{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"5","points":3,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-3)\nWykaż, że dla każdej liczby całkowitej 𝒂, która przy dzieleniu przez 𝟓 daje resztę 𝟏,\ni dla każdej liczby całkowitej 𝒃, która przy dzieleniu przez 𝟓 daje resztę 𝟒, liczba\n𝒂𝟐-𝒃𝟐 jest podzielna przez 𝟓.\n\nMMAP-P0_100\nWykaż, że dla każdej liczby całkowitej a, która przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1, i dla każdej liczby całkowitej b, która przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4, liczba a²-b² jest podzielna przez 5.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 5. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie rozumowań, także\nkilkuetapowych, podawanie argumentów\nuzasadniających poprawność rozumowania,\nodróżnianie dowodu od przykładu.\nZdający:\nI.2) przeprowadza proste dowody dotyczące\npodzielności liczb całkowitych i reszt\nz dzielenia […].\nZasady oceniania\n3 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.\n2 pkt - zapisanie liczb 𝑎 oraz 𝑏 w postaciach: 𝑎= 5𝑘+ 1, gdzie 𝑘∈ℤ, oraz 𝑏= 5𝑙+ 4,\ngdzie 𝑙∈ℤ, oraz zapisanie różnicy 𝑎2 -𝑏2 w postaci\n25𝑘2 + 10𝑘+ 1 -25𝑙2 -40𝑙-16\nALBO\n- zapisanie liczb 𝑎 oraz 𝑏 w postaciach: 𝑎= 5𝑘+ 1, gdzie 𝑘∈ℤ, oraz 𝑏= 5𝑙+ 4,\ngdzie 𝑙∈ℤ, oraz zapisanie różnicy 𝑎2 -𝑏2 w postaci\n(5𝑘+ 1 -5𝑙-4)(5𝑘+ 1 + 5𝑙+ 4),\nALBO\n- zapisanie, że suma 𝑎+ 𝑏 jest podzielna przez 5,\nALBO\n- zapisanie, że jeśli liczba całkowita daje przy dzieleniu przez 5 resztę 1, to jej\nkwadrat przy dzieleniu przez 5 też daje resztę 1, oraz zapisanie, że jeśli liczba\nZasady oceniania rozwiązań zadań\ncałkowita daje przy dzieleniu przez 5 resztę 4, to jej kwadrat przy dzieleniu przez 5\ndaje resztę 1.\n1 pkt - zapisanie liczby 𝑎 w postaci 𝑎= 5𝑘+ 1, gdzie 𝑘∈ℤ\nALBO\n- zapisanie liczby 𝑏 w postaci 𝑏= 5𝑙+ 4, gdzie 𝑙∈ℤ,\nALBO\n- zapisanie, że jeśli liczba całkowita daje przy dzieleniu przez 5 resztę 1, to jej\nkwadrat przy dzieleniu przez 5 też daje resztę 1,\nALBO\n- zapisanie, że jeśli liczba całkowita daje przy dzieleniu przez 5 resztę 4, to jej\nkwadrat przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑎 i 𝑏, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający zapisze liczby 𝑎 i 𝑏 w postaciach: 𝑎= 5𝑘+ 1 i 𝑏= 5𝑘+ 4, gdzie 𝑘∈ℤ,\nto otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób I\nPonieważ liczba całkowita 𝑎 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1, natomiast liczba\ncałkowita 𝑏 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4, więc liczby 𝑎 i 𝑏 możemy zapisać\nw postaci: 𝑎= 5𝑘+ 1, gdzie 𝑘∈ℤ, oraz 𝑏= 5𝑙+ 4, gdzie 𝑙∈ℤ.\nWtedy\n𝑎2 -𝑏2 = (5𝑘+ 1)2 -(5𝑙+ 4)2 = 25𝑘2 + 10𝑘+ 1 -25𝑙2 -40𝑙-16 =\n= 25𝑘2 + 10𝑘-25𝑙2 -40𝑙-15 = 5 ⋅(5𝑘2 + 2𝑘-5𝑙2 -8𝑙-3)\nLiczba 5𝑘2 + 2𝑘-5𝑙2 -8𝑙-3 jest całkowita, co oznacza, że liczba 𝑎2 -𝑏2 jest\npodzielna przez 5.