></p>\n<p><strong>Przypadek 1: \\(x &gt; 0\\) i \\(y &gt; 0\\)</strong></p>\n<p>Ze zbioru \\(X\\): liczby dodatnie to \\(\\{1, 2\\}\\) → 2 możliwości<br>Ze zbioru \\(Y\\): liczby dodatnie to \\(\\{1\\}\\) → 1 możliwość<br>\\[2 \\cdot 1 = 2 \\text{ pary}\\]</p>\n<p><strong>Przypadek 2: \\(x &lt; 0\\) i \\(y &lt; 0\\)</strong></p>\n<p>Ze zbioru \\(X\\): liczby ujemne to \\(\\{-3, -2, -1\\}\\) → 3 możliwości<br>Ze zbioru \\(Y\\): liczby ujemne to \\(\\{-2, -1\\}\\) → 2 możliwości<br>\\[3 \\cdot 2 = 6 \\text{ par}\\]</p>\n<p><strong>Przypadek 3: \\(x = 0\\) (bez względu na \\(y\\))</strong></p>\n<p>Ze zbioru \\(X\\): zero to \\(\\{0\\}\\) → 1 możliwość<br>Ze zbioru \\(Y\\): dowolna → 4 możliwości<br>\\[1 \\cdot 4 = 4 \\text{ pary}\\]</p>\n<p><strong>Przypadek 4: \\(y = 0\\) i \\(x \\neq 0\\)</strong> (żeby nie liczyć pary \\((0,0)\\) podwójnie!)</p>\n<p>Ze zbioru \\(Y\\): zero to \\(\\{0\\}\\) → 1 możliwość<br>Ze zbioru \\(X\\): wszystkie prócz 0 → 5 możliwości<br>\\[5 \\cdot 1 = 5 \\text{ par}\\]</p>\n<p><strong>Krok 4: Sumujemy.</strong></p>\n<p>\\[|A| = 2 + 6 + 4 + 5 = 17\\]</p>\n<p><strong>Krok 5: Obliczamy prawdopodobieństwo.</strong></p>\n<p>\\[\\boxed{P(A) = \\frac{17}{24}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Przez dopełnienie (zdarzenie przeciwne)</h4>\n<p>Łatwiej bywa policzyć zdarzenie przeciwne \\(A&#x27;\\): <strong>\\(x \\cdot y &lt; 0\\)</strong>, czyli iloczyn jest ujemny.</p>\n<p>Iloczyn jest ujemny wtedy i tylko wtedy, gdy dokładnie jeden z czynników jest ujemny, a drugi - dodatni. Zero wyklucza tę możliwość!</p>\n<p><strong>Przypadek 1: \\(x &gt; 0\\) i \\(y &lt; 0\\)</strong></p>\n<p>\\(x \\in \\{1, 2\\}\\) → 2 możliwości<br>\\(y \\in \\{-2, -1\\}\\) → 2 możliwości<br>\\[2 \\cdot 2 = 4 \\text{ pary}\\]</p>\n<p><strong>Przypadek 2: \\(x &lt; 0\\) i \\(y &gt; 0\\)</strong></p>\n<p>\\(x \\in \\{-3, -2, -1\\}\\) → 3 możliwości<br>\\(y \\in \\{1\\}\\) → 1 możliwość<br>\\[3 \\cdot 1 = 3 \\text{ pary}\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\[|A&#x27;| = 4 + 3 = 7\\]</p>\n<p>Korzystamy z zasady dopełnienia:<br>\\[P(A) = 1 - P(A&#x27;) = 1 - \\frac{7}{24} = \\boxed{\\frac{17}{24}}\\]</p>\n<p>Ten sposób jest <strong>szybszy</strong> - mamy tylko 2 przypadki zamiast 4, bo zero automatycznie &quot;odpada&quot; (iloczyn z zerem nie jest ujemny).</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)</strong> - prawdopodobieństwo klasyczne:<br>\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]<br>Użyliśmy tego do obliczenia prawdopodobieństwa: liczba par sprzyjających podzielona przez liczbę wszystkich par.</p>\n<p><strong>Dział 14 (s. 29-30)</strong> - zdarzenie przeciwne:<br>\\[P(A&#x27;) = 1 - P(A)\\]<br>Użyliśmy tego w Sposobie 2 - zamiast liczyć pary sprzyjające, policzyliśmy pary niesprzyjające i odjęliśmy od 1.</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przypadek \\(x = 0\\) lub \\(y = 0\\) spełnia warunek \\(x \\cdot y \\geq 0\\) (wynik to 0, a \\(0 \\geq 0\\) jest prawdą!). Bardzo częsty błąd to pominięcie par z zerem.