{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"34","points":null,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"W układzie współrzędnych (x, y) punkty A= (0, 1) oraz C= (6, 4) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD . Prosta k o równaniu y= ax+ b przechodzi przez wierzchołki B oraz D tego kwadratu. Oblicz pole tego kwadratu oraz wyznacz współczynniki a oraz b w równaniu prostej k.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(P = \\frac{45}{2}\\), \\(a = -2\\), \\(b = \\frac{17}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Własności przekątnych kwadratu\n\n**Co wiemy:** \\(A = (0, 1)\\) i \\(C = (6, 4)\\) to wierzchołki **przeciwległe** - czyli \\(AC\\) jest przekątną kwadratu. Prosta \\(k\\) przechodzi przez \\(B\\) i \\(D\\), więc \\(BD\\) to **druga przekątna**.\n\n**Krok 1: Pole kwadratu z długości przekątnej**\n\nW kwadracie pole wyraża się wzorem \\(P = \\frac{d^2}{2}\\), gdzie \\(d\\) to długość przekątnej.\n\n\\[|AC| = \\sqrt{(6-0)^2 + (4-1)^2} = \\sqrt{36 + 9} = \\sqrt{45}\\]\n\n\\[\\boxed{P = \\frac{|AC|^2}{2} = \\frac{45}{2}}\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczenie współczynnika \\(a\\) (kierunkowego)**\n\nW kwadracie przekątne są **prostopadłe**. Nachylenie \\(AC\\):\n\n\\[a_{AC} = \\frac{4-1}{6-0} = \\frac{3}{6} = \\frac{1}{2}\\]\n\nDla prostych prostopadłych: \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), więc:\n\n\\[a = a_{BD} = \\frac{-1}{\\frac{1}{2}} = \\boxed{-2}\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczenie współczynnika \\(b\\) (wyrazów wolnych)**\n\nW kwadracie przekątne **przecinają się w połowie** - prosta \\(BD\\) przechodzi przez środek \\(M\\) odcinka \\(AC\\):\n\n\\[M = \\left(\\frac{0+6}{2},\\, \\frac{1+4}{2}\\right) = \\left(3,\\, \\frac{5}{2}\\right)\\]\n\nPodstawiamy \\(M\\) do równania \\(y = -2x + b\\):\n\n\\[\\frac{5}{2} = -2 \\cdot 3 + b\\]\n\\[\\frac{5}{2} = -6 + b\\]\n\\[\\boxed{b = \\frac{5}{2} + 6 = \\frac{5}{2} + \\frac{12}{2} = \\frac{17}{2}}\\]\n\n**Wynik:** Pole kwadratu \\(P = \\frac{45}{2}\\), równanie prostej \\(k\\): \\(y = -2x + \\frac{17}{2}\\).\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie współrzędnych \\(B\\) i \\(D\\), weryfikacja\n\nZ kroku 1 wiemy: \\(|BD| = |AC| = \\sqrt{45} = 3\\sqrt{5}\\), a oba wierzchołki leżą na prostej \\(y = -2x + \\frac{17}{2}\\) i są symetrycznie położone względem \\(M = (3, \\frac{5}{2})\\).\n\n**Wektor jednostkowy wzdłuż \\(BD\\)** (kierunek \\((1, -2)\\)):\n\n\\[\\hat{u} = \\frac{1}{\\sqrt{1^2 + (-2)^2}}\\,(1, -2) = \\frac{1}{\\sqrt{5}}\\,(1, -2)\\]\n\n**Odległość od \\(M\\) do \\(B\\) lub \\(D\\):** \\(\\frac{|BD|}{2} = \\frac{3\\sqrt{5}}{2}\\)\n\n\\[B = M + \\frac{3\\sqrt{5}}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{5}}(1,-2) = \\left(3,\\,\\frac{5}{2}\\right) + \\frac{3}{2}(1,-2) = \\left(\\frac{9}{2},\\, -\\frac{1}{2}\\right)\\]\n\n\\[D = M - \\frac{3}{2}(1,-2) = \\left(\\frac{3}{2},\\, \\frac{11}{2}\\right)\\]\n\n**Weryfikacja - czy \\(|AB|\\) jest bokiem kwadratu:**\n\n\\[|AB|^2 = \\left(\\frac{9}{2}-0\\right)^2 + \\left(-\\frac{1}{2}-1\\right)^2 = \\frac{81}{4} + \\frac{9}{4} = \\frac{90}{4} = \\frac{45}{2}\\]\n\nPole = \\(|AB|^2 = \\frac{45}{2}\\) ✓ (dla kwadratu: \\(P = a^2\\) gdzie \\(a\\) to bok)\n\n**Weryfikacja - czy \\(B\\) leży na prostej \\(k\\):**\n\n\\[y = -2 \\cdot \\frac{9}{2} + \\frac{17}{2} = -9 + \\frac{17}{2} = -\\frac{18}{2} + \\frac{17}{2} = -\\frac{1}{2}\\] ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nDługość odcinka:\n\\[|AC| = \\sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}\\]\nUżyte do obliczenia \\(|AC| = \\sqrt{45}\\).