{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nLiczba (√3 + 1)\n2 -√12 jest równa\nA. 4 -4√3\nB. 4 -2√3\nC. 2\nD. 4\n\nMMAP-P0_100\nLiczba (√3+1}² - √12 jest równa A. 4-4√3 B. 4-2√3 C. 2 D. 4","answer":"D","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Sprawność rachunkowa.\nWykonywanie obliczeń na liczbach\nrzeczywistych, także przy użyciu\nkalkulatora, stosowanie praw działań\nmatematycznych przy przekształcaniu\nwyrażeń algebraicznych oraz\nwykorzystywanie tych umiejętności przy\nrozwiązywaniu problemów w kontekstach\nrzeczywistych i teoretycznych.\nZdający:\nII.1) stosuje wzory skróconego mnożenia\nna: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2.\nI.3) stosuje własności pierwiastków\ndowolnego stopnia, w tym pierwiastków\nstopnia nieparzystego z liczb ujemnych.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\log_{3} 45\\)\n\n## Sposób 1 - zamiana liczby całkowitej na logarytm i użycie wzoru dodawania\n\nKluczowa obserwacja: **liczbę \\(2\\) można zapisać jako logarytm** przy podstawie \\(3\\), bo:\n\\[2 = \\log_{3} 9\\]\n(bo \\(3^2 = 9\\))\n\nTeraz korzystamy ze wzoru na **sumę logarytmów**:\n\\[\\log_a x + \\log_a y = \\log_a(x \\cdot y)\\]\n\nZatem:\n\\[2 + \\log_{3} 5 = \\log_{3} 9 + \\log_{3} 5 = \\log_{3}(9 \\cdot 5) = \\log_{3} 45\\]\n\n**Odpowiedź: \\(\\log_{3} 45\\)**\n\n## Sposób 2 - przez definicję logarytmu (weryfikacja)\n\nSprawdzamy, czy \\(\\log_{3} 45 = 2 + \\log_{3} 5\\).\n\nKorzystamy z własności logarytmu potęgi:\n\\[\\log_{3} 45 = \\log_{3}(9 \\cdot 5) = \\log_{3} 9 + \\log_{3} 5 = \\log_{3} 3^2 + \\log_{3} 5 = 2 + \\log_{3} 5 \\checkmark\\]\n\nWynik się zgadza - odpowiedź D jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**\n\n1. Wzór na logarytm iloczynu:\n\\[\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\\]\nUżyliśmy go, żeby połączyć \\(\\log_3 9 + \\log_3 5\\) w \\(\\log_3 45\\).\n\n2. Definicja logarytmu:\n\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]\nUżyliśmy jej, żeby zamienić \\(2 = \\log_3 9\\) (bo \\(3^2 = 9\\)).\n\n3. Wzór na logarytm potęgi:\n\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\nAlternatywnie: \\(\\log_3 9 = \\log_3 3^2 = 2 \\cdot \\log_3 3 = 2 \\cdot 1 = 2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | \\(\\log_3 7\\) - błąd polegający na dodaniu liczb pod logarytmem: \\(2 + \\log_3 5 \\neq \\log_3(2+5)\\) |\n| B | \\(\\log_3 10\\) - błąd polegający na dodaniu argumentu i liczby całkowitej: \\(\\log_3(5+2+3) = \\log_3 10\\) lub skojarzenie z \\(\\log_{10}\\) |\n| C | \\(\\log_3 25\\) - błąd polegający na pomnożeniu: \\(2 \\cdot \\log_3 5 = \\log_3 5^2 = \\log_3 25\\) (mylenie \\(2 + \\log_3 5\\) z \\(2 \\cdot \\log_3 5\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log_3 7 \\neq 2 + \\log_3 5\\). Logarytm sumy to NIE to samo co suma logarytmów! Nie można \"wsadzić\" liczby pod logarytm przez zwykłe dodanie: \\(\\log_a x + c \\neq \\log_a(x + c)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Żeby zamienić liczbę całkowitą \\(n\\) na logarytm przy podstawie \\(a\\), używamy: \\(n = \\log_a(a^n)\\). Tu: \\(2 = \\log_3(3^2) = \\log_3 9\\). To kluczowy trik w zadaniach z logarytmami!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\(2 + \\log_3 5\\) (dodawanie) z \\(2 \\cdot \\log_3 5 = \\log_3 25\\) (mnożenie). Odpowiedź C to właśnie ta pułapka.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Własność logarytmu (karta wzorów)\n\\(2 = \\log_{3} 3^{2} = \\log_{3} 9.\\) Zatem:\n\\[2 + \\log_{3} 5 = \\log_{3} 9 + \\log_{3} 5 = \\log_{3}(9\\cdot 5) = \\log_{3} 45.\\]\n\n### Sposób 2 - Zamiana na jedną liczbę\n\\(\\log_{3} 5 \\approx 1{,}465.\\) Zatem \\(2 + \\log_{3} 5 \\approx 3{,}465.\\) \\(\\log_{3} 45 \\approx 3{,}465\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\log_{3} 7\\)** - pomylono dodawanie logarytmów z dodawaniem argumentów.\n- **B. \\(\\log_{3} 10\\)** - błędnie dwukrotność argumentu.\n- **C. \\(\\log_{3} 25\\)** - pomylono \\(2 + \\log_{3} 5\\) z \\(2\\log_{3} 5\\).\n\n**Trik:** \\(\\log_{a} b + \\log_{a} c = \\log_{a}(bc)\\); tu \\(2 = \\log_{3} 9\\).","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"Wzory skróconego mnożenia, algebra","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4. (0-1)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba (√3 + 1)
2 -√12 jest równa
A. 4 -4√3
B. 4 -2√3
C. 2
D. 4

