W układzie współrzędnych (x, y) wykres funkcji kwadratowej f przechodzi przez punkt (2, 15) . Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu x= -1 . Jednym z miejsc zerowych funkcji f jest liczba 1 . Wyznacz wzór funkcji f w postaci kanonicznej oraz zbiór wartości funkcji f.
","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"Krok 1: Zapisujemy postać kanoniczną na podstawie osi symetrii.
\nOś symetrii \\(x = -1\\) oznacza, że wierzchołek paraboli ma \\(p = -1\\). Postać kanoniczna:
\\[f(x) = a(x+1)^2 + q\\]
Krok 2: Korzystamy z miejsca zerowego.
\nSkoro \\(x = 1\\) jest miejscem zerowym, to \\(f(1) = 0\\):
\\[a(1+1)^2 + q = 0\\]
\\[4a + q = 0\\]
\\[q = -4a\\]
Krok 3: Korzystamy z punktu \\((2, 15)\\).
\n\\[f(2) = 15\\]
\\[a(2+1)^2 + q = 15\\]
\\[9a + q = 15\\]
Krok 4: Podstawiamy \\(q = -4a\\) do równania z kroku 3.
\n\\[9a + (-4a) = 15\\]
\\[5a = 15\\]
\\[a = 3\\]
Stąd: \\(q = -4 \\cdot 3 = -12\\).
\nWynik: \\(\\boxed{f(x) = 3(x+1)^2 - 12}\\)
\nKrok 5: Zbiór wartości.
\nPonieważ \\(a = 3 > 0\\), parabola jest skierowana ramionami ku górze. Najmniejsza wartość funkcji to wartość w wierzchołku \\(q = -12\\).
\n\\[\\boxed{ZW = \\langle -12, +\\infty)}\\]
\nKrok 1: Znajdź oba miejsca zerowe.
\nOś symetrii \\(x = -1\\) - oba pierwiastki leżą symetrycznie względem niej. Jeden pierwiastek to \\(x_1 = 1\\), jego odległość od osi to \\(|1 - (-1)| = 2\\). Drugi pierwiastek leży po drugiej stronie:
\\[x_2 = -1 - 2 = -3\\]
Krok 2: Zapisz postać iloczynową.
\n\\[f(x) = a(x - 1)(x + 3)\\]
\nKrok 3: Wyznacz \\(a\\) z warunku punktu \\((2, 15)\\).
\n\\[a(2 - 1)(2 + 3) = 15\\]
\\[a \\cdot 1 \\cdot 5 = 15\\]
\\[a = 3\\]
Zatem: \\(f(x) = 3(x-1)(x+3)\\).
\nKrok 4: Rozwinij i przelicz na postać kanoniczną.
\n\\[f(x) = 3(x^2 + 2x - 3) = 3x^2 + 6x - 9\\]
\nWspółrzędna wierzchołka:
\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{6}{6} = -1\\]
\\[q = f(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) - 9 = 3 - 6 - 9 = -12\\]
\\[\\boxed{f(x) = 3(x+1)^2 - 12}\\] ✓
\nDział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):
\nPostać kanoniczna:
\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]
Użyta w Sposobie 1 - oś symetrii to \\(x = p\\), wierzchołek \\(W = (p, q)\\).
Współrzędna wierzchołka ze wzoru ogólnego (użyta w Sposobie 2):
\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]
Postać iloczynowa (użyta w Sposobie 2):
\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]
Własność symetrii pierwiastków (wynikająca ze wzorów Viète'a):
\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a} = 2p\\]
Stąd: jeśli znamy \\(x_1\\) i \\(p\\), to \\(x_2 = 2p - x_1\\).
⚠️ Uwaga: Oś symetrii \\(x = p\\) to NIE jest miejsce zerowe - to współrzędna wierzchołka. Wielu uczniów wpisuje \\(f(-1) = 0\\) zamiast korzystać z danego miejsca zerowego \\(f(1) = 0\\).\n
⚠️ Uwaga: Zbiór wartości zależy od znaku \\(a\\). Jeśli \\(a > 0\\) - parabola skierowana ku górze, \\(ZW = \\langle q, +\\infty)\\). Jeśli \\(a < 0\\) - ku dołowi, \\(ZW = (-\\infty, q\\rangle\\). Nie zakładaj z góry - sprawdź znak \\(a\\) po obliczeniu!\n
⚠️ Uwaga: W postaci kanonicznej \\(f(x) = a(x - p)^2 + q\\) przy \\(p = -1\\) piszemy \\((x - (-1))^2 = (x + 1)^2\\). Błąd znaku tu (napisanie \\((x-1)^2\\)) to najczęstsze potknięcie.\n
Poprawna odpowiedź: \\(f(x) = 3(x+1)^{2} - 12,\\; ZW_{f} = \\langle -12, +\\infty)\\)
\nOś symetrii \\(x = -1\\) leży na środku między miejscami zerowymi. Skoro jedno z nich to \\(1\\), drugie musi być \\(-3\\) (bo \\(\\dfrac{1+(-3)}{2} = -1\\)).
\\(f(x) = a(x-1)(x+3).\\)
Warunek \\(f(2) = 15\\): \\(a(2-1)(2+3) = 5a = 15 \\Rightarrow a = 3.\\)
\\(f(x) = 3(x-1)(x+3) = 3(x^{2}+2x-3).\\)
Postać kanoniczna: \\(f(x) = 3(x^{2}+2x+1-4) = 3[(x+1)^{2}-4] = 3(x+1)^{2}-12.\\)
Zbiór wartości: \\(a=3>0\\) → minimum w wierzchołku \\((-1,-12).\\) \\(ZW_{f} = \\langle -12, +\\infty).\\)
\\(f(x) = a(x+1)^{2} + q.\\)
\\(f(1) = 0\\): \\(4a + q = 0.\\)
\\(f(2) = 15\\): \\(9a + q = 15.\\)
Odejmując: \\(5a = 15 \\Rightarrow a = 3,\\; q = -12.\\)
\\(f(x) = 3(x+1)^{2} - 12.\\) \\(ZW_{f} = \\langle -12, +\\infty).\\)
Trik: oś symetrii = średnia miejsc zerowych; wyznacz drugie miejsce zerowe.
"}]}