\n\nŚrodek odcinka:\n\\[x_M = \\frac{x_A + x_C}{2}, \\quad y_M = \\frac{y_A + y_C}{2}\\]\nUżyte do znalezienia punktu przecięcia przekątnych \\(M = (3, \\frac{5}{2})\\).\n\nProste prostopadłe:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyte do wyznaczenia nachylenia prostej \\(BD\\) na podstawie nachylenia \\(AC\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - pole kwadratu:\n\n\\[P = \\frac{d^2}{2}\\]\ngdzie \\(d\\) to przekątna - kluczowy wzór pozwalający ominąć szukanie boku.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie to jest **otwarte** - nie ma gotowych odpowiedzi ABCD. Musisz kompletnie uzasadnić każdy krok: skąd wzór na pole, skąd prostopadłość przekątnych, skąd środek odcinka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\) z \\(a_1 = a_2\\) (to drugi warunek - dla równoległości). Prostopadłość to **iloczyn = -1**, nie równość współczynników.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pole kwadratu to \\(\\frac{d^2}{2}\\), **nie** \\(d^2\\). \\(d^2\\) to pole kwadratu o boku \\(d\\), ale tu \\(d\\) jest przekątną, nie bokiem - błąd daje wynik dwa razy za duży.\n\n**Poprawna odpowiedź: \\(P = \\dfrac{45}{2},\\; a = -2,\\; b = \\dfrac{17}{2}\\)**\n\n### Sposób 1 - Odległość, środek, prostopadłość (karta wzorów)\n**Pole.** Przekątna \\(AC\\): \\(|AC| = \\sqrt{(6-0)^{2}+(4-1)^{2}} = \\sqrt{36+9} = \\sqrt{45}.\\)\nPole kwadratu przez przekątną \\(d\\): \\(P = \\dfrac{d^{2}}{2} = \\dfrac{45}{2}.\\)\n\n**Równanie prostej \\(k\\) (przekątna \\(BD\\)).**\nPrzekątne kwadratu są prostopadłe i przecinają się w środku.\nŚrodek \\(AC\\): \\(S = \\left(\\dfrac{0+6}{2},\\dfrac{1+4}{2}\\right) = \\left(3,\\dfrac{5}{2}\\right).\\)\nWspółczynnik kierunkowy \\(AC\\): \\(a_{AC} = \\dfrac{4-1}{6-0} = \\dfrac{1}{2}.\\)\nPrzekątna \\(BD \\perp AC\\): \\(a\\cdot\\dfrac{1}{2} = -1 \\Rightarrow a = -2.\\)\nPrzechodzi przez \\(S\\): \\(y - \\dfrac{5}{2} = -2(x-3) \\Rightarrow y = -2x + 6 + \\dfrac{5}{2} = -2x + \\dfrac{17}{2}.\\)\nZatem \\(a = -2,\\; b = \\dfrac{17}{2}.\\)\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nProsta \\(k\\): \\(y = -2x + \\dfrac{17}{2}\\). Punkt \\(S=(3,\\dfrac{5}{2})\\): \\(-6 + \\dfrac{17}{2} = \\dfrac{-12+17}{2} = \\dfrac{5}{2}\\) ✓.\nIloczyn współczynników kierunkowych: \\(-2\\cdot\\dfrac{1}{2} = -1\\) ✓ (prostopadłość).\n\n### Uwagi o punktacji\n- **Część I (Pole):** 2 pkt - \\(P = \\dfrac{45}{2}\\); 1 pkt - \\(|AC| = \\sqrt{45}.\\)\n- **Część II (Prosta \\(k\\)):** 3 pkt - \\(a=-2,\\,b=\\dfrac{17}{2}\\); 2 pkt - wyznaczenie \\(a=-2\\) lub zapis \\(4x+2y-17=0\\); 1 pkt - zapisanie środka \\(S\\) lub \\(a_{AC}=\\dfrac{1}{2}.\\)\n\n**Trik:** przekątne kwadratu: (1) przecinają się w środku, (2) są wzajemnie prostopadłe. Kwadrat przekątnej \\(d^{2}\\) = \\(2\\cdot\\) pole.","image":null,"solution_image":null,"topics":null,"page_from":null,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"maturazai","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