\nTo należało wykazać.\nSposób II\nPonieważ liczba całkowita 𝑎 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1, natomiast liczba\ncałkowita 𝑏 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4, więc liczby 𝑎 i 𝑏 możemy zapisać\nw postaci: 𝑎= 5𝑘+ 1, gdzie 𝑘∈ℤ, oraz 𝑏= 5𝑙+ 4, gdzie 𝑙∈ℤ.\nWtedy\n𝑎2 -𝑏2 = (𝑎-𝑏)(𝑎+ 𝑏) = (5𝑘+ 1 -5𝑙-4)(5𝑘+ 1 + 5𝑙+ 4) =\n= (5𝑘-5𝑙-3)(5𝑘+ 5𝑙+ 5) = 5 ⋅(5𝑘-5𝑙-3)(𝑘+ 𝑙+ 1)\nLiczba (5𝑘-5𝑙-3)(𝑘+ 𝑙+ 1) jest całkowita, co oznacza, że liczba 𝑎2 -𝑏2 jest\npodzielna przez 5.\nTo należało wykazać.\nSposób III\nPonieważ liczba całkowita 𝑎 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1, natomiast liczba\ncałkowita 𝑏 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4, więc suma 𝑎+ 𝑏 jest podzielna\nprzez 5 (ponieważ suma reszt z dzielenia przez 5 liczb 𝑎 oraz 𝑏 jest podzielna przez 5).\nZatem liczba 𝑎2 -𝑏2 = (𝑎+ 𝑏)(𝑎-𝑏) jest podzielna przez 5.\nTo należało wykazać.\nSposób IV\nLiczba całkowita 𝑎 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1, więc liczba 𝑎2 przy dzieleniu\nprzez 5 również daje resztę 1. Liczba całkowita 𝑏 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4,\nwięc liczba 𝑏2 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1.\nZatem liczby 𝑎2 i 𝑏2 możemy zapisać w postaci: 𝑎2 = 5𝑘+ 1, gdzie 𝑘∈ℤ,\noraz 𝑏2 = 5𝑙+ 1, gdzie 𝑙∈ℤ.\nWtedy\n𝑎2 -𝑏2 = 5𝑘+ 1 -5𝑙-1 = 5𝑘-5𝑙= 5 ⋅(𝑘-𝑙)\nLiczba 𝑘-𝑙 jest całkowita, co oznacza, że liczba 𝑎2 -𝑏2 jest podzielna przez 5.\nTo należało wykazać.","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(3\\)\n\n## Sposób 1 - Przekształcanie nierówności krok po kroku\n\nRozwiązujemy nierówność:\n\\[8 - \\frac{1-2x}{2} \\geq 3x\\]\n\n**Krok 1.** Mnożymy obie strony przez \\(2\\), żeby pozbyć się mianownika. Nierówność się nie odwraca, bo \\(2 > 0\\):\n\\[16 - (1 - 2x) \\geq 6x\\]\n\n**Krok 2.** Rozwijamy nawias (uwaga na minus przed nawiasem!):\n\\[16 - 1 + 2x \\geq 6x\\]\n\\[15 + 2x \\geq 6x\\]\n\n**Krok 3.** Przenosimy wyrazy z \\(x\\) na prawą stronę, a liczby na lewą:\n\\[15 \\geq 6x - 2x\\]\n\\[15 \\geq 4x\\]\n\n**Krok 4.** Dzielimy obie strony przez \\(4\\) (liczba dodatnia, nierówność się nie odwraca):\n\\[x \\leq \\frac{15}{4} = 3{,}75\\]\n\nZbiór rozwiązań to \\(\\langle -\\infty, 3{,}75 \\rangle\\).