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy zliczaniu metodą wprost (Sposób 1) trzeba uważać na <strong>podwójne liczenie</strong> pary \\((0, 0)\\). Dlatego liczymy osobno &quot;x = 0 dla wszystkich y&quot; i &quot;y = 0 dla x ≠ 0&quot;.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Metoda przez dopełnienie (Sposób 2) jest tu <strong>bezpieczniejsza</strong> i szybsza - problem z zerami znika sam, bo \\(0 \\cdot y = 0\\) nigdy nie jest ujemne, więc pary z zerem w ogóle nie trafiają do \\(A&#x27;\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{17}{24}\\)</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Klasyczne prawdopodobieństwo (karta wzorów)</h5>\n<p>Zdarzenia elementarne: pary \\((x,y)\\).<br>\\(|\\Omega| = 6\\cdot 4 = 24.\\)<br>Warunek \\(x\\cdot y \\geq 0\\) spełniony w przypadkach:</p>\n<ul><li>\\(x = 0\\): każde \\(y\\) działa - \\(4\\) pary.</li><li>\\(y = 0\\): każde \\(x\\) - \\(6\\) par. Ale przeciąłem już \\((0,0)\\) - więc dodaję \\(5\\) nowych.</li><li>\\(x &gt; 0, y &gt; 0\\) (oba dodatnie): \\(x\\in\\{1,2\\}\\), \\(y\\in\\{1\\}\\) - \\(2\\) pary.</li><li>\\(x &lt; 0, y &lt; 0\\) (oba ujemne): \\(x\\in\\{-3,-2,-1\\}\\), \\(y\\in\\{-2,-1\\}\\) - \\(3\\cdot 2 = 6\\) par.</li></ul>\n<p>Suma: \\(4 + 5 + 2 + 6 = 17.\\)<br>\\[P(A) = \\dfrac{17}{24}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Dopełnienie</h5>\n<p>Warunek \\(x\\cdot y &lt; 0\\): różne znaki, <strong>żadne</strong> z \\(x, y\\) nie jest zerem.</p>\n<ul><li>\\(x &gt; 0, y &lt; 0\\): \\(2\\cdot 2 = 4\\) par.</li><li>\\(x &lt; 0, y &gt; 0\\): \\(3\\cdot 1 = 3\\) par.</li></ul>\n<p>Razem \\(|A&#x27;| = 7.\\) Zatem \\(|A| = 24 - 7 = 17.\\)</p>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<ul><li><strong>2 pkt</strong> - poprawny wynik \\(\\dfrac{17}{24}\\).</li><li><strong>1 pkt</strong> - wyznaczenie \\(|\\Omega|=24\\) lub liczby zdarzeń sprzyjających.</li><li><strong>0 pkt</strong> - błędna metoda.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> gdy \\(x = 0\\) lub \\(y = 0\\), iloczyn \\(= 0 \\geq 0\\) ✓; rozpatrz przypadki oddzielnie.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, zauważ że funkcja opisująca zysk jest funkcją kwadratową. Jej miejsca zerowe to $x_1=16$ oraz $500+50x_2=0\\rightarrow x_2=-10$.<br>Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli to $\\displaystyle \\small p=\\frac{x_1+x_2}{2}=3$.<br>Ramiona paraboli są skierowane w dół - czyli funkcja przyjmuje wartość największą (przyjmuje ją w wierzchołku). A zatem $x_{max}=3$</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Zysk jest opisany wzorem:</p>\n<p>Z(x)=(500+50x)(16-x)</p>\n<p>Rozwijamy iloczyn:</p>\n<p>Z(x)=500·16-500x+50x·16-50x^2</p>\n<p>Z(x)=8000-500x+800x-50x^2</p>\n<p>Z(x)=-50x^2+300x+8000</p>\n<p>Jest to funkcja kwadratowa, której wykres jest parabolą skierowaną ramionami w dół, więc największa wartość występuje w wierzchołku.</p>\n<p>Współrzędna x wierzchołka:</p>\n<p>x_w=(-b)/(2a)</p>\n<p>Dla a=-50 , b=300 :</p>\n<p>x_w=(-300)/(2·(-50))</p>\n<p>x_w=(-300)/(-100)=3</p>\n<p>Liczba 3 spełnia warunki x≥1 oraz x≤14 .</p>\n<p>Odpowiedź: A. 3</p>"}]}