W układzie współrzędnych (x, y) punkty A= (0, 1) oraz C= (6, 4) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD . Prosta k o równaniu y= ax+ b przechodzi przez wierzchołki B oraz D tego kwadratu. Oblicz pole tego kwadratu oraz wyznacz współczynniki a oraz b w równaniu prostej k.

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(P = \\frac{45}{2}\\), \\(a = -2\\), \\(b = \\frac{17}{2}\\)

\n

Sposób 1 - Własności przekątnych kwadratu

\n

Co wiemy: \\(A = (0, 1)\\) i \\(C = (6, 4)\\) to wierzchołki przeciwległe - czyli \\(AC\\) jest przekątną kwadratu. Prosta \\(k\\) przechodzi przez \\(B\\) i \\(D\\), więc \\(BD\\) to druga przekątna.

\n

Krok 1: Pole kwadratu z długości przekątnej

\n

W kwadracie pole wyraża się wzorem \\(P = \\frac{d^2}{2}\\), gdzie \\(d\\) to długość przekątnej.

\n

\\[|AC| = \\sqrt{(6-0)^2 + (4-1)^2} = \\sqrt{36 + 9} = \\sqrt{45}\\]

\n

\\[\\boxed{P = \\frac{|AC|^2}{2} = \\frac{45}{2}}\\]

\n

Krok 2: Wyznaczenie współczynnika \\(a\\) (kierunkowego)

\n

W kwadracie przekątne są prostopadłe. Nachylenie \\(AC\\):

\n

\\[a_{AC} = \\frac{4-1}{6-0} = \\frac{3}{6} = \\frac{1}{2}\\]

\n

Dla prostych prostopadłych: \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\), więc:

\n

\\[a = a_{BD} = \\frac{-1}{\\frac{1}{2}} = \\boxed{-2}\\]

\n

Krok 3: Wyznaczenie współczynnika \\(b\\) (wyrazów wolnych)

\n

W kwadracie przekątne przecinają się w połowie - prosta \\(BD\\) przechodzi przez środek \\(M\\) odcinka \\(AC\\):

\n

\\[M = \\left(\\frac{0+6}{2},\\, \\frac{1+4}{2}\\right) = \\left(3,\\, \\frac{5}{2}\\right)\\]

\n

Podstawiamy \\(M\\) do równania \\(y = -2x + b\\):

\n

\\[\\frac{5}{2} = -2 \\cdot 3 + b\\]
\\[\\frac{5}{2} = -6 + b\\]
\\[\\boxed{b = \\frac{5}{2} + 6 = \\frac{5}{2} + \\frac{12}{2} = \\frac{17}{2}}\\]

\n

Wynik: Pole kwadratu \\(P = \\frac{45}{2}\\), równanie prostej \\(k\\): \\(y = -2x + \\frac{17}{2}\\).

\n

Sposób 2 - Wyznaczenie współrzędnych \\(B\\) i \\(D\\), weryfikacja

\n

Z kroku 1 wiemy: \\(|BD| = |AC| = \\sqrt{45} = 3\\sqrt{5}\\), a oba wierzchołki leżą na prostej \\(y = -2x + \\frac{17}{2}\\) i są symetrycznie położone względem \\(M = (3, \\frac{5}{2})\\).

\n

Wektor jednostkowy wzdłuż \\(BD\\) (kierunek \\((1, -2)\\)):

\n

\\[\\hat{u} = \\frac{1}{\\sqrt{1^2 + (-2)^2}}\\,(1, -2) = \\frac{1}{\\sqrt{5}}\\,(1, -2)\\]

\n

Odległość od \\(M\\) do \\(B\\) lub \\(D\\): \\(\\frac{|BD|}{2} = \\frac{3\\sqrt{5}}{2}\\)

\n

\\[B = M + \\frac{3\\sqrt{5}}{2} \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{5}}(1,-2) = \\left(3,\\,\\frac{5}{2}\\right) + \\frac{3}{2}(1,-2) = \\left(\\frac{9}{2},\\, -\\frac{1}{2}\\right)\\]

\n

\\[D = M - \\frac{3}{2}(1,-2) = \\left(\\frac{3}{2},\\, \\frac{11}{2}\\right)\\]