\n\n**Największa liczba całkowita spełniająca \\(x \\leq 3{,}75\\) to \\(x = 3\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nMamy warunek \\(x \\leq 3{,}75\\). Sprawdzamy kandydatów bezpośrednio w oryginalnej nierówności \\(8 - \\frac{1-2x}{2} \\geq 3x\\):\n\n**Dla \\(x = 3\\):**\n\\[8 - \\frac{1 - 6}{2} \\geq 9\\]\n\\[8 - \\frac{-5}{2} \\geq 9\\]\n\\[8 + 2{,}5 \\geq 9\\]\n\\[10{,}5 \\geq 9 \\quad \\checkmark\\]\n\n**Dla \\(x = 4\\):**\n\\[8 - \\frac{1 - 8}{2} \\geq 12\\]\n\\[8 - \\frac{-7}{2} \\geq 12\\]\n\\[8 + 3{,}5 \\geq 12\\]\n\\[11{,}5 \\geq 12 \\quad \\times\\]\n\n\\(x = 4\\) nie spełnia nierówności, a \\(x = 3\\) - tak. **Zatem największa całkowita to \\(3\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe działania algebraiczne na nierównościach (mnożenie obu stron przez tę samą liczbę dodatnią, przenoszenie wyrazów).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(1\\) | Uczeń myli \\(\\geq\\) z \\(\\leq\\) i wyciąga wniosek o najmniejszej liczbie całkowitej zamiast największej |\n| B: \\(2\\) | Błąd przy rozwijaniu nawiasu: pominięcie znaku minus, np. \\(16 - 1 - 2x\\) zamiast \\(16 - 1 + 2x\\), co daje \\(15 \\geq 8x\\), czyli \\(x \\leq 1{,}875\\) |\n| D: \\(4\\) | Uczeń zaokrąglił \\(3{,}75\\) **w górę** do \\(4\\) zamiast wziąć część całkowitą w dół - ale \\(4 > 3{,}75\\), więc \\(4\\) już nie spełnia nierówności |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Minus przed nawiasem zmienia znaki wszystkich wyrazów w środku. \\(-(1-2x) = -1+2x\\), nie \\(-1-2x\\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zaokrąglanie \\(3{,}75\\) do \\(4\\) to klasyczna pułapka. Pytanie brzmi o **największą liczbę całkowitą spełniającą nierówność**, czyli musimy wziąć \\(\\lfloor 3{,}75 \\rfloor = 3\\), bo \\(4 > 3{,}75\\) już warunki nie spełnia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu obu stron nierówności przez liczbę **ujemną** - nierówność zmienia kierunek. Tutaj mnożymy przez \\(2 > 0\\), więc kierunek zostaje bez zmian.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Przekształcenie\nMnożymy przez \\(2\\): \\(16 - (1 - 2x) \\geq 6x\\), czyli \\(16 - 1 + 2x \\geq 6x\\), stąd \\(15 \\geq 4x\\), czyli \\(x \\leq \\dfrac{15}{4} = 3{,}75.\\)\nNajwiększą liczbą całkowitą spełniającą tę nierówność jest \\(3\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie liczbowe\nDla \\(x=3\\): \\(8 - \\dfrac{1-6}{2} = 8 + \\dfrac{5}{2} = 10{,}5 \\geq 9\\) ✓.\nDla \\(x=4\\): \\(8 - \\dfrac{1-8}{2} = 8 + \\dfrac{7}{2} = 11{,}5 \\geq 12\\) - fałsz.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B** - liczby mniejsze od największej całkowitej.\n- **D. \\(4\\)** - nie spełnia, bo \\(4 > 3{,}75\\).\n\n**Trik:** najpierw usuń ułamek mnożąc przez mianownik.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"Dowody algebraiczne, liczby_naturalne","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5. (0-3)
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej 𝒂, która przy dzieleniu przez 𝟓 daje resztę 𝟏,
i dla każdej liczby całkowitej 𝒃, która przy dzieleniu przez 𝟓 daje resztę 𝟒, liczba
𝒂𝟐-𝒃𝟐 jest podzielna przez 𝟓.

