{"id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nDana jest nierówność\n8 -1 -2𝑥\n2\n≥3𝑥\nDokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nNajwiększą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest\nA. 1\nB. 2\nC. 3\nD. 4\nDana jest nierówność 8 - 1-2x/2 ≥ 3x Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest A. 1 B. 2 C. 3 D. 4","answer":"C","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Stosowanie obiektów matematycznych\ni operowanie nimi, interpretowanie pojęć\nmatematycznych.\nZdający:\nIII.3) rozwiązuje nierówności liniowe z jedną\nniewiadomą.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - trzy rozwiązania.\n\n## Sposób 1 - Faktoryzacja i analiza pierwiastków\n\nRównanie ma postać iloczynu:\n\\[4(x-1)^2(x^2-25) = 0\\]\n\nIloczyn jest równy zero, gdy **przynajmniej jeden czynnik jest zerem**. Czynnik \\(4\\) nigdy nie jest zerem, więc analizujemy pozostałe:\n\n**Czynnik 1:** \\((x-1)^2 = 0\\)\n\\[(x-1)^2 = 0 \\implies x - 1 = 0 \\implies x = 1\\]\n\nJest to pierwiastek **podwójny** - ale to nadal **jedno** rozwiązanie (jedna wartość \\(x\\)).\n\n**Czynnik 2:** \\(x^2 - 25 = 0\\)\n\nKorzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów:\n\\[x^2 - 25 = (x-5)(x+5) = 0\\]\n\\[x = 5 \\quad \\text{lub} \\quad x = -5\\]\n\n**Wszystkie rozwiązania:**\n\\[x_1 = -5, \\quad x_2 = 1, \\quad x_3 = 5\\]\n\nMamy **trzy różne** wartości spełniające równanie.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy każde znalezione rozwiązanie:\n\n**Dla \\(x = 1\\):**\n\\[4(1-1)^2(1^2-25) = 4 \\cdot 0 \\cdot (-24) = 0 \\checkmark\\]\n\n**Dla \\(x = 5\\):**\n\\[4(5-1)^2(5^2-25) = 4 \\cdot 16 \\cdot 0 = 0 \\checkmark\\]\n\n**Dla \\(x = -5\\):**\n\\[4(-5-1)^2((-5)^2-25) = 4 \\cdot 36 \\cdot 0 = 0 \\checkmark\\]\n\nKażde z trzech podstawień daje zero - **wszystkie trzy rozwiązania są poprawne** i nie ma innych.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - różnica kwadratów:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy tego do rozłożenia \\(x^2 - 25 = (x-5)(x+5)\\).\n\nW pozostałej części zadania wystarczy podstawowa zasada: iloczyn jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden czynnik jest zerem.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Uczeń liczy \\(x^2 - 25 = 0\\) i dostaje dwa rozwiązania (\\(x = \\pm 5\\)), ale **zapomina o czynniku \\((x-1)^2\\)** |\n| C | Uczeń liczy stopień wielomianu - wielomian jest stopnia 4, więc \"musi mieć 4 pierwiastki\". **Błąd:** pierwiastek podwójny \\(x = 1\\) jest jedną wartością, nie dwiema różnymi |\n| D | Uczeń myśli, że wielomian 4. stopnia ma zawsze dokładnie 4 różne pierwiastki rzeczywiste. **Błąd:** wielomian może mieć pierwiastki wielokrotne lub zespolone |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pierwiastek podwójny to **jedna** wartość \\(x\\)! Wyrażenie \\((x-1)^2 = 0\\) daje tylko \\(x = 1\\), choć formalnie jest to \"dwukrotny pierwiastek\". Pytanie dotyczy liczby **rozwiązań** (różnych wartości \\(x\\)), nie **krotności** pierwiastków.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie utożsamiaj stopnia wielomianu z liczbą rozwiązań. Wielomian stopnia \\(n\\) ma co najwyżej \\(n\\) pierwiastków rzeczywistych - może mieć ich mniej, jeśli niektóre są wielokrotne lub zespolone.