{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"33","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 94,5 . Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym 4 . Oblicz objętość tego prostopadłościanu.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: V = 27\n\n## Sposób 1 - Oznaczenie krawędzi przez iloraz ciągu\n\n**Oznaczamy krawędzie.** Niech trzy krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie \\(q = 4\\). Oznaczamy je:\n\\[a, \\quad 4a, \\quad 16a\\]\n\n**Zapisujemy warunek na pole powierzchni całkowitej** (wzór z karty CKE, Dział 12):\n\\[P_c = 2(ab + bc + ca) = 94{,}5\\]\n\nPodstawiamy nasze krawędzie:\n\\[2\\bigl(a \\cdot 4a + 4a \\cdot 16a + 16a \\cdot a\\bigr) = 94{,}5\\]\n\\[2\\bigl(4a^2 + 64a^2 + 16a^2\\bigr) = 94{,}5\\]\n\\[2 \\cdot 84a^2 = 94{,}5\\]\n\\[168a^2 = 94{,}5\\]\n\\[a^2 = \\frac{94{,}5}{168} = \\frac{9}{16}\\]\n\\[a = \\frac{3}{4}\\]\n\n**Wyznaczamy wszystkie krawędzie:**\n\\[a = \\frac{3}{4}, \\quad 4a = 3, \\quad 16a = 12\\]\n\n**Obliczamy objętość:**\n\\[V = a \\cdot 4a \\cdot 16a = \\frac{3}{4} \\cdot 3 \\cdot 12 = \\frac{3}{4} \\cdot 36 = \\mathbf{27}\\]\n\n## Sposób 2 - Podstawienie środkowego wyrazu ciągu\n\n**Kluczowa obserwacja:** w ciągu geometrycznym \\((a_1, a_2, a_3)\\) z ilorazem \\(q = 4\\) zachodzi:\n\\[a_1 = \\frac{a_2}{4}, \\quad a_3 = 4a_2\\]\n\nPonadto \\(V = a_1 \\cdot a_2 \\cdot a_3 = \\frac{a_2}{4} \\cdot a_2 \\cdot 4a_2 = a_2^3\\), więc **objętość to sześcian środkowego wyrazu**.\n\n**Wyrażamy pole przez \\(a_2\\):**\n\\[a_1 a_2 = \\frac{a_2^2}{4}, \\quad a_2 a_3 = 4a_2^2, \\quad a_1 a_3 = \\frac{a_2}{4} \\cdot 4a_2 = a_2^2\\]\n\nWarunek na pole:\n\\[2\\!\\left(\\frac{a_2^2}{4} + 4a_2^2 + a_2^2\\right) = 94{,}5\\]\n\\[2 \\cdot \\frac{21}{4}\\,a_2^2 = 94{,}5\\]\n\\[\\frac{21}{2}\\,a_2^2 = 94{,}5\\]\n\\[a_2^2 = 9 \\implies a_2 = 3\\]\n\nObjętość:\n\\[V = a_2^3 = 3^3 = \\mathbf{27}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26)**\n\n- Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu:\n\\[P_c = 2(ab + bc + ca)\\]\nUżyte do zapisania równania z jedną niewiadomą.\n\n- Objętość prostopadłościanu:\n\\[V = abc\\]\nUżyte do obliczenia wyniku końcowego.\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - ogólny wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyte do wyrażenia krawędzi \\(b = qa\\), \\(c = q^2 a\\) przy \\(q = 4\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu to \\(2(ab + bc + ca)\\), a nie \\(6a^2\\) - ten ostatni wzór dotyczy **sześcianu** (gdy wszystkie krawędzie są równe). Tutaj krawędzie są **różne**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ciąg geometryczny z ilorazem \\(4\\) to \\(a, 4a, 16a\\) - czyli każdy kolejny wyraz jest **cztery razy większy**, nie cztery razy więcej niż pierwszy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(a^2 = \\frac{94{,}5}{168}\\) - upraszczaj ułamek etapami: \\(\\frac{94{,}5}{168} = \\frac{189}{336} = \\frac{9}{16}\\). Błąd w uproszczeniu prowadzi do irracjonalnego \\(a\\), co jest sygnałem pomyłki.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(V = 27\\)**\n\n### Sposób 1 - Ciąg geometryczny krawędzi (karta wzorów)\nNiech krawędzie z jednego wierzchołka: \\(a,\\; 4a,\\; 16a\\).\nPole całkowite prostopadłościanu: \\(P = 2(ab+ac+bc).\\) Tu: \\(P = 2(a\\cdot 4a + a\\cdot 16a + 4a\\cdot 16a) = 2(4a^{2}+16a^{2}+64a^{2}) = 2\\cdot 84a^{2} = 168a^{2}.\\)\n\\[168a^{2} = 94{,}5 \\Rightarrow a^{2} = \\dfrac{94{,}5}{168} = 0{,}5625 \\Rightarrow a = 0{,}75 = \\dfrac{3}{4}.\\]\nObjętość: \\(V = a\\cdot 4a\\cdot 16a = 64a^{3} = 64\\cdot\\left(\\dfrac{3}{4}\\right)^{3} = 64\\cdot\\dfrac{27}{64} = 27.\\)\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\n\\(a = \\dfrac{3}{4},\\, 4a = 3,\\, 16a = 12.\\) Pole: \\(2(\\dfrac{3}{4}\\cdot 3 + \\dfrac{3}{4}\\cdot 12 + 3\\cdot 12) = 2(\\dfrac{9}{4}+9+36) = 2(2{,}25+45) = 2\\cdot 47{,}25 = 94{,}5\\) ✓.\nObjętość: \\(\\dfrac{3}{4}\\cdot 3\\cdot 12 = 27\\) ✓.\n\n### Uwagi o punktacji\n- **4 pkt** - poprawny wynik \\(V = 27\\).\n- **3 pkt** - wyznaczenie \\(a = \\dfrac{3}{4}\\).\n- **2 pkt** - równanie z jedną niewiadomą \\(168a^{2}=94{,}5\\).\n- **1 pkt** - zapisanie krawędzi \\(a,\\,4a,\\,16a\\).\n\n**Trik:** ciąg geometryczny o ilorazie \\(q\\): \\(a, aq, aq^{2}\\); tu \\(q=4\\), więc \\(a, 4a, 16a\\).","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 94,5 . Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym 4 . Oblicz objętość tego prostopadłościanu.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: V = 27