\n

MMAP-P0_100
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej a, która przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1, i dla każdej liczby całkowitej b, która przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4, liczba a²-b² jest podzielna przez 5.

","answer_text_html":"

Zadanie 5. (0-3)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Przeprowadzanie rozumowań, także
\n

kilkuetapowych, podawanie argumentów
uzasadniających poprawność rozumowania,
odróżnianie dowodu od przykładu.
Zdający:
I.2) przeprowadza proste dowody dotyczące
podzielności liczb całkowitych i reszt
z dzielenia […].
Zasady oceniania
3 pkt - przeprowadzenie pełnego rozumowania.
2 pkt - zapisanie liczb 𝑎 oraz 𝑏 w postaciach: 𝑎= 5𝑘+ 1, gdzie 𝑘∈ℤ, oraz 𝑏= 5𝑙+ 4,
gdzie 𝑙∈ℤ, oraz zapisanie różnicy 𝑎2 -𝑏2 w postaci
25𝑘2 + 10𝑘+ 1 -25𝑙2 -40𝑙-16
ALBO

\n\n

gdzie 𝑙∈ℤ, oraz zapisanie różnicy 𝑎2 -𝑏2 w postaci
(5𝑘+ 1 -5𝑙-4)(5𝑘+ 1 + 5𝑙+ 4),
ALBO

\n\n

ALBO

\n\n

kwadrat przy dzieleniu przez 5 też daje resztę 1, oraz zapisanie, że jeśli liczba
Zasady oceniania rozwiązań zadań
całkowita daje przy dzieleniu przez 5 resztę 4, to jej kwadrat przy dzieleniu przez 5
daje resztę 1.
1 pkt - zapisanie liczby 𝑎 w postaci 𝑎= 5𝑘+ 1, gdzie 𝑘∈ℤ
ALBO

\n\n

ALBO

\n\n

kwadrat przy dzieleniu przez 5 też daje resztę 1,
ALBO

\n\n

kwadrat przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy tylko dla wybranych wartości 𝑎 i 𝑏, to
\n

otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze liczby 𝑎 i 𝑏 w postaciach: 𝑎= 5𝑘+ 1 i 𝑏= 5𝑘+ 4, gdzie 𝑘∈ℤ,
\n