\n

MMAP-P0_100
Liczba (√3+1}² - √12 jest równa A. 4-4√3 B. 4-2√3 C. 2 D. 4

","answer_text_html":"

Zadanie 4. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
I. Sprawność rachunkowa.
Wykonywanie obliczeń na liczbach
rzeczywistych, także przy użyciu
kalkulatora, stosowanie praw działań
matematycznych przy przekształcaniu
wyrażeń algebraicznych oraz
wykorzystywanie tych umiejętności przy
rozwiązywaniu problemów w kontekstach
rzeczywistych i teoretycznych.
Zdający:
II.1) stosuje wzory skróconego mnożenia
na: (𝑎+ 𝑏)2, (𝑎-𝑏)2, 𝑎2 -𝑏2.
I.3) stosuje własności pierwiastków
dowolnego stopnia, w tym pierwiastków
stopnia nieparzystego z liczb ujemnych.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-4.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(\\log_{3} 45\\)

\n

Sposób 1 - zamiana liczby całkowitej na logarytm i użycie wzoru dodawania

\n

Kluczowa obserwacja: liczbę \\(2\\) można zapisać jako logarytm przy podstawie \\(3\\), bo:
\\[2 = \\log_{3} 9\\]
(bo \\(3^2 = 9\\))

\n

Teraz korzystamy ze wzoru na sumę logarytmów:
\\[\\log_a x + \\log_a y = \\log_a(x \\cdot y)\\]

\n

Zatem:
\\[2 + \\log_{3} 5 = \\log_{3} 9 + \\log_{3} 5 = \\log_{3}(9 \\cdot 5) = \\log_{3} 45\\]

\n

Odpowiedź: \\(\\log_{3} 45\\)

\n

Sposób 2 - przez definicję logarytmu (weryfikacja)

\n

Sprawdzamy, czy \\(\\log_{3} 45 = 2 + \\log_{3} 5\\).