\n

Sposób 1 - Oznaczenie krawędzi przez iloraz ciągu

\n

Oznaczamy krawędzie. Niech trzy krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie \\(q = 4\\). Oznaczamy je:
\\[a, \\quad 4a, \\quad 16a\\]

\n

Zapisujemy warunek na pole powierzchni całkowitej (wzór z karty CKE, Dział 12):
\\[P_c = 2(ab + bc + ca) = 94{,}5\\]

\n

Podstawiamy nasze krawędzie:
\\[2\\bigl(a \\cdot 4a + 4a \\cdot 16a + 16a \\cdot a\\bigr) = 94{,}5\\]
\\[2\\bigl(4a^2 + 64a^2 + 16a^2\\bigr) = 94{,}5\\]
\\[2 \\cdot 84a^2 = 94{,}5\\]
\\[168a^2 = 94{,}5\\]
\\[a^2 = \\frac{94{,}5}{168} = \\frac{9}{16}\\]
\\[a = \\frac{3}{4}\\]

\n

Wyznaczamy wszystkie krawędzie:
\\[a = \\frac{3}{4}, \\quad 4a = 3, \\quad 16a = 12\\]

\n

Obliczamy objętość:
\\[V = a \\cdot 4a \\cdot 16a = \\frac{3}{4} \\cdot 3 \\cdot 12 = \\frac{3}{4} \\cdot 36 = \\mathbf{27}\\]

\n

Sposób 2 - Podstawienie środkowego wyrazu ciągu

\n

Kluczowa obserwacja: w ciągu geometrycznym \\((a_1, a_2, a_3)\\) z ilorazem \\(q = 4\\) zachodzi:
\\[a_1 = \\frac{a_2}{4}, \\quad a_3 = 4a_2\\]

\n

Ponadto \\(V = a_1 \\cdot a_2 \\cdot a_3 = \\frac{a_2}{4} \\cdot a_2 \\cdot 4a_2 = a_2^3\\), więc objętość to sześcian środkowego wyrazu.