to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób I
Ponieważ liczba całkowita 𝑎 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1, natomiast liczba
całkowita 𝑏 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4, więc liczby 𝑎 i 𝑏 możemy zapisać
w postaci: 𝑎= 5𝑘+ 1, gdzie 𝑘∈ℤ, oraz 𝑏= 5𝑙+ 4, gdzie 𝑙∈ℤ.
Wtedy
𝑎2 -𝑏2 = (5𝑘+ 1)2 -(5𝑙+ 4)2 = 25𝑘2 + 10𝑘+ 1 -25𝑙2 -40𝑙-16 =
= 25𝑘2 + 10𝑘-25𝑙2 -40𝑙-15 = 5 ⋅(5𝑘2 + 2𝑘-5𝑙2 -8𝑙-3)
Liczba 5𝑘2 + 2𝑘-5𝑙2 -8𝑙-3 jest całkowita, co oznacza, że liczba 𝑎2 -𝑏2 jest
podzielna przez 5.
To należało wykazać.
Sposób II
Ponieważ liczba całkowita 𝑎 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1, natomiast liczba
całkowita 𝑏 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4, więc liczby 𝑎 i 𝑏 możemy zapisać
w postaci: 𝑎= 5𝑘+ 1, gdzie 𝑘∈ℤ, oraz 𝑏= 5𝑙+ 4, gdzie 𝑙∈ℤ.
Wtedy
𝑎2 -𝑏2 = (𝑎-𝑏)(𝑎+ 𝑏) = (5𝑘+ 1 -5𝑙-4)(5𝑘+ 1 + 5𝑙+ 4) =
= (5𝑘-5𝑙-3)(5𝑘+ 5𝑙+ 5) = 5 ⋅(5𝑘-5𝑙-3)(𝑘+ 𝑙+ 1)
Liczba (5𝑘-5𝑙-3)(𝑘+ 𝑙+ 1) jest całkowita, co oznacza, że liczba 𝑎2 -𝑏2 jest
podzielna przez 5.
To należało wykazać.
Sposób III
Ponieważ liczba całkowita 𝑎 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1, natomiast liczba
całkowita 𝑏 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4, więc suma 𝑎+ 𝑏 jest podzielna
przez 5 (ponieważ suma reszt z dzielenia przez 5 liczb 𝑎 oraz 𝑏 jest podzielna przez 5).
Zatem liczba 𝑎2 -𝑏2 = (𝑎+ 𝑏)(𝑎-𝑏) jest podzielna przez 5.
To należało wykazać.
Sposób IV
Liczba całkowita 𝑎 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1, więc liczba 𝑎2 przy dzieleniu
przez 5 również daje resztę 1. Liczba całkowita 𝑏 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4,
więc liczba 𝑏2 przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1.
Zatem liczby 𝑎2 i 𝑏2 możemy zapisać w postaci: 𝑎2 = 5𝑘+ 1, gdzie 𝑘∈ℤ,
oraz 𝑏2 = 5𝑙+ 1, gdzie 𝑙∈ℤ.
Wtedy
𝑎2 -𝑏2 = 5𝑘+ 1 -5𝑙-1 = 5𝑘-5𝑙= 5 ⋅(𝑘-𝑙)
Liczba 𝑘-𝑙 jest całkowita, co oznacza, że liczba 𝑎2 -𝑏2 jest podzielna przez 5.
To należało wykazać.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-5.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C - \\(3\\)

\n

Sposób 1 - Przekształcanie nierówności krok po kroku

\n

Rozwiązujemy nierówność:
\\[8 - \\frac{1-2x}{2} \\geq 3x\\]

\n

Krok 1. Mnożymy obie strony przez \\(2\\), żeby pozbyć się mianownika. Nierówność się nie odwraca, bo \\(2 > 0\\):
\\[16 - (1 - 2x) \\geq 6x\\]

\n

Krok 2. Rozwijamy nawias (uwaga na minus przed nawiasem!):
\\[16 - 1 + 2x \\geq 6x\\]
\\[15 + 2x \\geq 6x\\]

\n

Krok 3. Przenosimy wyrazy z \\(x\\) na prawą stronę, a liczby na lewą:
\\[15 \\geq 6x - 2x\\]
\\[15 \\geq 4x\\]

\n

Krok 4. Dzielimy obie strony przez \\(4\\) (liczba dodatnia, nierówność się nie odwraca):
\\[x \\leq \\frac{15}{4} = 3{,}75\\]

\n

Zbiór rozwiązań to \\(\\langle -\\infty, 3{,}75 \\rangle\\).

\n

Największa liczba całkowita spełniająca \\(x \\leq 3{,}75\\) to \\(x = 3\\).

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

\n

Mamy warunek \\(x \\leq 3{,}75\\). Sprawdzamy kandydatów bezpośrednio w oryginalnej nierówności \\(8 - \\frac{1-2x}{2} \\geq 3x\\):

\n

Dla \\(x = 3\\):
\\[8 - \\frac{1 - 6}{2} \\geq 9\\]
\\[8 - \\frac{-5}{2} \\geq 9\\]
\\[8 + 2{,}5 \\geq 9\\]
\\[10{,}5 \\geq 9 \\quad \\checkmark\\]