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozkładzie na czynniki zawsze sprawdź **każdy** czynnik z osobna. Pomijanie jednego czynnika (np. zignorowanie \\((x-1)^2\\)) to najczęstszy błąd w tego typu zadaniach.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Iloczyn równy zero\nIloczyn jest zerem, gdy co najmniej jeden z czynników jest zerem:\n- \\(4 \\neq 0\\),\n- \\((x-1)^{2} = 0 \\Rightarrow x = 1\\),\n- \\(x^{2} - 25 = 0 \\Rightarrow x = 5 \\lor x = -5\\).\nRóżne rozwiązania: \\(\\{-5,\\,1,\\,5\\}\\) - **trzy**.\n\n### Sposób 2 - Wzór \\(a^{2} - b^{2}\\)\n\\(x^{2} - 25 = (x-5)(x+5)\\), więc równanie to \\(4(x-1)^{2}(x-5)(x+5) = 0\\) - trzy różne pierwiastki: \\(1\\) (podwójny), \\(5\\), \\(-5\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. dwa** - pominięto jedno rozwiązanie.\n- **C. cztery** - policzono \\(x=1\\) podwójnie.\n- **D. pięć** - błędne zliczanie krotności.\n\n**Trik:** w zbiorze rozwiązań liczymy **różne** liczby, bez względu na krotność.","image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"Nierówności liniowe, rownania_i_nierownosci","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2025 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 6. (0-1)<br>Dana jest nierówność<br>8 -1 -2𝑥<br>2<br>≥3𝑥<br>Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.<br>Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest<br>A. 1<br>B. 2<br>C. 3<br>D. 4<br>Dana jest nierówność 8 - 1-2x/2 ≥ 3x Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest A. 1 B. 2 C. 3 D. 4</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 6. (0-1)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>III. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stosowanie obiektów matematycznych</li></ol>\n<p>i operowanie nimi, interpretowanie pojęć<br>matematycznych.<br>Zdający:<br>III.3) rozwiązuje nierówności liniowe z jedną<br>niewiadomą.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2025-czerwiec-matura-podstawowa/sol-6.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - trzy rozwiązania.</h4>\n<h4>Sposób 1 - Faktoryzacja i analiza pierwiastków</h4>\n<p>Równanie ma postać iloczynu:<br>\\[4(x-1)^2(x^2-25) = 0\\]</p>\n<p>Iloczyn jest równy zero, gdy <strong>przynajmniej jeden czynnik jest zerem</strong>. Czynnik \\(4\\) nigdy nie jest zerem, więc analizujemy pozostałe:</p>\n<p><strong>Czynnik 1:</strong> \\((x-1)^2 = 0\\)<br>\\[(x-1)^2 = 0 \\implies x - 1 = 0 \\implies x = 1\\]</p>\n<p>Jest to pierwiastek <strong>podwójny</strong> - ale to nadal <strong>jedno</strong> rozwiązanie (jedna wartość \\(x\\)).</p>\n<p><strong>Czynnik 2:</strong> \\(x^2 - 25 = 0\\)</p>\n<p>Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów:<br>\\[x^2 - 25 = (x-5)(x+5) = 0\\]<br>\\[x = 5 \\quad \\text{lub} \\quad x = -5\\]</p>\n<p><strong>Wszystkie rozwiązania:</strong><br>\\[x_1 = -5, \\quad x_2 = 1, \\quad x_3 = 5\\]</p>\n<p>Mamy <strong>trzy różne</strong> wartości spełniające równanie.</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Sprawdzamy każde znalezione rozwiązanie:</p>\n<p><strong>Dla \\(x = 1\\):</strong><br>\\[4(1-1)^2(1^2-25) = 4 \\cdot 0 \\cdot (-24) = 0 \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Dla \\(x = 5\\):</strong><br>\\[4(5-1)^2(5^2-25) = 4 \\cdot 16 \\cdot 0 = 0 \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Dla \\(x = -5\\):</strong><br>\\[4(-5-1)^2((-5)^2-25) = 4 \\cdot 36 \\cdot 0 = 0 \\checkmark\\]</p>\n<p>Każde z trzech podstawień daje zero - <strong>wszystkie trzy rozwiązania są poprawne</strong> i nie ma innych.