\n

Wyrażamy pole przez \\(a_2\\):
\\[a_1 a_2 = \\frac{a_2^2}{4}, \\quad a_2 a_3 = 4a_2^2, \\quad a_1 a_3 = \\frac{a_2}{4} \\cdot 4a_2 = a_2^2\\]

\n

Warunek na pole:
\\[2\\!\\left(\\frac{a_2^2}{4} + 4a_2^2 + a_2^2\\right) = 94{,}5\\]
\\[2 \\cdot \\frac{21}{4}\\,a_2^2 = 94{,}5\\]
\\[\\frac{21}{2}\\,a_2^2 = 94{,}5\\]
\\[a_2^2 = 9 \\implies a_2 = 3\\]

\n

Objętość:
\\[V = a_2^3 = 3^3 = \\mathbf{27}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26)

\n\n

\\[P_c = 2(ab + bc + ca)\\]
Użyte do zapisania równania z jedną niewiadomą.

\n\n

\\[V = abc\\]
Użyte do obliczenia wyniku końcowego.

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - ogólny wyraz ciągu geometrycznego:
\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]
Użyte do wyrażenia krawędzi \\(b = qa\\), \\(c = q^2 a\\) przy \\(q = 4\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu to \\(2(ab + bc + ca)\\), a nie \\(6a^2\\) - ten ostatni wzór dotyczy sześcianu (gdy wszystkie krawędzie są równe). Tutaj krawędzie są różne.
\n
⚠️ Uwaga: Ciąg geometryczny z ilorazem \\(4\\) to \\(a, 4a, 16a\\) - czyli każdy kolejny wyraz jest cztery razy większy, nie cztery razy więcej niż pierwszy.
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\(a^2 = \\frac{94{,}5}{168}\\) - upraszczaj ułamek etapami: \\(\\frac{94{,}5}{168} = \\frac{189}{336} = \\frac{9}{16}\\). Błąd w uproszczeniu prowadzi do irracjonalnego \\(a\\), co jest sygnałem pomyłki.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(V = 27\\)

\n
Sposób 1 - Ciąg geometryczny krawędzi (karta wzorów)
\n

Niech krawędzie z jednego wierzchołka: \\(a,\\; 4a,\\; 16a\\).
Pole całkowite prostopadłościanu: \\(P = 2(ab+ac+bc).\\) Tu: \\(P = 2(a\\cdot 4a + a\\cdot 16a + 4a\\cdot 16a) = 2(4a^{2}+16a^{2}+64a^{2}) = 2\\cdot 84a^{2} = 168a^{2}.\\)
\\[168a^{2} = 94{,}5 \\Rightarrow a^{2} = \\dfrac{94{,}5}{168} = 0{,}5625 \\Rightarrow a = 0{,}75 = \\dfrac{3}{4}.\\]
Objętość: \\(V = a\\cdot 4a\\cdot 16a = 64a^{3} = 64\\cdot\\left(\\dfrac{3}{4}\\right)^{3} = 64\\cdot\\dfrac{27}{64} = 27.\\)

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie
\n

\\(a = \\dfrac{3}{4},\\, 4a = 3,\\, 16a = 12.\\) Pole: \\(2(\\dfrac{3}{4}\\cdot 3 + \\dfrac{3}{4}\\cdot 12 + 3\\cdot 12) = 2(\\dfrac{9}{4}+9+36) = 2(2{,}25+45) = 2\\cdot 47{,}25 = 94{,}5\\) ✓.
Objętość: \\(\\dfrac{3}{4}\\cdot 3\\cdot 12 = 27\\) ✓.

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: ciąg geometryczny o ilorazie \\(q\\): \\(a, aq, aq^{2}\\); tu \\(q=4\\), więc \\(a, 4a, 16a\\).

"}]}