\n

Dla \\(x = 4\\):
\\[8 - \\frac{1 - 8}{2} \\geq 12\\]
\\[8 - \\frac{-7}{2} \\geq 12\\]
\\[8 + 3{,}5 \\geq 12\\]
\\[11{,}5 \\geq 12 \\quad \\times\\]

\n

\\(x = 4\\) nie spełnia nierówności, a \\(x = 3\\) - tak. Zatem największa całkowita to \\(3\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczą podstawowe działania algebraiczne na nierównościach (mnożenie obu stron przez tę samą liczbę dodatnią, przenoszenie wyrazów).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A: \\(1\\) | Uczeń myli \\(\\geq\\) z \\(\\leq\\) i wyciąga wniosek o najmniejszej liczbie całkowitej zamiast największej |
| B: \\(2\\) | Błąd przy rozwijaniu nawiasu: pominięcie znaku minus, np. \\(16 - 1 - 2x\\) zamiast \\(16 - 1 + 2x\\), co daje \\(15 \\geq 8x\\), czyli \\(x \\leq 1{,}875\\) |
| D: \\(4\\) | Uczeń zaokrąglił \\(3{,}75\\) w górę do \\(4\\) zamiast wziąć część całkowitą w dół - ale \\(4 > 3{,}75\\), więc \\(4\\) już nie spełnia nierówności |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Minus przed nawiasem zmienia znaki wszystkich wyrazów w środku. \\(-(1-2x) = -1+2x\\), nie \\(-1-2x\\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu.
\n
⚠️ Uwaga: Zaokrąglanie \\(3{,}75\\) do \\(4\\) to klasyczna pułapka. Pytanie brzmi o największą liczbę całkowitą spełniającą nierówność, czyli musimy wziąć \\(\\lfloor 3{,}75 \\rfloor = 3\\), bo \\(4 > 3{,}75\\) już warunki nie spełnia.
\n
⚠️ Uwaga: Przy mnożeniu obu stron nierówności przez liczbę ujemną - nierówność zmienia kierunek. Tutaj mnożymy przez \\(2 > 0\\), więc kierunek zostaje bez zmian.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Przekształcenie
\n

Mnożymy przez \\(2\\): \\(16 - (1 - 2x) \\geq 6x\\), czyli \\(16 - 1 + 2x \\geq 6x\\), stąd \\(15 \\geq 4x\\), czyli \\(x \\leq \\dfrac{15}{4} = 3{,}75.\\)
Największą liczbą całkowitą spełniającą tę nierówność jest \\(3\\).

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie liczbowe
\n

Dla \\(x=3\\): \\(8 - \\dfrac{1-6}{2} = 8 + \\dfrac{5}{2} = 10{,}5 \\geq 9\\) ✓.
Dla \\(x=4\\): \\(8 - \\dfrac{1-8}{2} = 8 + \\dfrac{7}{2} = 11{,}5 \\geq 12\\) - fałsz.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: najpierw usuń ułamek mnożąc przez mianownik.

"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Skoro liczba a przy dzieleniu przez 5 daje resztę 1 , to istnieje liczba całkowita k , taka że:

\n

a=5k+1

\n

Skoro liczba b przy dzieleniu przez 5 daje resztę 4 , to istnieje liczba całkowita l , taka że:

\n

b=5l+4

\n

Obliczamy różnicę kwadratów:

\n

a^2-b^2=(5k+1)^2-(5l+4)^2

\n

=25k^2+10k+1- (25l^2+40l+16 )

\n

=25k^2-25l^2+10k-40l-15

\n

Wyłączamy 5 przed nawias:

\n

=5 (5k^2-5l^2+2k-8l-3 )

\n

Ponieważ k i l są liczbami całkowitymi, wyrażenie w nawiasie również jest liczbą całkowitą.

\n

Zatem liczba a^2-b^2 jest iloczynem liczby 5 i liczby całkowitej, więc jest podzielna przez 5 .

\n

Wykazano, że liczba a^2-b^2 jest podzielna przez 5 .

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Dowód

"}]}