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)</strong> - różnica kwadratów:<br>\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]<br>Użyliśmy tego do rozłożenia \\(x^2 - 25 = (x-5)(x+5)\\).</p>\n<p>W pozostałej części zadania wystarczy podstawowa zasada: iloczyn jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden czynnik jest zerem.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A | Uczeń liczy \\(x^2 - 25 = 0\\) i dostaje dwa rozwiązania (\\(x = \\pm 5\\)), ale <strong>zapomina o czynniku \\((x-1)^2\\)</strong> |<br>| C | Uczeń liczy stopień wielomianu - wielomian jest stopnia 4, więc &quot;musi mieć 4 pierwiastki&quot;. <strong>Błąd:</strong> pierwiastek podwójny \\(x = 1\\) jest jedną wartością, nie dwiema różnymi |<br>| D | Uczeń myśli, że wielomian 4. stopnia ma zawsze dokładnie 4 różne pierwiastki rzeczywiste. <strong>Błąd:</strong> wielomian może mieć pierwiastki wielokrotne lub zespolone |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pierwiastek podwójny to <strong>jedna</strong> wartość \\(x\\)! Wyrażenie \\((x-1)^2 = 0\\) daje tylko \\(x = 1\\), choć formalnie jest to &quot;dwukrotny pierwiastek&quot;. Pytanie dotyczy liczby <strong>rozwiązań</strong> (różnych wartości \\(x\\)), nie <strong>krotności</strong> pierwiastków.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie utożsamiaj stopnia wielomianu z liczbą rozwiązań. Wielomian stopnia \\(n\\) ma co najwyżej \\(n\\) pierwiastków rzeczywistych - może mieć ich mniej, jeśli niektóre są wielokrotne lub zespolone.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy rozkładzie na czynniki zawsze sprawdź <strong>każdy</strong> czynnik z osobna. Pomijanie jednego czynnika (np. zignorowanie \\((x-1)^2\\)) to najczęstszy błąd w tego typu zadaniach.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Iloczyn równy zero</h5>\n<p>Iloczyn jest zerem, gdy co najmniej jeden z czynników jest zerem:</p>\n<ul><li>\\(4 \\neq 0\\),</li><li>\\((x-1)^{2} = 0 \\Rightarrow x = 1\\),</li><li>\\(x^{2} - 25 = 0 \\Rightarrow x = 5 \\lor x = -5\\).</li></ul>\n<p>Różne rozwiązania: \\(\\{-5,\\,1,\\,5\\}\\) - <strong>trzy</strong>.</p>\n<h5>Sposób 2 - Wzór \\(a^{2} - b^{2}\\)</h5>\n<p>\\(x^{2} - 25 = (x-5)(x+5)\\), więc równanie to \\(4(x-1)^{2}(x-5)(x+5) = 0\\) - trzy różne pierwiastki: \\(1\\) (podwójny), \\(5\\), \\(-5\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. dwa</strong> - pominięto jedno rozwiązanie.</li><li><strong>C. cztery</strong> - policzono \\(x=1\\) podwójnie.</li><li><strong>D. pięć</strong> - błędne zliczanie krotności.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> w zbiorze rozwiązań liczymy <strong>różne</strong> liczby, bez względu na krotność.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, rozwiązaniem tej nierówności są liczby $x$ spełniające warunek $x\\leq3\\frac{3}{4}$, co oznacza, że największą liczbą całkowitą spełniającą tę nierówność jest $3$.</p>"},{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"<p>Rozwiązujemy nierówność:</p>\n<p>8-(1-2x)/(2)≥ 3x</p>\n<p>Upraszczamy lewą stronę:</p>\n<p>8-(1)/(2)+x≥ 3x</p>\n<p>(15)/(2)+x≥ 3x</p>\n<p>Przenosimy wyrazy z x na jedną stronę:</p>\n<p>(15)/(2)≥ 2x</p>\n<p>x≤ (15)/(4)</p>\n<p>Ponieważ (15)/(4)=3 , 75 , największą liczbą całkowitą spełniającą nierówność jest 3 .</p>\n<p>Odpowiedź: C. 3</p>"}]}