\n

Korzystamy z własności logarytmu potęgi:
\\[\\log_{3} 45 = \\log_{3}(9 \\cdot 5) = \\log_{3} 9 + \\log_{3} 5 = \\log_{3} 3^2 + \\log_{3} 5 = 2 + \\log_{3} 5 \\checkmark\\]

\n

Wynik się zgadza - odpowiedź D jest poprawna.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)

\n
  1. Wzór na logarytm iloczynu:
\n

\\[\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\\]
Użyliśmy go, żeby połączyć \\(\\log_3 9 + \\log_3 5\\) w \\(\\log_3 45\\).

\n
  1. Definicja logarytmu:
\n

\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]
Użyliśmy jej, żeby zamienić \\(2 = \\log_3 9\\) (bo \\(3^2 = 9\\)).

\n
  1. Wzór na logarytm potęgi:
\n

\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]
Alternatywnie: \\(\\log_3 9 = \\log_3 3^2 = 2 \\cdot \\log_3 3 = 2 \\cdot 1 = 2\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A | \\(\\log_3 7\\) - błąd polegający na dodaniu liczb pod logarytmem: \\(2 + \\log_3 5 \\neq \\log_3(2+5)\\) |
| B | \\(\\log_3 10\\) - błąd polegający na dodaniu argumentu i liczby całkowitej: \\(\\log_3(5+2+3) = \\log_3 10\\) lub skojarzenie z \\(\\log_{10}\\) |
| C | \\(\\log_3 25\\) - błąd polegający na pomnożeniu: \\(2 \\cdot \\log_3 5 = \\log_3 5^2 = \\log_3 25\\) (mylenie \\(2 + \\log_3 5\\) z \\(2 \\cdot \\log_3 5\\)) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: \\(\\log_3 7 \\neq 2 + \\log_3 5\\). Logarytm sumy to NIE to samo co suma logarytmów! Nie można "wsadzić" liczby pod logarytm przez zwykłe dodanie: \\(\\log_a x + c \\neq \\log_a(x + c)\\).
\n
⚠️ Uwaga: Żeby zamienić liczbę całkowitą \\(n\\) na logarytm przy podstawie \\(a\\), używamy: \\(n = \\log_a(a^n)\\). Tu: \\(2 = \\log_3(3^2) = \\log_3 9\\). To kluczowy trik w zadaniach z logarytmami!
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić \\(2 + \\log_3 5\\) (dodawanie) z \\(2 \\cdot \\log_3 5 = \\log_3 25\\) (mnożenie). Odpowiedź C to właśnie ta pułapka.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Własność logarytmu (karta wzorów)
\n

\\(2 = \\log_{3} 3^{2} = \\log_{3} 9.\\) Zatem:
\\[2 + \\log_{3} 5 = \\log_{3} 9 + \\log_{3} 5 = \\log_{3}(9\\cdot 5) = \\log_{3} 45.\\]

\n
Sposób 2 - Zamiana na jedną liczbę
\n

\\(\\log_{3} 5 \\approx 1{,}465.\\) Zatem \\(2 + \\log_{3} 5 \\approx 3{,}465.\\) \\(\\log_{3} 45 \\approx 3{,}465\\) ✓.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: \\(\\log_{a} b + \\log_{a} c = \\log_{a}(bc)\\); tu \\(2 = \\log_{3} 9\\).

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy, mamy $(\\sqrt{3} + 1)^2=3+2\\sqrt{3}+1=4+2\\sqrt{3}$, a po wyłączeniu czynnika przed znak pierwiastka w liczbie $\\sqrt{12}$ otrzymujemy $2\\sqrt3$, stąd różnica jest równa $4$.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Obliczamy:

\n

(√(3)+1)^2-√(12)

\n

Rozwijamy kwadrat sumy:

\n

(√(3)+1)^2=3+2√(3)+1=4+2√(3)

\n

Ponieważ:

\n

√(12)=√(4·3)=2√(3)

\n

otrzymujemy:

\n

4+2√(3)-2√(3)=4

\n

Odpowiedź: D. 4

"}]}