\n

Weryfikacja - czy \\(|AB|\\) jest bokiem kwadratu:

\n

\\[|AB|^2 = \\left(\\frac{9}{2}-0\\right)^2 + \\left(-\\frac{1}{2}-1\\right)^2 = \\frac{81}{4} + \\frac{9}{4} = \\frac{90}{4} = \\frac{45}{2}\\]

\n

Pole = \\(|AB|^2 = \\frac{45}{2}\\) ✓ (dla kwadratu: \\(P = a^2\\) gdzie \\(a\\) to bok)

\n

Weryfikacja - czy \\(B\\) leży na prostej \\(k\\):

\n

\\[y = -2 \\cdot \\frac{9}{2} + \\frac{17}{2} = -9 + \\frac{17}{2} = -\\frac{18}{2} + \\frac{17}{2} = -\\frac{1}{2}\\] ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)

\n

Długość odcinka:
\\[|AC| = \\sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}\\]
Użyte do obliczenia \\(|AC| = \\sqrt{45}\\).

\n

Środek odcinka:
\\[x_M = \\frac{x_A + x_C}{2}, \\quad y_M = \\frac{y_A + y_C}{2}\\]
Użyte do znalezienia punktu przecięcia przekątnych \\(M = (3, \\frac{5}{2})\\).

\n

Proste prostopadłe:
\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]
Użyte do wyznaczenia nachylenia prostej \\(BD\\) na podstawie nachylenia \\(AC\\).

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-21) - pole kwadratu:

\n

\\[P = \\frac{d^2}{2}\\]
gdzie \\(d\\) to przekątna - kluczowy wzór pozwalający ominąć szukanie boku.

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Zadanie to jest otwarte - nie ma gotowych odpowiedzi ABCD. Musisz kompletnie uzasadnić każdy krok: skąd wzór na pole, skąd prostopadłość przekątnych, skąd środek odcinka.
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pomylić \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\) z \\(a_1 = a_2\\) (to drugi warunek - dla równoległości). Prostopadłość to iloczyn = -1, nie równość współczynników.
\n
⚠️ Uwaga: Pole kwadratu to \\(\\frac{d^2}{2}\\), nie \\(d^2\\). \\(d^2\\) to pole kwadratu o boku \\(d\\), ale tu \\(d\\) jest przekątną, nie bokiem - błąd daje wynik dwa razy za duży.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(P = \\dfrac{45}{2},\\; a = -2,\\; b = \\dfrac{17}{2}\\)

\n
Sposób 1 - Odległość, środek, prostopadłość (karta wzorów)
\n

Pole. Przekątna \\(AC\\): \\(|AC| = \\sqrt{(6-0)^{2}+(4-1)^{2}} = \\sqrt{36+9} = \\sqrt{45}.\\)
Pole kwadratu przez przekątną \\(d\\): \\(P = \\dfrac{d^{2}}{2} = \\dfrac{45}{2}.\\)

\n

Równanie prostej \\(k\\) (przekątna \\(BD\\)).
Przekątne kwadratu są prostopadłe i przecinają się w środku.
Środek \\(AC\\): \\(S = \\left(\\dfrac{0+6}{2},\\dfrac{1+4}{2}\\right) = \\left(3,\\dfrac{5}{2}\\right).\\)
Współczynnik kierunkowy \\(AC\\): \\(a_{AC} = \\dfrac{4-1}{6-0} = \\dfrac{1}{2}.\\)
Przekątna \\(BD \\perp AC\\): \\(a\\cdot\\dfrac{1}{2} = -1 \\Rightarrow a = -2.\\)
Przechodzi przez \\(S\\): \\(y - \\dfrac{5}{2} = -2(x-3) \\Rightarrow y = -2x + 6 + \\dfrac{5}{2} = -2x + \\dfrac{17}{2}.\\)
Zatem \\(a = -2,\\; b = \\dfrac{17}{2}.\\)

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie
\n

Prosta \\(k\\): \\(y = -2x + \\dfrac{17}{2}\\). Punkt \\(S=(3,\\dfrac{5}{2})\\): \\(-6 + \\dfrac{17}{2} = \\dfrac{-12+17}{2} = \\dfrac{5}{2}\\) ✓.
Iloczyn współczynników kierunkowych: \\(-2\\cdot\\dfrac{1}{2} = -1\\) ✓ (prostopadłość).

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: przekątne kwadratu: (1) przecinają się w środku, (2) są wzajemnie prostopadłe. Kwadrat przekątnej \\(d^{2}\\) = \\(2\\cdot\\) pole.

"}]}